陳姍姍

摘要：圖形表征所具有的直觀性使得其在表征數(shù)學對象中具有無可替代的優(yōu)勢.因此，可以借助圖形表征，如實數(shù)軸、Venn圖、象限角和坐標軸等，幫助學生明確運算對象、掌握運算法則、優(yōu)化運算過程、設(shè)計運算程序，從而正確求出運算結(jié)果.

關(guān)鍵詞：圖形表征；數(shù)學運算；集合

基金項目：廣東省教育科學規(guī)劃2022年度中小學教師教育科研能力提升計劃項目一般課題——基于數(shù)學表征的高中生運算素養(yǎng)培養(yǎng)實踐研究（2022YQJK554）.

數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個常談常新的問題，更是讓師生頭疼的問題.影響學生數(shù)學運算能力的因素有很多，且難以構(gòu)建行之有效的問題解決策略.圖形表征是指用具有一定結(jié)構(gòu)的直觀圖形（如小棒圖、數(shù)軸圖、線段圖等）表示數(shù)量或數(shù)量關(guān)系.由于圖形表征的直觀性，使得其在表征數(shù)學對象中具有無可替代的優(yōu)勢.

集合知識在高中數(shù)學中屬于預(yù)備知識，雖然在教材中所占篇幅較少，但是在后續(xù)的學習中卻發(fā)揮了重要的作用.然而，部分學生卻在理解集合的概念、梳理集合間的基本關(guān)系，以及進行集合的基本運算時感到困難，這會影響學生之后的數(shù)學學習.事實上，無論是集合的概念、集合間的基本關(guān)系，還是集合的交、并、補運算，都可以轉(zhuǎn)化為圖形的形式進行探究.例如，實數(shù)的集合可以用數(shù)軸呈現(xiàn)，點的集合可以用坐標軸呈現(xiàn)，角的集合可以用象限角呈現(xiàn)，集合的交、并、補運算則可以用Venn圖呈現(xiàn).通過圖形可以實現(xiàn)明確運算對象、掌握運算法則、優(yōu)化運算過程、設(shè)計運算程序的目的，從而促使學生快速、準確地求出運算結(jié)果.

一、實數(shù)軸：理解概念本質(zhì)，明確運算對象

集合間的關(guān)系確定和集合運算離不開數(shù)軸，但是剛進入高中的學生用圖意識還不強烈，解題思維還停留在純粹的代數(shù)運算上.高中階段數(shù)形結(jié)合思想的滲透最初就是從數(shù)軸開始的，而數(shù)軸的畫法也是所有圖形中最簡單的.從簡單的圖形入手，培養(yǎng)學生的識圖和作圖意識，是有效開展后續(xù)數(shù)學教學的重要保障.圖形所具有的直觀性是文字和符號無法替代的，尤其在新定義運算中，陌生的表述會讓學生不知所措，不能理解概念，無法明確運算對象，但是通過數(shù)形結(jié)合的方式則可以促進學生對題意的有效理解.

由于實數(shù)與數(shù)軸上的點存在一一對應(yīng)關(guān)系，故數(shù)的問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)軸的問題進行解決.利用數(shù)軸可以幫助學生清晰地理解新定義的符號的含義，明確運算對象的本質(zhì).對于剛接觸高中數(shù)學的學生而言，數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在與數(shù)軸、Venn圖和二次函數(shù)的圖象有關(guān)的內(nèi)容上，教師在授課時要注意強化圖形的應(yīng)用，幫助學生掌握數(shù)形結(jié)合思想.

二、Venn圖：明晰求解目標，掌握運算法則

函數(shù)運算、向量運算或數(shù)列運算都與加、減、乘、除四則運算緊密相連，而集合運算主要反映的是集合間的基本關(guān)系，這是集合運算與其他運算之間最大的區(qū)別.在一些復(fù)雜的集合情境中，學生很難利用列舉法或描述法解決問題.而借助Venn圖則可以清晰、直觀地表示集合間的關(guān)系，尤其對于集合間的交、并、補運算，Venn圖更是展現(xiàn)了巨大的優(yōu)勢.

例2某班45名學生參加植樹節(jié)活動，每名學生都參加了除草、植樹兩項勞動.依據(jù)勞動表現(xiàn)，將學生評定為“優(yōu)秀”“合格”2個等級，結(jié)果如表1所示.

若在兩個項目中都被評定為“合格”的學生最多有10人，則在兩個項目中都被評定為“優(yōu)秀”的人數(shù)最多為（）.

（A）5（B）10（C）15（D）20

分析：此題的求解目標是求在兩個項目中都被評定為“優(yōu)秀”的人數(shù)的最大值.與常規(guī)的集合運算問題不同，這是一道求最值問題，較為少見.利用Venn圖可以清晰地表示在兩個項目中都被評定為“優(yōu)秀”的人數(shù)和在兩個項目中都被評定為“合格”的人數(shù)之間的關(guān)系，進而有效解決問題.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中對集合的基本運算提出以下要求：（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集；（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集；（3）能使用Venn圖表達集合的基本關(guān)系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.由此不難看出，借助Venn圖解決集合運算是學生應(yīng)該掌握的基本技能.借助Venn圖，學生能夠直觀理解集合間的基本關(guān)系，根據(jù)集合間的關(guān)系明晰求解目標，進而掌握集合的運算法則.

三、象限角：避免分類討論，優(yōu)化運算過程

解無定法，源于觀察.對于此題，也可以從代數(shù)運算的角度進行分析，此時則需要對k的取值進行分類討論，進而將集合N中的角的表示化成與集合M中的角的表示相近的形式.

分類討論是學生在高中數(shù)學學習過程中需要掌握的重要思想，也是學生理解的難點.而對奇、偶數(shù)的分類討論更是一個難點，部分學生會出現(xiàn)理解上的困難.因此，要盡量避免分類討論，這是簡化數(shù)學運算過程的一個重要途徑.既然是象限角，不妨利用坐標軸畫出兩個集合所表示的角，集合M表示的角的終邊落在坐標軸和第一、三象限的角平分線上（如圖3）；集合N表示的角的終邊落在坐標軸以及第一、三象限和第二、四象限的角平分線上（如圖4），由此可以快速確定答案.

通過作圖分析，在避免分類討論的同時提高了解題效率，極大簡化了運算過程.因此，教師在教學過程中要注意數(shù)形結(jié)合思想的滲透，強化學生的作圖意識.

四、坐標軸：轉(zhuǎn)換問題視角，設(shè)計運算程序

以函數(shù)為載體的數(shù)學問題是教學中的重點也是難點，學生往往基于代數(shù)運算的角度理解函數(shù)，而缺乏數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)換意識，尤其是對于比較抽象或復(fù)雜的運算，如果僅從代數(shù)運算的角度進行求解，會出現(xiàn)較為復(fù)雜的運算程序.因此，借助圖形表征轉(zhuǎn)換問題視角，不僅有利于提高運算的正確率，而且有利于設(shè)計簡潔、科學的運算程序.

根據(jù)題意，可知以原點為起點，以圖象上的點為終點的兩個向量互相垂直，簡單理解就是圖象上總能夠找到兩個以原點為起點的向量互相垂直，即以原點為起點且互相垂直的兩個向量的終點落在函數(shù)圖象上.而兩坐標軸上的點剛好滿足以原點為起點，且互相垂直.因此，互相垂直的向量可以借助兩個坐標軸呈現(xiàn)，然后旋轉(zhuǎn)兩個坐標軸，探究兩個坐標軸與圖象的交點情況.如果將兩個坐標進行旋轉(zhuǎn)，當圖象上任意一點落在一個坐標軸上時，一定有另外一個點落在另一個坐標軸上，則說明圖象對應(yīng)的集合就是“互垂點集”.

故答案選BD.

經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)化問題的視角，即先轉(zhuǎn)化為向量的垂直問題，再轉(zhuǎn)換為圖象與兩個坐標軸交點的問題，將符號表征下的數(shù)學運算問題轉(zhuǎn)化成了對函數(shù)圖象和兩個坐標軸交點情況的判斷，優(yōu)化了運算程序，同時加深了學生對新定義的理解.

五、結(jié)束語

章建躍教授認為，數(shù)學運算是有“技術(shù)成分”的，會算而且知道怎樣算更準更快，這是運算素養(yǎng)的基本要求.圖形表征的直觀性可以起到簡化數(shù)學運算的效果，如實數(shù)軸、Venn圖、象限角和坐標軸等，這些常見的數(shù)學圖形簡單易畫，如果靈活運用則能幫助學生明確運算對象、掌握運算法則、優(yōu)化運算過程、設(shè)計運算程序，為培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)奠定扎實的基礎(chǔ).

參考文獻：

[1]劉京莉，王倩，李佳，等.多元表征視域下揭示數(shù)學運算本質(zhì)[J].中小學教師培訓(xùn)，2017（7）：63-66.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.