度量的本質(zhì)是用計量單位與被測物體比較，從而獲取數(shù)值來表示物體的屬性。角的度量的本質(zhì)是通過1°的角的累加獲得角的兩條邊張開大小的程度。“賦角以數(shù)”實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，并促進學(xué)生的空間想象由一維向二維發(fā)展。角作為二維圖形有其獨特的特點，不同于長方形面積的測量可以轉(zhuǎn)化為先利用直尺測量再算長和寬之積，角的測量有自身的工具——量角器。量角器的構(gòu)造比直尺復(fù)雜。如何實現(xiàn)對量角器的深刻認識呢？我們進行了多次課堂實踐，形成了以下路徑（如圖1）。具體教學(xué)流程如下。

一、建構(gòu)關(guān)聯(lián)

教師在黑板上呈現(xiàn)圖2。

師：你們明白老師的意思嗎？

生：想用數(shù)表示這條線段的長度。

師：用哪個數(shù)表示這條線段的長度呢？隨意找一個數(shù)嗎？

生：用35厘米，我估計有這么長。

師：精確嗎？

生：用直尺測量一下。

教師隨即讓該生上來測量，該生發(fā)現(xiàn)教師提供的是一把斷尺。該生將線段的一端對準斷尺上的8cm刻度線，另一端到48cm刻度線，再計算48-8=40，得出這條線段長40cm。

師：把掌聲送給他。這個過程叫“賦線以數(shù)”。

師：（把線段的一個端點擦掉）這時它還可以用40cm表示嗎？

生：不能，因為它變成了射線，射線是無限長的。

師：（邊演示邊解說）這條射線繞著端點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到一個位置后悄悄地停了下來，這樣就形成了另一種圖形（如圖3），這個圖形是什么？

生：這是銳角。

師：你們能用數(shù)表示這個銳角的大小嗎？

生：可以用直尺測量。

師：請試一試。

生：（測量一條邊的長度）我測量這條邊，是27cm。

生：（測量另一條邊的長度）我測量這條邊，是25cm。

師：角的兩條邊是射線，射線是無限長的，所以無法測量其長度。

生：我在角的兩條邊上分別取10cm長，再將兩個點連起來測量，是29厘米。

師：這是一種方法，和大家以后要學(xué)的弧度有相通之處。誰還有其他辦法？

生：我用三角板上的直角進行估測（用三角板上的直角進行比畫），發(fā)現(xiàn)大約是45°。

師：這個學(xué)生用的是估測法。下面我們一起來看看城關(guān)小學(xué)和西城小學(xué)的同學(xué)給出的方法（如圖4）。

師：為什么同一個角，卻有不同的結(jié)果呢？一個是3個小角，另一個是6個小角。

生：他們使用的小角大小不一樣。

師：也就是說，他們的測量標準不一樣。

二、探索方法

師：那么有沒有統(tǒng)一的標準呢？古巴比倫人將圓平均分成360份，每份對應(yīng)的就是1°的角（呈現(xiàn)1°的角形成的過程），同學(xué)們，現(xiàn)在請用一個詞語形容一下對1°的角的感覺！

生：超級小。

生：跟指甲的厚度差不多。

生：非常細，簡直像一條線。

生：微不足道。

師：（呈現(xiàn)10°的角）現(xiàn)在請說一說對10°的角的感覺。

生：尖尖的，是個銳角，有點兒大。

生：由10個1°的角組成。

師：（出示20°的角）請仔細觀察并估計一下大約是多少度。

生：20°。

師：請驗證！

學(xué)生利用10°的角進行對比，發(fā)現(xiàn)的確是20°。

師：（呈現(xiàn)30°的角）請仔細觀察并估計一下大約是多少度。

生：30°。

師：請驗證，并介紹你的方法！

生：我把10°的角與20°的角合并，發(fā)現(xiàn)的確是30°。

師：好辦法（隨機在黑板上接著粘貼2個30°的角，如圖5），猜猜這些角組成了多少度的角。

生：10+20+30+30=90（度）。

師：這是什么角？

生：直角。

師：（隨機又粘貼一個90°的角，圖略）此時變成了多少度？是什么角？

生：180°，平角。

師：如果再加一個半圓呢？

生：360°，周角。

師：感覺真好！

師：現(xiàn)在找到測量角的工具了嗎？

生：找到了。

師：請測量此角（如圖6）的大小。

生1：（利用剛才的10°、20°、30°的角進行測量，嘀咕“小角不夠用”）50°多一點兒。

生2：可以把10°的角分小點兒再進行測量，但是有點兒麻煩。

師：是呀，確實麻煩！于是人們開始琢磨創(chuàng)造更加簡單的工具，這時“量角器的爸爸”（如圖7）出現(xiàn)了，請仔細觀察上面的數(shù)學(xué)信息！

生：上面有清晰的刻度，而且從0°到180°逆時針排列。

教師引導(dǎo)學(xué)生探索用“量角器的爸爸”量角的方法，學(xué)生體會到比剛才的用小角量方便。接著，教師出示一個開口向左的角，學(xué)生在用“量角器的爸爸”測量的時候，感覺到不方便，由此逐步探索出“量角器的媽媽”（如圖8）。最后，學(xué)生對比，說出它們的不同。

師：這樣，我們測量角度的時候，帶著“量角器的爸爸”“量角器的媽媽”就可以了。

生：帶兩個，有點兒麻煩。

師：于是聰明的人們將它們合二為一，制造出了你們手中的量角器（利用課件呈現(xiàn)量角器的結(jié)構(gòu)圖，并請全體學(xué)生起立將手中的量角器與結(jié)構(gòu)圖進行對照）。內(nèi)圈遺傳了誰的相貌特征？外圈遺傳了誰的相貌特征？

生：內(nèi)圈遺傳了“爸爸”，外圈遺傳了“媽媽”。

師：用這個量角器測量角，你會有什么感覺？

生：不用換來換去。

生：更簡單、實用。

三、全課小結(jié)，埋下伏筆

師：你們的感覺真好！你們能給這節(jié)課起個名字嗎？

生：認識量角器。

生：測量角的大小。

生：量角器的使用。

師：看來，你們對角的測量有不同的感覺。同學(xué)們都會使用量角器了嗎？咱們下節(jié)課拭目以待。

本節(jié)課依托兩個開口方向相反的銳角作為研究素材，把量角器的構(gòu)造及人們對工具的開發(fā)有機結(jié)合起來，解剖量角器的結(jié)構(gòu)。在這節(jié)課上，斷尺的使用打通了“賦線以數(shù)”“賦角以數(shù)”之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)（測量就是賦形以數(shù)）；由線段的測量過渡到角的測量，實現(xiàn)了一維到二維空間的轉(zhuǎn)換；學(xué)生采用多種方法嘗試測量角，都是基于原有的思維經(jīng)驗和操作經(jīng)驗，滲透了度量的本質(zhì)屬性——正則性、運動不變性、有限可加性；“量角器的爸爸”“量角器的媽媽”與量角器上的內(nèi)圈刻度、外圈刻度及各自功能有效對接，充滿著智慧的火花。

【本文系安徽省六安市教育信息化課題“智慧課堂環(huán)境下小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)案例研究”（立項號：LA202122）的研究成果】

（作者單位：安徽霍山縣衡山鎮(zhèn)東城中心學(xué)校）