“設(shè)計(jì)和選用學(xué)習(xí)材料要彰顯思維價(jià)值”，在浙江省新思維教育科學(xué)研究院，張?zhí)煨⒗蠋煛⒅鞓菲嚼蠋熞恢边@樣強(qiáng)調(diào)。三門問題是一個(gè)非常反直覺，但恰恰能彰顯數(shù)學(xué)思維力量的學(xué)習(xí)材料。那么，如何促進(jìn)學(xué)生從直覺判斷向理性分析轉(zhuǎn)化？基于實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的視域，我們的實(shí)踐方式是“數(shù)學(xué)動(dòng)手創(chuàng)”。面對(duì)現(xiàn)實(shí)問題，不停留于直覺判斷，而是把它作為猜想，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)操作、觀察分析、推理論證等過程，體驗(yàn)像數(shù)學(xué)家一樣思維，“創(chuàng)造”出屬于自己的知識(shí)和見解，從而提升“三會(huì)”素養(yǎng)。

【三門問題簡(jiǎn)介】

三門問題得名于美國(guó)著名主持人蒙提·霍爾在1968年主持的一檔“Let’s Make a Deal（一錘定音）”電視節(jié)目。在活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)，有三扇門，其中一扇的后面有一輛汽車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊，選中汽車者可當(dāng)場(chǎng)開走。在現(xiàn)場(chǎng)，參與嘉賓首先選定一扇門，節(jié)目主持人是知道結(jié)果的，但他不是馬上開門驗(yàn)證，而是開啟剩下兩扇門中有山羊的那扇門。面對(duì)剩下的兩扇門，主持人緊接著問嘉賓：現(xiàn)在你想要改變選擇，還是堅(jiān)持原來的選擇？

很多人認(rèn)為，汽車停在門后沒有移動(dòng)過，改變選擇不會(huì)改變結(jié)果，如果改變?cè)瓉淼倪x擇，說不定“煮熟的鴨子飛跑了”，讓人懊惱呢；但是不改變，會(huì)不會(huì)和巨獎(jiǎng)就此“擦肩而過”，讓人更遺憾呢？巨獎(jiǎng)吸引人，選擇很糾結(jié)，怎么辦？如何做才能克服“跟著感覺走”的沖動(dòng)，進(jìn)行理性思考并做出正確的判斷呢？

【教學(xué)目標(biāo)】

1.用數(shù)學(xué)的眼光觀察和思考一個(gè)綜藝節(jié)目，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，把直覺判斷作為猜想假設(shè)。

2.用數(shù)學(xué)的思維思考三門問題，通過模擬實(shí)驗(yàn)，以枚舉和推理相結(jié)合的方法分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)展推理能力。

3.用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)三門問題的思考結(jié)果，有理有據(jù)地闡述自己的觀點(diǎn)。

【教學(xué)過程】

一、觀看節(jié)目，嘗試用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題

（一）大屏幕呈現(xiàn)：“堅(jiān)持”與“改變”。

師：同學(xué)們，當(dāng)碰到一個(gè)讓你為難的選擇時(shí)，你是會(huì)堅(jiān)持呢，還是會(huì)改變選擇呢？

生：要看什么情況，能堅(jiān)持的話，我會(huì)堅(jiān)持下去。

生：我認(rèn)為做這件事情比較有意義的時(shí)候，會(huì)堅(jiān)持，但是如果我認(rèn)為這件事情做不下去時(shí)，就會(huì)改變。

師：如果請(qǐng)你來參加有獎(jiǎng)競(jìng)猜，選對(duì)就有一份巨獎(jiǎng)，你會(huì)怎樣選擇呢？

（二）播放三門問題的節(jié)目視頻：一錘定音。

（播放到第一次選擇時(shí)暫停）

生：我會(huì)選3號(hào)門，我覺得主持人會(huì)把汽車停在最后一扇門后面。

生：我選2號(hào)門，和做選擇題一樣，選中間的更有可能對(duì)。

生：我覺得汽車停在三扇門后的可能性是一樣的，都是[1/3]，選哪扇門都一樣，我選1號(hào)門。

師：大家都同意嗎？哦，大家都認(rèn)同你的分析。讓我們接著看。

（繼續(xù)播放視頻：主持人沒有立即驗(yàn)證嘉賓的選擇，而是打開了一扇門后無車的門，面對(duì)剩下的兩扇門，讓嘉賓再次選擇）

師：同學(xué)們，現(xiàn)在主持人已經(jīng)幫你排除了一扇門，如果你有機(jī)會(huì)再選一次，你會(huì)怎樣選？為什么？

生：我和第一次相同，選擇3號(hào)門，因?yàn)槠嚊]有動(dòng)過，不管選幾次還是在原地。

生：我和第一次相同，還是1號(hào)門，剩下的兩扇門后都有可能有車，可能性都是[1/2]，既然相同，那我就不換了。

生：我想換一下選擇，既然剩下的可能性都是[1/2]，那換一下選擇說不定會(huì)讓人驚喜呢。

生：我也想換一下選擇，主持人這樣做總有道理的吧。

生：才不換呢，主持人是故意的！他是故弄玄虛，引你上當(dāng)。你想啊，如果你開始是猜錯(cuò)的，他為什么會(huì)讓你再選從而得獎(jiǎng)呢？

【教學(xué)隨感】三門問題之所以令人感到反直覺，是因?yàn)槿祟惷鎸?duì)不確定事件時(shí)不擅長(zhǎng)處理。學(xué)生的選擇，看上去有理有據(jù)，實(shí)際上和問題本身沒有邏輯關(guān)系，只是在憑借原有經(jīng)驗(yàn)下結(jié)論。不僅是學(xué)生，我們成人也常常囿于經(jīng)驗(yàn)或直覺，不注意甄別現(xiàn)有的事實(shí)和原有的經(jīng)驗(yàn)之間的差異，而用“經(jīng)驗(yàn)代替事實(shí)”，然后開始“有理有據(jù)”地下結(jié)論。

師：現(xiàn)在我們統(tǒng)計(jì)一下。（統(tǒng)計(jì)結(jié)果是：40人中，堅(jiān)持原來選擇的有37人，改變選擇的有3人）3位同學(xué)選擇了“改變”，你們有沒有什么想說的？

生：第一次有三扇門，選到的可能性是[1/3]，第二次剩下兩扇門，選到的可能性是[1/2]，可能性增加了，所以我想換個(gè)選擇。

生：其實(shí)是一樣的，剩下兩扇門不管怎樣選擇，可能性都是相同的，換不換選擇結(jié)果都一樣，就看運(yùn)氣好不好。

（教師當(dāng)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，有這樣的想法的學(xué)生有22人）

師：好，大家說了自己的想法。（板書：想法）不過，這是不是事實(shí)呢？（板書：事實(shí)）我們的想法和事實(shí)有沒有差距呢？怎樣來驗(yàn)證？

二、模擬實(shí)驗(yàn)，見證事實(shí)，用數(shù)學(xué)的眼光思考實(shí)驗(yàn)結(jié)果

（一）設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，模擬嘗試。

師：大家都想親自來嘗試一下，看看自己的選擇能不能得獎(jiǎng)，是吧？我們來試一試。

【教學(xué)隨感】如果實(shí)驗(yàn)課能有1小時(shí)的時(shí)間，教師還可以和學(xué)生共同討論如何做模擬實(shí)驗(yàn)。在本節(jié)課中，教師是用倒扣在桌上的紙杯代替關(guān)閉的門，杯中放小玩具車（小球）。在實(shí)驗(yàn)之前，還有一個(gè)細(xì)節(jié)需要考慮：主持人放小玩具車（小球）時(shí)怎樣才能做到隨機(jī)擺放？因?yàn)槿绻皇请S機(jī)擺放，主持人由自己的心意擺放，那么這個(gè)活動(dòng)就變成了猜主持人心思的活動(dòng)了。

師：如果你是主持人，你會(huì)把小車放在哪個(gè)杯子里呢？

生：我會(huì)輪流放，每次放的位置不一樣。

生：我想每次放同一個(gè)位置，因?yàn)椴碌娜艘詾槲颐看味紩?huì)換地方放。

師：那你們的好朋友來猜，事先知道你們的習(xí)慣，正確率比別人更高了吧。這樣就會(huì)——

生：不公平！

生：最好再請(qǐng)一個(gè)人來放小車，這樣大家都看不到。

生：如果都看不到的話，那主持人等會(huì)兒還要翻開一個(gè)空杯子啊……

師：以前我們玩游戲時(shí)，為了保證公平，是用什么方法？（生：擲骰子）為保證公平，待會(huì)兒主持人就用擲骰子（本實(shí)驗(yàn)用的是“三數(shù)骰子”，它只有3個(gè)數(shù)，6個(gè)面上分別是2個(gè)“1”、2個(gè)“2”、2個(gè)“3”）看點(diǎn)數(shù)的方式?jīng)Q定小車放哪個(gè)杯子里。現(xiàn)在誰愿意來試試？

（教師請(qǐng)2個(gè)學(xué)生分別扮演主持人和嘉賓來模擬活動(dòng)，讓大家熟悉實(shí)驗(yàn)過程）

（二）模擬實(shí)驗(yàn)，觀察記錄。

師：大家是不是都想自己來做？同桌兩人討論一下，怎樣做這個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

討論后反饋：同桌兩人互做主持人與嘉賓，把實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別記錄在實(shí)驗(yàn)單1（堅(jiān)持原來選擇，如表1）、實(shí)驗(yàn)單2（改變?cè)瓉磉x擇，實(shí)驗(yàn)單略）上。視時(shí)間，每人不少于5次。

實(shí)驗(yàn)簽名：_________。

三、審視數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)的思維解析成因

（一）實(shí)驗(yàn)反饋，匯總數(shù)據(jù)。

由于時(shí)間關(guān)系，這節(jié)課每人實(shí)驗(yàn)了5次，同桌活動(dòng)后匯總到四人小組，數(shù)據(jù)如表2。

（二）審視數(shù)據(jù)，交流討論。

師：這是我們剛才實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，同學(xué)們有什么想說的？四人小組討論一下。討論后，全班交流。

生：我發(fā)現(xiàn)改變選擇后得獎(jiǎng)的次數(shù)更多一點(diǎn)。

生：這個(gè)數(shù)據(jù)是有誤差的，應(yīng)該是一樣的，因?yàn)槭Ｏ聝蓚€(gè)杯子，選中的可能性是一樣的。

生：我覺得不一樣，從表格中的數(shù)據(jù)看，雖然有2組“堅(jiān)持原來選擇”的得獎(jiǎng)率高，只高了一點(diǎn)點(diǎn)，但是有8組都是“改變選擇”得獎(jiǎng)率高（有1組得獎(jiǎng)率是相同的），全班匯總也是“改變選擇”的得獎(jiǎng)率高，高好多。

師：從全班的數(shù)據(jù)看，“改變選擇”后成功的有60次，大大超過了“堅(jiān)持原來選擇”的38次成功。如果繼續(xù)實(shí)驗(yàn)下去，還是“改變選擇”成功率高嗎？其中有沒有什么奧秘呢？

（學(xué)生議論紛紛，有的拿起杯子放慢動(dòng)作一邊做一邊想，有的拿起筆寫寫畫畫）

生：我覺得不一樣，堅(jiān)持原來選擇的獲獎(jiǎng)可能性是[1/3]，改變選擇后獲獎(jiǎng)可能性是[1/2]。

生：不一樣，猜中一個(gè)杯子的可能性是[1/3]，另外兩個(gè)是[2/3]，那么翻開其中一個(gè)空杯，另一個(gè)杯子里面有小車的可能性是[2/3]。

四、多元表征，用數(shù)學(xué)的思維解析成因

師：大家能聽懂嗎？（不少學(xué)生搖頭）怎么說別人才容易聽懂呢？（這個(gè)學(xué)生又重復(fù)了一遍）現(xiàn)在同學(xué)們能理解嗎？（大部分學(xué)生還是搖頭）我們是不是可以舉個(gè)例子試試看？

生：比如，如圖1，第一次選擇了1號(hào)杯，小車在里面的可能性是[1/3]，在另外兩個(gè)杯子里的可能性是[1/3]+[1/3]=[2/3]。大家同意嗎？（學(xué)生點(diǎn)頭）現(xiàn)在翻開了這兩個(gè)杯子中的一個(gè)，沒有小車，可能性是0，那么在另一個(gè)杯子中的可能性就是[2/3]。

師：大家同意嗎？有問題想問嗎？

（學(xué)生若有所思）

生：如果第一次選擇2號(hào)杯呢？

師：是啊，也能這樣想嗎？如果第一次選擇3號(hào)杯呢？我們能不能用畫示意圖的方法來分析？同桌交流交流。

【教學(xué)隨感】學(xué)生用畫示意圖的方法分析，發(fā)現(xiàn)“翻開空杯”這個(gè)舉動(dòng)很關(guān)鍵，排除了這只杯子的可能性，增加了另一只杯子的可能性。學(xué)生借助圖形，容易發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系和變化，有助于發(fā)現(xiàn)問題解決的思路，有利于發(fā)展幾何直觀。

師：看來，畫示意圖能讓我們更容易發(fā)現(xiàn)問題中的關(guān)系，幫助我們解決問題，真是個(gè)好方法！在平時(shí)的數(shù)學(xué)應(yīng)用中，我們還常常用到哪些方法？比如用表格來分析，我們能試試嗎？

（學(xué)生反饋，在表格中把可能發(fā)生的情況列出來，如表3）

師：從表格中，我們可以發(fā)現(xiàn)什么？如果堅(jiān)持原來選擇，要在什么情況下才會(huì)猜中？

生：明白了，只有在第一次就猜對(duì)的情況下，堅(jiān)持原來的才會(huì)猜中，可能性是[1/3]。

生：如果第一次猜錯(cuò)，那就要改變選擇才會(huì)猜中，原來錯(cuò)的可能性是[2/3]，改變后變成猜中，所以改變選擇后猜中率是[2/3]。

師：是這樣嗎？同桌互相檢查一下?？磥恚痢镣瑢W(xué)的發(fā)現(xiàn)是正確的。剛才我們用表格來分析，你覺得有什么好處？

生：我發(fā)現(xiàn)用表格來分析，可以把每一種情況都寫出來，方便我們看。

生：我發(fā)現(xiàn)在用表格描述的時(shí)候，排列更有序，這樣更能看出規(guī)律。

師：是呀，剛才我們用了列表法分析，還有之前用的畫示意圖法等，這些方法都能幫助我們整理信息，發(fā)現(xiàn)問題，找到關(guān)鍵，從而有理有據(jù)地分析。

五、回顧反思，提升認(rèn)知

在經(jīng)過問題猜想、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、實(shí)踐操作、觀察記錄、分析解釋這一系列實(shí)驗(yàn)步驟之后，學(xué)生得到了三門問題的初步解答，接下來是實(shí)驗(yàn)教學(xué)的重要一環(huán)：回顧反思。在整個(gè)回顧反思環(huán)節(jié)，教師提醒學(xué)生回顧與思考。

師：同學(xué)們，今天這節(jié)課就要結(jié)束了，讓我們來回顧一下吧！

屏幕上顯示：

（1）今天的實(shí)驗(yàn)最讓我開心的是（ ）。

（2）今天的實(shí)驗(yàn)最讓我驚訝的是（ ）。

（3）今天的實(shí)驗(yàn)中我遇到的困難有（ ），我的解決方法是（ ）。

（4）今天的實(shí)驗(yàn)讓我又冒出了一些新問題：（ ）。

生：最讓我開心的是玩。最讓我驚訝的是我以為可能性是一樣的，沒想到換選擇后贏的可能性更大。

生：我一直以為堅(jiān)持原來選擇贏的可能性更大，做事情要堅(jiān)持嘛。沒想到改變選擇后贏的可能性更大。

生：通過今天的活動(dòng)，我想如果杯子更多，怎么選？會(huì)有什么規(guī)律呢？

生：今天的實(shí)驗(yàn)只有1輛小車，如果有100扇門，小車不止1輛，比如3輛，這個(gè)游戲該怎么玩？

生：如果主持人自己也不知道汽車放在哪扇門后面，隨意打開一扇門，那怎么選呢？

師：今天的活動(dòng)同學(xué)們玩得都很開心，很有收獲，我們還想到了許多新問題，特別好！大家不妨選擇其中感興趣的問題繼續(xù)研究。

【教學(xué)隨感】這個(gè)回顧反思的過程是我們?cè)谒袛?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中都要進(jìn)行的。與反思框架中的其他問題相比，我們?cè)诒菊n更重視框架中的問題（1）和問題（2）的反思。在討論中，學(xué)生們表達(dá)了自己的實(shí)驗(yàn)感悟：“實(shí)驗(yàn)前，我以為……實(shí)驗(yàn)后我發(fā)現(xiàn)……”“在實(shí)驗(yàn)中，我發(fā)現(xiàn)結(jié)果和我之前想的不一樣，畫過表格以后，我才發(fā)現(xiàn)原來……”通過反思，學(xué)生們的思維雖然還不能完全抽象到數(shù)學(xué)層面，但讓他們體驗(yàn)到直覺的優(yōu)勢(shì)和理性的力量也正是本節(jié)課的重要目標(biāo)。

（作者單位：羅永軍，浙江省新思維教育科學(xué)研究院，杭州市勝利山南小學(xué)；沈建琦，杭州市青少年活動(dòng)中心）