張文濤 唐麗艷

摘要：從課程改革對跨學(xué)科綜合實踐活動的要求出發(fā)，試圖以同一主題下中小學(xué)各學(xué)段的進(jìn)階任務(wù)和驅(qū)動性問題為載體，構(gòu)建同一主題、一體化設(shè)計、一體化實施的中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動，實現(xiàn)小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的有效銜接，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體發(fā)展，實現(xiàn)中小學(xué)數(shù)學(xué)貫通式培養(yǎng).在闡釋中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動一體化設(shè)計內(nèi)涵和原則的基礎(chǔ)上，設(shè)計縱向主題貫通、橫向?qū)W科融合的中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動案例.

關(guān)鍵詞：中小學(xué)數(shù)學(xué)；綜合實踐活動；一體化；內(nèi)涵和原則

基金項目：深圳市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度重點課題——中小學(xué)“一體化”數(shù)學(xué)綜合實踐活動課程研究與實踐（zdzz22037）.

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》提出：基本建成高校、中小學(xué)各學(xué)段上下貫通、有機(jī)銜接、相互協(xié)調(diào)、科學(xué)合理的課程教材體系.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求設(shè)置跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動，同時強調(diào)遵循學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，加強一體化設(shè)置，促進(jìn)學(xué)段銜接，提升課程科學(xué)性和系統(tǒng)性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的整體性與發(fā)展性.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中設(shè)置了以“數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動”為主線的綜合實踐活動課程.由此可見，綜合實踐活動已經(jīng)成為義務(wù)教育階段和高中階段學(xué)生數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域.

數(shù)學(xué)綜合實踐活動強調(diào)課程之間的綜合性、關(guān)聯(lián)性和連貫性，具有跨學(xué)科綜合學(xué)習(xí)的特點，是各學(xué)科之間橫向一體化的載體.如何構(gòu)建體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程學(xué)段銜接并促進(jìn)學(xué)生協(xié)調(diào)發(fā)展的跨學(xué)段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，即如何落實各學(xué)段縱向一體化的綜合實踐活動課程是擺在一線教育工作者面前的艱巨任務(wù).

在十余年初中、高中數(shù)學(xué)綜合實踐課程探索的基礎(chǔ)上，筆者試圖以同一主題下各學(xué)段的進(jìn)階任務(wù)和驅(qū)動性問題為載體，構(gòu)建同一主題、一體化設(shè)計、一體化實施的中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動，打通小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)課程，加強課程內(nèi)容的有效銜接，實現(xiàn)中小學(xué)貫通式培養(yǎng).本文在討論同一主題、一體化設(shè)計中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動內(nèi)涵和原則的基礎(chǔ)上，將以具體案例進(jìn)行展示和說明.

一、中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動一體化設(shè)計的內(nèi)涵

“一體化”，顧名思義，是指將若干分散部分聯(lián)合起來，組成一個有機(jī)整體.數(shù)學(xué)綜合實踐活動是跨學(xué)科綜合學(xué)習(xí)活動，是聯(lián)合多個學(xué)科的概念、原理、思想和方法解決問題的學(xué)習(xí)過程，是學(xué)科之間的橫向一體化.以同一主題、一以貫之的綜合實踐活動內(nèi)容，將中小學(xué)各學(xué)段縱向銜接，實現(xiàn)對學(xué)生整體、貫通的培養(yǎng)，是學(xué)段之間的縱向一體化.在以跨學(xué)科綜合學(xué)習(xí)的橫向一體化的基礎(chǔ)上，融入跨學(xué)段整體發(fā)展的縱向一體化，形成縱向主題貫通、橫向?qū)W科融合的縱橫交織、融會貫通的數(shù)學(xué)綜合實踐活動實施新樣態(tài)，是落實課程標(biāo)準(zhǔn)要求的強有力抓手.

學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)知，首先是從感性逐步到理性，然后在實踐活動中產(chǎn)生新的、更成熟的理性認(rèn)識，循環(huán)往復(fù)、螺旋上升.因此，在教學(xué)實踐中找到適合學(xué)生學(xué)習(xí)的且可以不斷重復(fù)“認(rèn)知—實踐—再認(rèn)知”的學(xué)習(xí)活動載體至關(guān)重要.跨學(xué)段視域下同一主題、一體化設(shè)計的綜合實踐活動為此提供了可能.“同一主題”是指綜合實踐活動的主題背景和內(nèi)容相同；“一體化設(shè)計”是指在同一綜合實踐活動的主題背景下，根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知特點和思維發(fā)展水平，設(shè)計對應(yīng)各學(xué)段的研究目標(biāo)和研究任務(wù)，使各學(xué)段的學(xué)生從不同的視角開展綜合實踐活動，不斷加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，不斷提高學(xué)生解決問題的能力，達(dá)到中小學(xué)一體化發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

同一主題、一體化設(shè)計的中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動，能夠打通不同學(xué)科之間和不同學(xué)段之間的壁壘，體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的整體性，以及跨學(xué)段和跨學(xué)科貫通培養(yǎng)的融合性，為學(xué)生提供能夠再實踐、再認(rèn)識的機(jī)會和平臺.隨著學(xué)段的遞進(jìn)，學(xué)生在同一問題情境及不同任務(wù)和要求的驅(qū)動下，通過深入思考、不斷反思后，尋求突破并解決問題，可以在跨學(xué)科綜合學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度，在跨學(xué)段整體發(fā)展中培養(yǎng)學(xué)生思維的深度，進(jìn)而實現(xiàn)學(xué)生思維廣度和深度的螺旋上升.在同一主題背景下，基于各學(xué)段不同任務(wù)的驅(qū)動，學(xué)生可以從不同的角度思考問題，用不同的數(shù)學(xué)工具解決問題，通過不斷地探究與思考，在看清問題內(nèi)在邏輯的同時，逐漸接近問題的本質(zhì)，感悟知識的力量，以此激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)研究意識、創(chuàng)新意識和科學(xué)精神.

二、中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動一體化設(shè)計的原則

中小學(xué)一體化數(shù)學(xué)綜合實踐活動追求橫向?qū)W科融合、縱向主題貫通的縱橫交織、融會貫通的課程實施新樣態(tài)，這就要求活動的設(shè)計既要考慮橫向一體化，又要考慮縱向一體化.綜合實踐活動的構(gòu)建應(yīng)該遵循真實情境、開放融通、循序漸進(jìn)、一體貫通、求同存異、綜合實踐等原則.

1.真實情境原則

解決真實情境中的問題是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑.現(xiàn)實情境是溝通現(xiàn)實生活與學(xué)科領(lǐng)域的橋梁，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識、完成任務(wù)或解決問題提供了載體.缺少真實情境的學(xué)習(xí)，容易使數(shù)學(xué)知識成為機(jī)械的符號.因此，在設(shè)計中小學(xué)一體化綜合實踐活動的過程中，要特別關(guān)注真實情境原則.真實情境可以增加綜合實踐活動的直觀性、趣味性、生動性和實用性，使學(xué)生從枯燥的文字描述走進(jìn)現(xiàn)實情境，并基于現(xiàn)實情境中的調(diào)查、測量、探索、研究來解決問題，進(jìn)而完成學(xué)習(xí)任務(wù)，使知識的生成和任務(wù)的解決有豐富的附著點和生長點，從而使綜合實踐活動更具現(xiàn)實意義，更容易使學(xué)生產(chǎn)生情感共鳴和思維碰撞.

基于真實問題情境設(shè)計的真問題和有現(xiàn)實意義的任務(wù)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生進(jìn)行深度思考.因此，在綜合實踐活動設(shè)計中，雖然創(chuàng)設(shè)的問題情境很難做到“絕對真實”，更不一定是現(xiàn)實原封不動的復(fù)制品，但要盡量保持現(xiàn)實情境某些方面或?qū)哟蔚恼鎸嵭?，使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動是在與真實情境的碰撞中完成的.

2.開放融通原則

現(xiàn)實情境都是開放的、繁雜的，因此綜合實踐活動中確定的任務(wù)和設(shè)計的問題應(yīng)該保持現(xiàn)實情境中的開放性和融通性.具有開放性和融通性的任務(wù)或問題能給學(xué)生提供充足的探索空間、思維空間和決策機(jī)會，學(xué)生在使用跨學(xué)科知識、思維、活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，積極主動地思考和抉擇，能使學(xué)生分析問題和解決問題的能力得到提升，同時使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在跨學(xué)科融合協(xié)同中得以發(fā)展.

現(xiàn)實情境中的學(xué)習(xí)任務(wù)或驅(qū)動性問題具有問題開放、算法開放、結(jié)果開放等特點.問題開放主要體現(xiàn)在所給的問題往往是粗糙的、模糊的、信息不全面的，學(xué)生在分析問題時要先通過觀察、分析和識別找到解決問題所需的信息，然后考慮忽略哪些次要變量、采集哪些數(shù)據(jù)等.算法開放主要體現(xiàn)在解決問題的過程中，學(xué)生可以根據(jù)問題分析提出不同的解決方案或者模型.結(jié)果開放主要體現(xiàn)在綜合實踐活動的過程重于結(jié)果，無論學(xué)生作出怎樣的決策或選擇，只要符合客觀實際、通過合理的解決方案得到的結(jié)果均被接受和允許.這三個特點有一定的因果關(guān)系，即現(xiàn)實情境的開放為綜合實踐中問題的開放提供了基礎(chǔ)，問題的開放促成了問題解決中的算法開放和結(jié)果開放.開放性和跨學(xué)科融通性能使學(xué)生真正成為綜合實踐學(xué)習(xí)過程的主人，這也是綜合實踐活動的魅力所在.

3.循序漸進(jìn)原則

長遠(yuǎn)來看，教育的目的是培養(yǎng)學(xué)生運用學(xué)科知識、學(xué)科思維和學(xué)科實踐經(jīng)驗去解決龐大、復(fù)雜的現(xiàn)實問題的能力，但對學(xué)生的培養(yǎng)需要循序漸進(jìn)，不可能一蹴而就.因此，在設(shè)計中小學(xué)一體化數(shù)學(xué)綜合實踐活動時，提出的任務(wù)或要解決的問題既要有一定挑戰(zhàn)性，又要考慮漸進(jìn)性和進(jìn)階性.提出的任務(wù)或問題既要遵循學(xué)科邏輯和學(xué)段特點，又要兼顧每個學(xué)段課程標(biāo)準(zhǔn)的要求及每個學(xué)段學(xué)生的生活體驗和思維發(fā)展水平，做到始終在學(xué)生思維和能力的最近發(fā)展區(qū)做文章，設(shè)置梯度合理、有挑戰(zhàn)性兼具漸進(jìn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)或驅(qū)動性問題.

綜合實踐活動的開展要基于學(xué)情和學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，充分考慮數(shù)學(xué)綜合實踐活動規(guī)律和學(xué)生成長規(guī)律，設(shè)計具有發(fā)展性、層層遞進(jìn)的任務(wù)鏈，形成系列進(jìn)階性的任務(wù)和問題供不同學(xué)段的學(xué)生思考和解決.在關(guān)注整體學(xué)習(xí)任務(wù)或驅(qū)動性問題的同時，可以通過子項目或子課題的形式對任務(wù)或問題進(jìn)行有效分解，學(xué)生更容易積累活動經(jīng)驗，建立學(xué)科認(rèn)同和學(xué)科自信.進(jìn)而，當(dāng)學(xué)生有機(jī)會參與一個完整的綜合實踐活動時，就會心中有數(shù)，而不是一籌莫展，進(jìn)而達(dá)到以實踐促進(jìn)學(xué)生在真實體驗中提高實踐能力的目的.

4.一體貫通原則

中小學(xué)一體貫通的數(shù)學(xué)綜合實踐活動設(shè)計和培養(yǎng)方式是階段性和連續(xù)性的統(tǒng)一，是基于持續(xù)性、聯(lián)系性、整體性和發(fā)展性視角看待學(xué)生的成長和發(fā)展.在設(shè)計來自同一背景的中小學(xué)各學(xué)段的關(guān)鍵任務(wù)和驅(qū)動性問題時，要注意考慮縱向各學(xué)段層層遞進(jìn)、橫向各學(xué)科相互融合，并做到由淺入深、循序漸進(jìn)、螺旋上升，以體現(xiàn)任務(wù)和問題的整體性、遞進(jìn)性和進(jìn)階性，讓學(xué)生通過綜合實踐活動，體會從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的認(rèn)識客觀世界的規(guī)律，創(chuàng)造性地使用并擴(kuò)展現(xiàn)有方法、理論和學(xué)科工具，探索并研究未知領(lǐng)域，思考并解決現(xiàn)實世界中的問題.

雖然中小學(xué)各學(xué)段獨立存在，但是通過一體化課程實施可以讓各學(xué)段、各學(xué)科密切聯(lián)系、相互協(xié)同，形成學(xué)生整體發(fā)展的教育合力；也可以讓學(xué)生更加深刻地認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)科的整體性.在完成每個學(xué)段的綜合實踐活動后，學(xué)生都要做好實踐過程記錄，這樣在高中畢業(yè)時，學(xué)生個人的數(shù)學(xué)中小學(xué)一體化整體發(fā)展跟蹤檔案也就形成，這樣可以使學(xué)生的成長有跡可循.

5.求同存異原則

在設(shè)計中小學(xué)同一主題、一體化數(shù)學(xué)綜合實踐活動的過程中，既要有求同思維，也要有求異思維，在追求“同”的同時，更要關(guān)注“異”的客觀存在.具體表現(xiàn)為：課程主題和任務(wù)既要全程貫通，又要體現(xiàn)學(xué)段差異；既要關(guān)注內(nèi)部的共性，又要關(guān)注個體的個性和差異性.

中小學(xué)同一主題、一體化綜合實踐活動雖然是跨學(xué)段、跨學(xué)科的有機(jī)整體，但是在設(shè)計各學(xué)段的任務(wù)和問題時要關(guān)注不同學(xué)段學(xué)生的成長規(guī)律和思維水平，各學(xué)段的任務(wù)和問題要有所區(qū)別，且學(xué)習(xí)目標(biāo)要切實可行，要充分挖掘和應(yīng)用中小學(xué)各學(xué)段數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊含的原理、思想和方法，通過多次迭代，漸進(jìn)式地完善問題的解決方案，實現(xiàn)通過整體設(shè)計提升學(xué)生能力和素養(yǎng)的目標(biāo).

6.綜合實踐原則

真實情境的開放性和復(fù)雜性決定了綜合實踐活動中的任務(wù)完成和問題解決需要跨學(xué)科融合，中小學(xué)一體化綜合實踐活動也需要跨學(xué)段有機(jī)整合.因此，綜合實踐活動的真實情境創(chuàng)設(shè)和任務(wù)設(shè)計要特別關(guān)注課程設(shè)計和實施的綜合性和實踐性.一體化綜合實踐活動要求學(xué)生開展實地觀察、實地調(diào)研、訪談問卷、測量探索等實踐活動，最終形成報告或論文.在完成學(xué)段進(jìn)階性任務(wù)和解決學(xué)段遞進(jìn)式問題的過程中，需要學(xué)生不斷學(xué)習(xí)、運用和整合不同學(xué)科領(lǐng)域的知識，綜合運用跨學(xué)科思想、思維方法、學(xué)科工具和活動經(jīng)驗，突破學(xué)科知識和現(xiàn)實問題解決相互割裂的困境，進(jìn)一步提高認(rèn)識真實世界、解決真實問題的能力.真正做到在做中學(xué)、用中學(xué)、創(chuàng)中學(xué)，進(jìn)而推動育人方式的變革.

三、中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動一體化設(shè)計教學(xué)案例

筆者以學(xué)生熟悉的“尋找公園丟失的物品”為例，遵循中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動一體化設(shè)計的原則，探討如何設(shè)計中小學(xué)各學(xué)段同一主題、一體化設(shè)計的數(shù)學(xué)綜合實踐活動.

情境：你的一位朋友來深圳旅游，并準(zhǔn)備乘坐周日16：00的航班離開深圳.周日當(dāng)天，他于10：00—11：00獨自前往如圖1所示的深圳市中心公園北區(qū)散步（僅在公園道路散步），12：00從公園門口獨自乘坐出租車前往深圳寶安國際機(jī)場，13：00到達(dá)機(jī)場，在機(jī)場安檢處他突然發(fā)現(xiàn)身份證丟失，仔細(xì)回想后，認(rèn)為身份證可能在公園內(nèi)丟失.機(jī)場要求必須在航班起飛前1小時完成安檢，然而現(xiàn)在距離飛機(jī)起飛僅剩下3個小時，所以他委托你去公園幫忙尋找身份證.他第一次在公園散步，沒有給你提供任何信息.考慮到他至少要在15：00前完成安檢，所以你只有45分鐘左右的尋找時間.請你給出合理的尋找身份證的策略，并嘗試給出公園丟失物品的尋找方案.

上述問題來自學(xué)生熟悉的場景，貼近學(xué)生的現(xiàn)實生活經(jīng)驗，并盡量保持了情境的真實性，符合中小學(xué)各學(xué)段學(xué)生的年齡特點和認(rèn)知特點.真實情境便于學(xué)生制訂實踐計劃，引導(dǎo)學(xué)生親身參與實踐活動，進(jìn)而通過實地測量、收集數(shù)據(jù)、調(diào)查研究等過程解決問題.

該問題的提出和敘述粗糙、籠統(tǒng)，對于中小學(xué)學(xué)生來說具有一定的挑戰(zhàn)性.同時，該問題具有較好的開放性，學(xué)生可以根據(jù)實際情況和學(xué)科活動經(jīng)驗進(jìn)一步分解和細(xì)化問題，這將激發(fā)學(xué)生的探索動機(jī)，促進(jìn)學(xué)生自主探究.解決此問題的核心是確定身份證可能的丟失地點，或者說你的朋友（以下統(tǒng)稱“游客”）最有可能去過哪里.以下在同一背景、相同問題的驅(qū)動下，根據(jù)各學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知特點和思維水平，通過設(shè)置進(jìn)階任務(wù)和驅(qū)動性問題，并采用子問題的方式將任務(wù)和問題分解和具體化，引領(lǐng)學(xué)生有序開展綜合實踐活動.

1.小學(xué)階段

（1）小學(xué)中年段.

尋找身份證的時間僅有45分鐘，在沒有外力幫助的情況下，學(xué)生需要思考的首要問題是：按照正常的步行速度行走能否在45分鐘內(nèi)走遍公園中的所有道路？

驅(qū)動性問題1：你認(rèn)為45分鐘內(nèi)能走遍公園中的所有道路嗎？一定能找到身份證嗎？

學(xué)生已有的認(rèn)知是，若45分鐘內(nèi)行走的路程大于公園中所有道路的總長，則可以走遍公園中的所有道路，就可能找到身份證，否則不能找到.學(xué)生現(xiàn)在面臨的問題是：人的正常步行速度是多少？公園中的道路總長是多少？

子問題1：你認(rèn)為普通人的步行速度一般是多少？

問題提出后，學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)可以查詢到普通人步行速度約5 km / h、跑步速度約15 km / h.過程重于結(jié)果，教師要將探索問題的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生探索如何利用網(wǎng)絡(luò)獲得所需的信息，以及如何確定尋找速度.

追問1：如何得到普通人的步行速度和跑步速度？

學(xué)生通過探索，對了解普通人的步行速度和跑步速度產(chǎn)生好奇，并主動探究獲得相關(guān)數(shù)據(jù)的方式，如隨機(jī)選取多人測量其步行和跑步的速度，然后取平均值.學(xué)生在解決實際問題的過程中進(jìn)一步深化對平均數(shù)內(nèi)涵和意義的理解，實現(xiàn)“知其然，并知其所以然”.

追問2：在公園道路上尋找身份證，你認(rèn)為步行速度是多少？

讓學(xué)生結(jié)合真實情境思考問題.在公園道路上尋找身份證的步行速度的確定，既要考慮盡快找到（即需要在一定的時間內(nèi)經(jīng)過更多的道路），又要考慮經(jīng)過就能看清楚身份證，即速度不能太快.此處的矛盾會讓學(xué)生產(chǎn)生心理沖突，學(xué)生需要結(jié)合情境作出分析和決策.公園道路的路況也是影響尋找身份證步行速度的重要因素，學(xué)生最終確定的速度是多少并不重要，重要的是學(xué)生能考慮到這些問題和影響因素.問題的解決需要結(jié)合情境全面考慮現(xiàn)實問題，可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實情境和用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實問題的能力.學(xué)生在實踐活動中的心理沖突和決策機(jī)會是提高學(xué)生分析問題的能力和提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的契機(jī).

子問題2：如何測量公園中每段道路的長度？

將公園中的道路看作直線段或者曲線段，測量曲線段的長度是擺在學(xué)生面前的難題.

追問1：你有什么好的方法來測量公園中每段道路的長度？

公園道路較長，全部在公園中用直尺實地測量費時費力，在讓學(xué)生自主探索測量非直線段長度的同時尋找更快的測量方案.

方案1：保持勻速在公園行走，利用行走速度乘以走完每段道路所需的時間，就可以得到每段道路的長度.缺點是保持勻速只能靠感覺，會產(chǎn)生較大誤差.

追問2：方案2有哪些缺點和局限？

首先，由于公園的實際“尺寸”是地圖的很多倍，所以在地圖上較小的測量誤差就會導(dǎo)致公園道路測量結(jié)果的較大誤差；其次，公園中的實際道路不可能完全處于同一個平面內(nèi)，而這種測量方法只能將公園中所有道路均視為在同一水平面內(nèi).因此，這種測量方案會導(dǎo)致產(chǎn)生較大的測量誤差，且具有一定的局限性.此追問可以培養(yǎng)學(xué)生的反思意識及科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式.

子問題3：45分鐘內(nèi)是否一定能找到身份證？

根據(jù)子問題1和子問題2明確尋找身份證的速度和公園道路的總長度.通過計算可知，45分鐘內(nèi)不可能走遍公園中的所有道路，因此不一定能找到身份證.

追問：應(yīng)該如何確定尋找身份證的路線，以便提高找到身份證的可能性？

在確定的時間內(nèi)所走道路長度一定，因此想要提高找到身份證的可能性，就需要分析身份證最有可能丟失在哪里，即公園中的哪些路段是游客最有可能經(jīng)過的.因為游客只在公園游覽了一個小時，所以不可能走遍公園中的所有道路.對此，小學(xué)中年段的學(xué)生可以從公園中的景觀特點和游客的喜好出發(fā)，也可以結(jié)合其對游客的了解確定尋找路徑.要想在有限的時間內(nèi)提高找到身份證的可能性，只需要在不走重復(fù)道路的前提下，優(yōu)先選擇景觀較好或符合游客喜好的道路尋找即可.

子問題4：你還有哪些方法可以找到身份證？

學(xué)生可能想到的方案是張貼告示，或者去客服中心查看監(jiān)控，或者通過公園廣播系統(tǒng)播報消息以尋求其他游客的幫助.在綜合實踐活動中，這些方案均被允許，以培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)社會的能力.

（2）小學(xué)高年段.

驅(qū)動性問題2：如何設(shè)計尋找路線以提高在45分鐘內(nèi)找到身份證的可能性？

在小學(xué)中年段的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化公園道路長度的測量方案，并更理性地確定尋找路線.

子問題1：小學(xué)中年段提出的測量公園道路的方案存在局限或誤差較大，你是否有更好的測量公園中道路長度的方案？

學(xué)生在學(xué)習(xí)圓的周長及其他知識后，可以使用的數(shù)學(xué)工具更加充足，一個常見的辦法是“滾輪法”，即先測量一個輪子的直徑，然后根據(jù)圓的周長公式求出該輪子的周長，再沿公園中的每段道路滾動輪子，輪子滾動的圈數(shù)與輪子的周長的乘積就是每段道路的長度.滾輪法的缺點是測量者需要走遍公園中所有的道路，費時費力，于是考慮對其進(jìn)行優(yōu)化.

觀察到公園中很多人在騎行，于是聯(lián)想到騎自行車進(jìn)行測量，只需要在騎行每段道路時記錄腳蹬的圈數(shù)，然后利用“道路長度=腳蹬圈數(shù)×車輪周長×前齒輪齒數(shù)/后齒輪齒數(shù)”即可求出公園中每段道路的長度.顯然，騎行比步行輕松許多.需要注意的是，在測量每段道路的長度時，要盡量選擇上坡方向，這樣腳蹬圈數(shù)才更準(zhǔn)確.

子問題2：為了提高找到身份證的可能性，你會優(yōu)先尋找哪些道路？

在小學(xué)中年段考慮游客喜好和景觀特點的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以基于實地考察和調(diào)研進(jìn)一步優(yōu)化尋找路線.

具體地，可以將分析公園景觀特點上升為統(tǒng)計某時刻每段道路上經(jīng)過的人數(shù)，用數(shù)據(jù)說話；將分析游客喜好上升為在公園內(nèi)進(jìn)行訪談，統(tǒng)計游客最有可能去的景點.某時刻人數(shù)較多的路段和游客最有可能游覽景點周邊的道路，就是身份證最有可能丟失的道路.學(xué)生可以將每段道路的人數(shù)從多到少排序，以此來確定尋找優(yōu)先級，在少走重復(fù)道路的前提下，盡量先去人數(shù)多的道路尋找，以提高找到身份證的可能性.從問題的解決過程可以看出，學(xué)生由小學(xué)中年段的直觀感受逐漸上升到小學(xué)高年段的理性分析.

2.初中階段

驅(qū)動性問題3：45分鐘內(nèi)找到身份證的概率有多大？

在小學(xué)階段初步解決問題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化解決方案，通過分析初步估計45分鐘內(nèi)找到身份證的概率.

子問題1：如何確定尋找身份證的路線？

追問1：根據(jù)各路段的游客人數(shù)確定尋找優(yōu)先級的方案能否進(jìn)一步優(yōu)化？

小學(xué)階段通過觀測某時刻各路段上的人數(shù)來確定尋找優(yōu)先級的方案的局限性在于未考慮每段道路長度不同帶來的影響.初中生的知識儲備和思維水平有所提高，可以通過進(jìn)一步分析，并經(jīng)歷探索和研究，更準(zhǔn)確地刻畫游客經(jīng)過道路的優(yōu)先級.具體方案如下.

追問2：應(yīng)該如何制訂尋找策略？

根據(jù)測量、統(tǒng)計，可得公園中第i段道路的長度Li和某時刻第i段道路上的游客人數(shù)ni，并通過計算得到第i段道路的人流密度ρi.進(jìn)而根據(jù)尋找速度計算出45分鐘內(nèi)尋找的道路總長度，并按照如下算法確定近似最優(yōu)尋找路線.

第1步：將公園中的所有道路按人流密度從大到小排序；

第2步：將人流密度最大的道路選定為尋找的第一條路；

第3步：依次選定人流密度較大的道路，直到選擇的道路總長度接近45分鐘內(nèi)尋找的道路總長度；

第4步：局部調(diào)整所選道路，確保所選道路連通且盡量不走重復(fù)道路.

實際問題的解決往往是復(fù)雜的，因此很難做到最優(yōu)，比如第4步就需要反復(fù)地調(diào)整和優(yōu)化.結(jié)果是否最優(yōu)不是最重要的，重要的是抓住培養(yǎng)學(xué)生思考、探索和決策的契機(jī)，提高學(xué)生的思辨能力和解決問題的能力.

追問3：你能從追問2的算法中得到什么啟示？

追問2中的算法通俗理解就是盡可能優(yōu)先挑選“權(quán)重大的道路”，反過來，可以采用舍去“權(quán)重小的道路”的策略，即依次從地圖中去掉權(quán)重（人流密度）較小的道路，重復(fù)這個過程并保持道路連通，直到剩下的道路能在45分鐘內(nèi)走完，留下的道路組成的道路圖即為近似最優(yōu)尋找路線.問題的解決過程能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力和創(chuàng)新意識.

子問題2：在45分鐘內(nèi)找到身份證的概率有多大？

根據(jù)上述追問2的尋找策略，可以確定近似最優(yōu)尋找路線，此時學(xué)生可能好奇找到身份證的概率到底有多大，教師可以利用學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生自主探索和優(yōu)化.

子問題3：子問題2中找到身份證概率的表達(dá)式有何局限？應(yīng)該如何優(yōu)化？

方案的優(yōu)化和完善對學(xué)生而言具有較大的挑戰(zhàn)，完善的過程中伴隨著學(xué)生的不斷學(xué)習(xí)、思考、探索、研究、審視和實踐，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的契機(jī).

3.高中階段

驅(qū)動性問題4：若公園各處景觀沒有太大差別，或者統(tǒng)計某時刻公園各路段人數(shù)的人力成本過高，你考慮如何確定尋找策略？

在上述條件下，公園各路段的人流密度無從得知，需要尋找新的指標(biāo)來確定各路段的權(quán)重，是否還有其他方法能夠確定各路段的權(quán)重呢？更進(jìn)一步，如何確定尋找策略？

子問題1：如何確定公園中各路段的權(quán)重？

高中生除了了解基礎(chǔ)圖論的有限知識外，還可以了解有向圖、最小網(wǎng)絡(luò)等.圖2所示為公園局部的地圖，可以看到每條道路都由交叉點連接，每個交叉點連接的道路條數(shù)即為該交叉點的度.例如，交叉點標(biāo)號1的度為3.根據(jù)地圖可以得到每個交叉點的度.交叉點的度越大，就意味著這個交叉點的中心性越高，表示該交叉點越重要.因此，可以將連接道路兩端的交叉點的度的均值作為該段道路的權(quán)重.例如，地圖中交叉點標(biāo)號1與標(biāo)號2之間道路的權(quán)重為3，交叉點標(biāo)號2與標(biāo)號3之間道路的權(quán)重為3.5，按照此法依次可以確定公園中各路段的權(quán)重.

子問題2：如何確定尋找身份證的近似最優(yōu)策略？

類似地，確定好各路段的權(quán)重后，利用初中階段解決問題的步驟和方法，分別確定近似最優(yōu)尋找路線，并計算找到身份證的概率.初中階段解決問題的步驟中，第4步“局部調(diào)整所選道路，確保所選道路連通且盡量不走重復(fù)道路”在操作中有較大的隨意性，導(dǎo)致確定的尋找路徑不一定是最優(yōu)的，會直接影響找到身份證的概率.對此，可以鼓勵高中階段的學(xué)生自學(xué)圖論中經(jīng)典的Dijkstra算法，來進(jìn)一步優(yōu)化尋找策略，找到最佳策略并提高找到身份證的概率.

4.拓展研究階段

驅(qū)動性問題5：若在公園中丟失的是一只寵物，你將如何制訂尋找策略？

若丟失的是一件物品，則丟失物品所在地點是固定的，但若丟失的是寵物，則其所在位置是隨時變化的.尋找目標(biāo)由靜止變?yōu)檫\動，無疑會增加問題解決的難度，問題的真正解決是長期探索的過程，不可能一帆風(fēng)順，這會激發(fā)學(xué)生深度探究的欲望并培養(yǎng)學(xué)生克服困難的品質(zhì)，同時在學(xué)生心中埋下不斷探索的種子，激勵學(xué)生不斷地學(xué)習(xí)和思考.

上述案例以“尋找公園中丟失的身份證”為主題，始終圍繞“尋找策略的確定”和“找到身份證概率的分析”這兩個任務(wù)展開探究，通過設(shè)計符合學(xué)生思維發(fā)展特點的5個驅(qū)動性問題和進(jìn)階性任務(wù)，將小學(xué)中年段、小學(xué)高年段、初中階段、高中階段和拓展研究階段串聯(lián)起來，形成中小學(xué)各學(xué)段數(shù)學(xué)綜合實踐活動在同一主題和任務(wù)下的整體構(gòu)建、一體設(shè)計及實施，實現(xiàn)了中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實踐活動橫向?qū)W科融合、縱向主題貫通的目標(biāo).

四、總結(jié)反思

綜合實踐活動案例的選擇最好是學(xué)生身邊常見的現(xiàn)象，這樣可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時解決問題所用的數(shù)學(xué)知識和方法要被大部分學(xué)生所了解，以提高學(xué)生的積極性.上述案例中的情境來自學(xué)生熟悉的公園，且盡量保持情境的真實性，體現(xiàn)了創(chuàng)設(shè)真實情境的原則；各學(xué)段的任務(wù)均以制訂尋找身份證的策略這一相同任務(wù)展開，背景主題和待解決的問題始終貫穿于中小學(xué)各個學(xué)段，體現(xiàn)了一體貫通原則；各學(xué)段雖然均是以制訂尋找身份證的策略為任務(wù)，但是在具體問題的數(shù)學(xué)建模過程中，由于數(shù)學(xué)模型的選擇是開放的，因此學(xué)生不同的思考方向和對不同數(shù)學(xué)工具的使用，都會使解決問題的方案和策略有所差異，體現(xiàn)了開放融通的原則；隨著學(xué)段的遞進(jìn)，在充分考慮學(xué)生特點和思維發(fā)展水平的基礎(chǔ)上，子問題的任務(wù)和目標(biāo)由易到難逐步進(jìn)階，體現(xiàn)了循序漸進(jìn)原則；雖然各學(xué)段驅(qū)動性問題均是以尋找身份證為目標(biāo)，但是各學(xué)段對解決問題的準(zhǔn)確度要求不同，充分考慮了學(xué)生的認(rèn)知特點和知識儲備，體現(xiàn)了求同存異原則；在解決問題的過程中，學(xué)生需要綜合運用數(shù)學(xué)、物理、地理等學(xué)科知識和思維，具有跨學(xué)科綜合學(xué)習(xí)特征，學(xué)生還要經(jīng)歷實地考察、測量、調(diào)研等實踐活動，充分體現(xiàn)了綜合實踐原則.

通過構(gòu)建同一主題、一體化設(shè)計中小學(xué)貫通式培養(yǎng)的數(shù)學(xué)綜合實踐活動案例，可以將創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)貫穿于整個中小學(xué)數(shù)學(xué)教育階段.中小學(xué)一體化數(shù)學(xué)綜合實踐活動的設(shè)計和實施，是整體性、動態(tài)性、時序性和層次性的統(tǒng)一.中小學(xué)各學(xué)段在同一主題、不同進(jìn)階性任務(wù)和驅(qū)動性問題的驅(qū)使下，通過整體構(gòu)建跨學(xué)科并兼顧跨學(xué)段學(xué)習(xí)、實踐的活動，實現(xiàn)同一學(xué)習(xí)主題在各學(xué)段的一以貫之，學(xué)習(xí)內(nèi)容跨學(xué)段縱向銜接，中小學(xué)各學(xué)段融合聯(lián)動、貫通培養(yǎng)，進(jìn)而達(dá)到跨學(xué)科、跨學(xué)段整體、協(xié)同育人的目標(biāo).

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