四年級學(xué)生學(xué)習(xí)了角的認識和度量后，知識的應(yīng)用往往局限于“生活中找角”“測量角的大小”上，但這僅僅是對知識的簡單應(yīng)用和操作，并不是真正意義上的學(xué)科實踐。所謂學(xué)科實踐是源于對學(xué)科知識與生活現(xiàn)象本質(zhì)的理解和應(yīng)用，具有跨學(xué)科性和聯(lián)系性。如何開發(fā)一節(jié)數(shù)學(xué)實驗課，讓學(xué)生經(jīng)歷從學(xué)科知識到學(xué)科實踐的“真探究”“真實踐”過程呢？“鏡子里的秘密”這一數(shù)學(xué)實驗項目，其目的就是在學(xué)習(xí)“角的度量”后，將數(shù)學(xué)與科學(xué)知識整合，架起知識到實踐的橋梁，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，發(fā)展核心素養(yǎng)。該數(shù)學(xué)實驗借助平面鏡工具，讓學(xué)生經(jīng)歷“角度與虛像的函數(shù)關(guān)系”數(shù)學(xué)建模過程，實現(xiàn)角度知識的遷移應(yīng)用。通過觀察、猜想、實踐、歸納、推理等思維過程，培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力和實驗探究力。這節(jié)實驗課可以安排在“角的度量”學(xué)習(xí)后，增設(shè)一節(jié)拓展性的數(shù)學(xué)實驗課，具體實驗探究過程呈現(xiàn)如下。

一、觀察單面鏡，了解虛像[ ]

1.初識萬花筒，引出鏡子。

師：今天老師給大家?guī)砹艘粋€玩具（出示萬花筒），這個萬花筒里面真的藏著千千萬萬朵花嗎？

生：其實沒有那么多花，但因為里面有鏡子，通過反射，就可以看到無數(shù)朵花。

師：看來產(chǎn)生那么多花是因為鏡子的緣故，同學(xué)們想知道其中的奧秘嗎？今天這節(jié)課我們就來研究“鏡子里的秘密”。

2.通過單面鏡，了解虛像。

師：老師給每位同學(xué)都準備了一面平面鏡，大家照一照，你看到了什么？

生：在鏡子里面看到了我自己。

師：鏡子里真的還藏著一個你嗎？

生：鏡子里面是我的虛像，不是真實的我。

師：是的，鏡子里面并不是真的有一個人，而是光線通過鏡子反射到眼睛里，產(chǎn)生的物體的虛像。

【設(shè)計意圖】從學(xué)生熟悉的萬花筒入手引發(fā)猜想，激起學(xué)生探索萬花筒成像數(shù)量的奧秘，從而將一個常見的科學(xué)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)知識建立聯(lián)系，既有學(xué)科融合又將數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，真正發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、調(diào)整雙面鏡，觀察變化[ ]

1.任務(wù)驅(qū)動，建立猜想。

師：你從這面鏡子里看到了自己的幾個虛像？（生：只有1個）如果想看到更多的虛像，可以怎么做？

生：增加鏡子。

師：增加幾面呢？

生：2面或者3面。

生：2面就夠了。

師：增加鏡子就可以讓虛像變多嗎？

生：還需要轉(zhuǎn)換一下角度。

師：你真會思考！2面鏡子怎么轉(zhuǎn)換角度呢？

生：可以連接一端，讓2面鏡子的夾角變大或變小，鏡子的位置發(fā)生了變化，角度也就發(fā)生了變化。

師：這樣的鏡子，我們暫且稱為雙面鏡。

2.操作實踐，觀察驗證。

師：夾角變化真的可以使虛像變多嗎？這些都是你們的猜想，到底能不能實現(xiàn)，我們還需要實驗來驗證。

出示實驗要求：

（1）兩人合作，制作雙面鏡。

（2）放置積木，觀察怎樣使虛像個數(shù)更多。

（3）與同桌交流你的發(fā)現(xiàn)。

3.驗證猜想，反饋交流。

師：做了剛才的實驗，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：雙面鏡夾角變大，虛像個數(shù)變少；夾角變小，虛像個數(shù)變多。

師：看來剛才的猜想是正確的，增加1面鏡子再調(diào)整角度大小，真的可以使虛像個數(shù)變多了。

【設(shè)計意圖】以任務(wù)驅(qū)動的形式調(diào)動學(xué)生視覺、觸覺等多重感官，初步發(fā)現(xiàn)夾角與虛像個數(shù)的關(guān)系，為進一步探索“夾角與虛像個數(shù)的函數(shù)關(guān)系”鋪墊操作性思維經(jīng)驗。

4.使用角度卡，探索規(guī)律。

（1）觀察個例，探索發(fā)現(xiàn)。

師：我們一起來觀察一位同學(xué)剛才做實驗時的照片（如圖1），對著正中間這條線看過去，你能看到幾個虛像？（生：3個）那實物在哪里？（學(xué)生指一指）猜猜這2面鏡子的夾角是多少度。

生：可能是60°、90°或120°。

師：請拿出角度卡，動手試一試。

學(xué)生操作驗證發(fā)現(xiàn)：夾角為90°。

（2）小組討論，再次設(shè)疑。

師：看來這3個虛像和90°有一些關(guān)系，為什么偏偏夾角是90°的時候會出現(xiàn)3個虛像呢？小組討論一下吧。

反饋學(xué)生討論的結(jié)果。

生：鏡子里有3個直角，每個都對應(yīng)1個虛像。

生：1個周角是360°，里面恰好有4個直角，而其中1個是實像，所以虛像有3個。

師：如果4個夾角就會有3個虛像，以此類推的話，5個夾角、6個夾角又會產(chǎn)生多少個虛像呢？請繼續(xù)用角度卡來驗證你的猜想。

（3）列表歸納，建立模型。

出示學(xué)生操作過程，如圖2。

師：將實驗結(jié)果填入表格中（如表1）。請思考虛像個數(shù)與夾角度數(shù)有什么關(guān)系。

生1：我發(fā)現(xiàn)虛像個數(shù)每次都比夾角個數(shù)少1。

生2：當夾角是120°的時候，虛像個數(shù)=360°÷120°－1=2。

生3：當夾角是60°的時候，虛像個數(shù)=360°÷60°－1=5。

生4：以此類推，我發(fā)現(xiàn)夾角個數(shù)可以用360°÷夾角度數(shù)來計算。那么，虛像個數(shù)=360°÷夾角度數(shù)－1。

師：為什么每次都要減去1個？

生：因為有1個是實物。

師：如果夾角是30°，不做實驗，你能計算出虛像個數(shù)嗎？

生：360°÷30°-1=11（個）。

師：如果夾角是180°呢？怎么只有1個虛像呢？

生：360°÷180°-1=1（個），當兩面鏡子擺成180°的夾角時，相當于連接成了1面鏡子，所以是1個虛像。

師：這就相當于我們最開始拿著單面鏡照自己，只看到1個虛像。

【設(shè)計意圖】從夾角為90°時虛像個數(shù)為3這一特例出發(fā)，學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)虛像個數(shù)與夾角角度之間的關(guān)系，再運用類比推理，提出“虛像個數(shù)與360°中夾角個數(shù)之間相差1”的猜想。組織學(xué)生繼續(xù)探究120°、60°、40°等角度，從特殊到一般，不斷積累經(jīng)驗，通過不完全歸納，發(fā)現(xiàn)夾角與虛像個數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，借助實驗實現(xiàn)學(xué)科知識到學(xué)科實踐，又從學(xué)科實踐到學(xué)科知識的雙向整體聯(lián)系，經(jīng)歷了一次數(shù)學(xué)建模過程。

三、拆解萬花筒，拓展應(yīng)用[ ]

1.聯(lián)系實際，揭秘平行鏡。

師：如果兩面鏡子面對面平行擺放會怎樣？試一試。

生：會產(chǎn)生無數(shù)個虛像。

師：為什么有無數(shù)個虛像？可以用剛剛發(fā)現(xiàn)的算法來解釋這個現(xiàn)象嗎？

生：虛像被連續(xù)互相反射，產(chǎn)生了無數(shù)個虛像。

生：從剛才得出的公式計算：虛像個數(shù)=360°÷夾角度數(shù)－1，當夾角無限小的時候，虛像個數(shù)就無限大。

師：解釋得非常好，有一些導(dǎo)演和特效師根據(jù)這一原理，制作了很多讓我們嘆為觀止的視覺特效，讓我們一起欣賞。

播放影片《盜夢空間》中“鏡子時刻”的片段。

2.首尾呼應(yīng)，了解原理。

師：現(xiàn)在大家再來猜一猜，萬花筒里面究竟有多少面鏡子？可以拆開來觀察一下。

生：哇！里面居然有3面鏡子。

師：明明是平行鏡下才會有無數(shù)個虛像，里面沒有相互平行的鏡子，怎么也會有無數(shù)個虛像呢？

生：每兩面鏡子的夾角都是60°，每個60°都會產(chǎn)生多個虛像，虛像再經(jīng)過多次來回反射后，形成無數(shù)個虛像。

師：兩面平行鏡就可以有無數(shù)個虛像，萬花筒為什么還要選擇三面呢？

生：因為萬花筒是圓柱形，如果用平行鏡，轉(zhuǎn)動起來，會有一些角度不方便觀察到虛像。

師：同學(xué)們真厲害，萬花筒里的數(shù)學(xué)奧秘也被你們破解了！

【設(shè)計意圖】用數(shù)學(xué)知識解釋多面鏡成像原理，發(fā)現(xiàn)兩面平行擺放的平面鏡能產(chǎn)生無數(shù)個虛像，并被廣泛應(yīng)用。以首尾呼應(yīng)的形式，回顧釋疑萬花筒里鏡子數(shù)量的猜想，在學(xué)生心中埋下實驗研究的種子。

（作者單位：浙江杭州市天長小學(xué)）