編者按

數(shù)學(xué)有系統(tǒng)性、演繹性的一面，也有嘗試性、實(shí)驗(yàn)性的一面，尤其在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)是一門(mén)實(shí)驗(yàn)性很強(qiáng)的歸納科學(xué)。2014年，浙江省杭州市天長(zhǎng)小學(xué)和浙江省新思維教育科學(xué)研究院聯(lián)合，提出了基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容開(kāi)發(fā)的學(xué)習(xí)方式探索，在具有操作性、直觀具體、交互有趣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，以“意義邏輯”的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)探索與研究，實(shí)現(xiàn)內(nèi)容與方式的高度優(yōu)化與協(xié)同，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)從“被動(dòng)學(xué)習(xí)、訓(xùn)練學(xué)習(xí)、淺層學(xué)習(xí)”走向“主動(dòng)學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)”，為他們終身的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。如今，他們的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究探索取得了比較豐富的階段性成果，該成果獲得浙江省2021年基礎(chǔ)教育教學(xué)成果特等獎(jiǎng)。本期的《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究專(zhuān)輯》主要展示其數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論探索成果和兩節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課。本專(zhuān)輯也是2022年12月《小學(xué)教學(xué)》聯(lián)合杭州市上城區(qū)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究團(tuán)隊(duì)舉辦的網(wǎng)絡(luò)教研活動(dòng)中的主要內(nèi)容，此活動(dòng)的視頻，大家可以?huà)呙栌覀?cè)的二維碼觀看。

基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式探索，以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為宗旨，把抽象的概念、公式、規(guī)律融入可操作、可實(shí)踐、可嘗試、可創(chuàng)造的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景中，深度理解概念、法則與原理，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動(dòng)具象，經(jīng)歷從“數(shù)學(xué)理解”到“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”的思維探究過(guò)程，促使學(xué)生從“被動(dòng)學(xué)習(xí)、訓(xùn)練學(xué)習(xí)、淺層學(xué)習(xí)”走向“主動(dòng)學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)”，實(shí)現(xiàn)從“坐中學(xué)”向“做中學(xué)”轉(zhuǎn)型。

一、研究歷程

我們團(tuán)隊(duì)研究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)已有12年，經(jīng)歷了四個(gè)階段。第一階段屬于萌芽期，以“一個(gè)月都在做研究”為載體，開(kāi)展數(shù)學(xué)真問(wèn)題解決研究，引領(lǐng)學(xué)生從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究緊密結(jié)合，數(shù)學(xué)內(nèi)容與學(xué)生生活緊密結(jié)合。第二階段屬于探索期，以省級(jí)規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的開(kāi)發(fā)與實(shí)施研究”為抓手，構(gòu)建了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開(kāi)發(fā)的原則、全序列內(nèi)容設(shè)計(jì)以及評(píng)價(jià)體系創(chuàng)新。第三階段屬于深化期，深入研究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為學(xué)習(xí)方式的機(jī)理與操作路徑，構(gòu)建了三類(lèi)探究式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)方式——邊做邊思式、嘗試歸納式、猜想驗(yàn)證式，創(chuàng)建了三星級(jí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)中心。第四階段屬于推廣期，發(fā)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)基地學(xué)校60余所，引領(lǐng)8萬(wàn)多名學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，出版數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)兒童讀物《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)王》和《動(dòng)手做一做數(shù)學(xué)》，普惠更多學(xué)子。

二、研究成果

（一）篩選出4條數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)原則。

1.“可視性學(xué)習(xí)”原則。凸顯每個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)是可視的，包括設(shè)計(jì)、操作、記錄、制作模型等，這為學(xué)生提供了使用多種表達(dá)方式的可能，讓學(xué)生在可視的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中深度理解數(shù)學(xué)的核心概念、法則與原理，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動(dòng)具象。

2.“嘗試性學(xué)習(xí)”原則。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)可分為驗(yàn)證性和探索性?xún)深?lèi)，它們都是以學(xué)生不斷嘗試為學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。驗(yàn)證性學(xué)習(xí)，重在個(gè)體自我構(gòu)建新知，驗(yàn)證的過(guò)程就是不斷嘗試的“再創(chuàng)造”過(guò)程；探索性學(xué)習(xí)，即在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、操作、觀察、對(duì)比、推理等過(guò)程中充滿(mǎn)著嘗試與調(diào)整。

3.“差異性學(xué)習(xí)”原則。面對(duì)有差異的學(xué)生，創(chuàng)設(shè)開(kāi)放性實(shí)驗(yàn)活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生根據(jù)自己發(fā)展的需求，自主選擇學(xué)習(xí)方式，從而滿(mǎn)足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，激發(fā)每一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。

4.“再創(chuàng)性學(xué)習(xí)”原則。鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷“提出問(wèn)題、方案設(shè)計(jì)、工具選制、實(shí)驗(yàn)步驟、實(shí)驗(yàn)分析等”學(xué)習(xí)過(guò)程，在這一過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷假設(shè)、猜想、類(lèi)比、嘗試、歸納等思維活動(dòng)。從這個(gè)意義上說(shuō)，每一次的假設(shè)、嘗試、改進(jìn)都是一個(gè)不斷再創(chuàng)造的過(guò)程，讓學(xué)生能像數(shù)學(xué)家一樣思考問(wèn)題、解決問(wèn)題。

（二）設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

首先，根據(jù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)原則，在不增加課時(shí)量的前提下，依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)核心知識(shí)、方法與思想，設(shè)置了數(shù)量與運(yùn)算、模式與關(guān)系、圖形與測(cè)量、拓?fù)渑c變換、統(tǒng)計(jì)與分析、隨機(jī)與概率等6個(gè)模塊。其次，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容一方面充分指向“經(jīng)驗(yàn)與思想增長(zhǎng)”，例如，操作經(jīng)驗(yàn)、探究經(jīng)驗(yàn)、思考經(jīng)驗(yàn)以及基本思想方法；另一方面充分指向“核心概念和跨學(xué)科”，例如，等式、位置值、度量等大概念，以及數(shù)學(xué)與音樂(lè)、美術(shù)、科學(xué)、體育一些共性?xún)?nèi)容關(guān)聯(lián)與融合，培養(yǎng)學(xué)生的跨界創(chuàng)新思維與能力。遵循宜少不宜多的原則，系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一至六年級(jí)共計(jì)120項(xiàng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使之序列化、結(jié)構(gòu)化，平均每個(gè)學(xué)期安排10個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，計(jì)15課時(shí)。

（三）研制了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作步驟。

遵循數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)原則，根據(jù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)特點(diǎn)，研制了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作七步驟（如圖1），“操作七步驟”代表數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的迭代過(guò)程，而非線(xiàn)性的工作。

第一步：提出問(wèn)題。每個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，應(yīng)該把“提出問(wèn)題”放在第一位，要舍得花時(shí)間讓學(xué)生提出各種問(wèn)題，然后引領(lǐng)學(xué)生篩選出有價(jià)值的問(wèn)題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。例如，在“如何用綠豆測(cè)量樹(shù)葉面積”實(shí)驗(yàn)中，全班學(xué)生提出了30多個(gè)好問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上確定要探究的核心問(wèn)題——如何用綠豆測(cè)量樹(shù)葉面積。

第二步：猜想與假設(shè)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的推進(jìn)，離不開(kāi)猜想。學(xué)生從現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，再到形成猜想，需要一定的環(huán)境和時(shí)間，在這個(gè)過(guò)程中，作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)者不要急于求成，要讓學(xué)生充分討論，在討論的基礎(chǔ)上提出猜想或假設(shè)。例如，在“如何用綠豆測(cè)量樹(shù)葉面積”實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生形成這樣的假設(shè)：先在不規(guī)則圖形的上面撒下一把綠豆，然后分別數(shù)出在長(zhǎng)方形里面和不規(guī)則圖形里面的綠豆的數(shù)量，看看兩部分?jǐn)?shù)量有怎樣的比例關(guān)系，猜想它們的面積是否也存在這樣的關(guān)系，從定量研究面積走向用隨機(jī)思想研究面積，實(shí)現(xiàn)思維跨界發(fā)展。

第三步：設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)。如果說(shuō)提出問(wèn)題和形成猜想是宏觀上的思想，那么設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是微觀上的操作。例如，如何讓綠豆撒得均勻，小組進(jìn)行“頭腦風(fēng)暴”和“實(shí)驗(yàn)操作”，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，從7厘米的高度自然撒落分布會(huì)比較均衡，然后生成比較成熟的實(shí)驗(yàn)方案和規(guī)范操作，保證了實(shí)驗(yàn)的科學(xué)性。

第四步：進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。從理論到實(shí)踐，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)是承上啟下的重要環(huán)節(jié)，也最能鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力。為了獲取更多撒綠豆的數(shù)據(jù)，全班分為10個(gè)組，有分工，有合作，數(shù)據(jù)共享，使得實(shí)驗(yàn)效益最大化。

第五步：分析論證。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)完成后，要對(duì)觀測(cè)到的數(shù)據(jù)結(jié)果或現(xiàn)象進(jìn)行分析論證，以回應(yīng)實(shí)驗(yàn)猜想或假設(shè)。一般情況下，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)論背后往往隱藏著數(shù)學(xué)原理，讓學(xué)生進(jìn)行分析論證，嘗試對(duì)數(shù)學(xué)原理做出解釋?zhuān)軌蚴箤W(xué)生獲得豁然開(kāi)朗的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，這樣的體驗(yàn)將會(huì)進(jìn)一步提升他們探求的欲望和興趣。例如，在“如何用綠豆測(cè)量樹(shù)葉面積”這一課，學(xué)生運(yùn)用“分類(lèi)數(shù)”和“轉(zhuǎn)化數(shù)”兩種方法驗(yàn)證“用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)測(cè)量面積”的可靠性。

第六步：得出結(jié)論。考慮到小學(xué)生的年齡特征，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分析和結(jié)論表征往往是多元化的，既可以是數(shù)據(jù)，也可以是文字、圖畫(huà)。例如，“生活中的100是多少”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的結(jié)論大多是生動(dòng)的場(chǎng)景說(shuō)明。

第七步：評(píng)估交流。評(píng)估交流環(huán)節(jié)不僅是為了展示成果，更為重要的是在溝通中反思自己的所作所為，回顧并完善數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的每個(gè)步驟和方法，從而促進(jìn)元認(rèn)知的發(fā)展。

（四）構(gòu)建了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式。

依據(jù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的多少與類(lèi)型，在操作步驟的基礎(chǔ)上大致可以把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式分為三類(lèi)：邊做邊思式、嘗試歸納式和猜想驗(yàn)證式。

1.邊做邊思式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)。該類(lèi)型學(xué)習(xí)側(cè)重于動(dòng)手操作，同時(shí)在動(dòng)手操作的過(guò)程中重思考、重發(fā)現(xiàn)，讓實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)逐步從模糊走向清晰，從清晰走向深度理解，建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并把該結(jié)構(gòu)廣泛遷移應(yīng)用于新情境。其學(xué)習(xí)路徑如圖2所示。

例如，“100以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”“小數(shù)的意義”“分?jǐn)?shù)的意義”“長(zhǎng)方形的認(rèn)識(shí)”“長(zhǎng)方形的面積”“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”“觀察物體”等概念課、公式推導(dǎo)課，都可以采用邊做邊思式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)方式。為進(jìn)一步說(shuō)明這類(lèi)學(xué)習(xí)方式，結(jié)合自行開(kāi)發(fā)的“小紐扣大秘密”這節(jié)實(shí)驗(yàn)課再做些闡述。

課例片段：“小紐扣大秘密”。

（1）出示問(wèn)題情境，引發(fā)探究?jī)?nèi)驅(qū)。

問(wèn)題：紐扣市場(chǎng)的紐扣太多太豐富了。老師想讓老板找到一顆這個(gè)樣子的紐扣（出示真實(shí)紐扣），怎么快速找到呢？

（2）審視實(shí)驗(yàn)步驟，操作實(shí)驗(yàn)材料。

師：這些紐扣放得有點(diǎn)亂，如果你是老板，你會(huì)怎么分類(lèi)整理呢？

實(shí)驗(yàn)一：感受分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)不同，結(jié)果也可能不同。

實(shí)驗(yàn)步驟與要求：

①分：兩個(gè)人在桌上分一分。

②記：一起把結(jié)果記錄下來(lái)。為了方便記錄，我們給這8顆紐扣編了號(hào)，你是以什么為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)的？哪幾顆紐扣分為一類(lèi)，就寫(xiě)在同一個(gè)括號(hào)里。

③說(shuō)：和同組的人說(shuō)說(shuō)你的分類(lèi)結(jié)果。

④二次嘗試：想想還能不能以其他標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，記錄結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)反饋：展示學(xué)生分類(lèi)作品。

邊做邊思式實(shí)驗(yàn)在一、二年級(jí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中是最為常用的。在對(duì)實(shí)驗(yàn)材料的選擇上，要為實(shí)驗(yàn)內(nèi)容服務(wù)，一方面要用材料吸引學(xué)生，另一方面要突出學(xué)習(xí)材料的典型性、實(shí)驗(yàn)性和探究性。在數(shù)據(jù)采集上，不僅要采集可以量化的數(shù)據(jù)，也要善于采集學(xué)生的作品，為得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論提供真實(shí)證據(jù)。如果能再拓展一些素材，將實(shí)驗(yàn)引向深處，進(jìn)行數(shù)學(xué)化分析，那就更加完美了。

2.嘗試歸納式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)。嘗試歸納式實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)大多是貫穿課堂的大實(shí)驗(yàn)，其思考、探究的空間大、時(shí)間長(zhǎng)，重在指向培養(yǎng)學(xué)生合情推理意識(shí)與學(xué)會(huì)提出問(wèn)題、研究問(wèn)題的學(xué)習(xí)能力。其學(xué)習(xí)路徑如圖3所示。

例如，“商不變規(guī)律”“等式的性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”等規(guī)律的探究課，可以讓學(xué)生充分經(jīng)歷從事理到數(shù)理的嘗試歸納的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，發(fā)展其抽象思維能力。

3.猜想驗(yàn)證式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)。猜想驗(yàn)證式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與嘗試歸納式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)相似，貫穿課堂核心環(huán)節(jié)，是一種常用的研究方式。該學(xué)習(xí)方式側(cè)重于學(xué)生猜想，是基于學(xué)生猜想引發(fā)的實(shí)驗(yàn)研究，同時(shí)注重學(xué)生質(zhì)疑和提問(wèn)能力的培養(yǎng)。其學(xué)習(xí)路徑如圖4所示。

例如，“乘法交換律、結(jié)合律”的學(xué)習(xí)。教師提問(wèn)：“大家像探索加法中的運(yùn)算律一樣來(lái)猜想乘法中可能存在的運(yùn)算律，你能通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證你們的猜想嗎？”由此引發(fā)出自主實(shí)驗(yàn)研究的要求：

（1）猜想乘法的運(yùn)算律，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

（2）研究、驗(yàn)證自己的猜想，完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

（3）小組交流實(shí)驗(yàn)報(bào)告，準(zhǔn)備全班匯報(bào)。

基于加法運(yùn)算律，學(xué)生可以自主設(shè)計(jì)出如下的實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，并有序展開(kāi)實(shí)驗(yàn)研究活動(dòng)，享受收獲的成功與愉悅。

（五）創(chuàng)建了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)中心。

我們創(chuàng)建了全區(qū)最高級(jí)別的學(xué)習(xí)中心——“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)中心”，研制了學(xué)習(xí)中心實(shí)驗(yàn)器具的配置方案、課桌椅擺放新樣式、實(shí)驗(yàn)中心運(yùn)行機(jī)制等。首先，保障學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的時(shí)間相對(duì)自由，課余和周末實(shí)驗(yàn)中心是開(kāi)放的，學(xué)生隨時(shí)可以取用實(shí)驗(yàn)學(xué)具，也可以在實(shí)驗(yàn)中心完成研究任務(wù)；其次，鼓勵(lì)建立家庭數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，并在老師指導(dǎo)下選擇適合自己的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)小項(xiàng)目進(jìn)行研究，學(xué)校提供實(shí)驗(yàn)材料和空間，以及展示平臺(tái)。

我們倡導(dǎo)“玩做學(xué)合一”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)理念，把抽象的概念、法則在實(shí)驗(yàn)操作中，化抽象為直觀，變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，為小學(xué)生如何更好地學(xué)好數(shù)學(xué)提供了新視角，打開(kāi)了一扇新窗戶(hù)。

（注：該成果獲得浙江省2021年基礎(chǔ)教育教學(xué)成果特等獎(jiǎng)，成果領(lǐng)銜人為吳恢鑾，共享者為張?zhí)煨?、張麟、羅永軍、姚俊俊、吳玉蘭）

（作者單位：浙江杭州市天長(zhǎng)觀潮小學(xué)）