劉廣應(yīng)，施科文，徐鳴一，張亦馳

（南京審計(jì)大學(xué)1.統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院2.數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 211815）

一、引言

投資組合研究是金融計(jì)量學(xué)者的研究熱點(diǎn)，金融從業(yè)人員也十分關(guān)注投資組合的實(shí)際投資效果。近年來(lái)，最小方差投資組合受到大量學(xué)者關(guān)注。DeMiguel 等（2009）[1]指出最小方差投資組合的夏普比率表現(xiàn)經(jīng)常會(huì)優(yōu)于經(jīng)典的均值方差投資組合。Bollerslev 等（2018）[2]采用最小方差投資組合對(duì)構(gòu)造的協(xié)方差矩陣動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)評(píng)價(jià)。相對(duì)于經(jīng)典的均值方差投資組合，最小方差投資組合模型沒有引入預(yù)期收益率，只考慮了協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)結(jié)果，避免了對(duì)未來(lái)收益率的預(yù)測(cè)難題。

投資組合的建立主要涉及到多只金融資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣和預(yù)期收益率，其投資表現(xiàn)也主要依賴于協(xié)方差和收益率的預(yù)測(cè)精度。金融高頻數(shù)據(jù)含有豐富的市場(chǎng)信息，近年來(lái)人們可以很便利地獲得金融高頻數(shù)據(jù)。關(guān)于金融高頻數(shù)據(jù)的研究，特別是協(xié)方差矩陣的度量和預(yù)測(cè)等，都是金融計(jì)量領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。Andersen和Bollerslev（1998）[3]提出了已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，用來(lái)度量每日金融資產(chǎn)收益率的波動(dòng)，該度量無(wú)需利用歷史數(shù)據(jù)，只需利用當(dāng)日的高頻數(shù)據(jù)即可得到當(dāng)日該資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率，具有很好的時(shí)效性。Andersen 等（2003）[4]發(fā)現(xiàn)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率時(shí)間序列具有極強(qiáng)的長(zhǎng)期記憶特性，可以利用分整移動(dòng)自回歸（ARFIMA）模型給予預(yù)測(cè)。Corsi（2009）[5]提出了異質(zhì)自回歸（HAR）模型預(yù)測(cè)未來(lái)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，該模型預(yù)測(cè)效果較好，且模型簡(jiǎn)單。Barndorff-Nielsen和Shephard（2004）[6]提出了已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣，用來(lái)度量多只金融資產(chǎn)價(jià)格收益率的協(xié)方差矩陣。已經(jīng)產(chǎn)生了一些初步預(yù)測(cè)模型，利用高頻波動(dòng)率序列的長(zhǎng)期記憶性等特性預(yù)測(cè)未來(lái)協(xié)方差矩陣。以上實(shí)證結(jié)果表明，相對(duì)于基于低頻日收益率序列建立的協(xié)方差模型，基于高頻數(shù)據(jù)建立的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差預(yù)測(cè)模型，其預(yù)測(cè)效果較優(yōu)。

由于協(xié)方差的估計(jì)和預(yù)測(cè)都面臨高維問題，有較大的誤差，基于帶有誤差的最小方差投資組合通常表現(xiàn)較差。實(shí)際數(shù)據(jù)分析時(shí)，最小方差投資組合的風(fēng)險(xiǎn)（方差）較小，但通常存在平均收益也相對(duì)較小的問題。為了提高最小方差投資組合實(shí)際投資表現(xiàn)，目前主要有兩種方法。一是給投資組合的權(quán)重添加適當(dāng)約束條件，提升投資效果。Fan等（2012）[7]通過限制投資組合允許做空比例改善投資組合績(jī)效，提出了L1范數(shù)約束的最小方差投資組合。Ding 等（2021）[8]基于因子模型考慮了L1約束下的最小方差投資組合表現(xiàn)。這些文獻(xiàn)協(xié)方差矩陣模型未考慮動(dòng)態(tài)建模，只利用歷史協(xié)方差矩陣的估計(jì)值，分析其投資組合效果，也沒有充分考慮波動(dòng)率的長(zhǎng)期記憶性。二是構(gòu)建更為準(zhǔn)確的協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)模型。Callot 等（2017）[9]首先利用金融高頻數(shù)據(jù)得到已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣，然后對(duì)其進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，再進(jìn)行向量化，利用向量自回歸（VAR）模型進(jìn)行預(yù)測(cè)建模，利用LASSO 方法對(duì)VAR 模型的回歸系數(shù)進(jìn)行降維估計(jì)，得到了LASSO-VAR 預(yù)測(cè)模型。Oh 和Patton（2016）[10]借鑒動(dòng)態(tài)相關(guān)系數(shù)模型，將已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差分解為DRD，其中D是由單個(gè)資產(chǎn)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率構(gòu)成的對(duì)角矩陣，R對(duì)應(yīng)于已實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)矩陣，對(duì)D每個(gè)元素分別通過單變量HAR模型預(yù)測(cè)，對(duì)R進(jìn)行向量化后建立向量HAR 模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，構(gòu)造了HAR-DRD 波動(dòng)率矩陣預(yù)測(cè)模型。Bollerslev 等（2018）[2]對(duì)HAR-DRD模型進(jìn)行拓展，利用HARQ模型預(yù)測(cè)D的每個(gè)元素，構(gòu)造HARQ-DRD模型預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣。這些文獻(xiàn)在考慮協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)模型的投資組合分析時(shí)，都沒有考慮L1約束條件下的投資組合表現(xiàn)。

高頻波動(dòng)率的長(zhǎng)期記憶特性，有助于預(yù)測(cè)已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)，提升預(yù)測(cè)效果；具有L1約束的最小方差投資組合實(shí)際效果較好。本文將這兩者給予結(jié)合，構(gòu)建高頻已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)視角下L1約束的投資組合。首先，通過日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)估計(jì)得到已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣，并建立HAR-DRD和HARQ-DRD模型對(duì)已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，這類模型充分利用了波動(dòng)率的長(zhǎng)期記憶性，可以得到更精確的協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)值；并將預(yù)測(cè)得到的協(xié)方差矩陣應(yīng)用到投資組合建立中，構(gòu)建L1約束的最小方差投資組合模型。實(shí)證分析表明，與其他模型進(jìn)行對(duì)比，本文提出的基于高頻協(xié)方差預(yù)測(cè)視角的L1約束的投資組合具有優(yōu)越的績(jī)效表現(xiàn)和應(yīng)用價(jià)值。

本文主要貢獻(xiàn)在于：一是將L1約束的投資組合研究應(yīng)用到高頻數(shù)據(jù)場(chǎng)景，并與具有長(zhǎng)期記憶特性的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)模型相結(jié)合，分析其投資效果。二是針對(duì)中國(guó)金融市場(chǎng)的高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行L1約束的投資組合分析，給出實(shí)證結(jié)果與相關(guān)結(jié)論。

二、L1 約束的投資組合

均值方差投資組合受到了學(xué)術(shù)界和業(yè)界的極大關(guān)注。為了在實(shí)踐中實(shí)施這一投資策略，需要對(duì)預(yù)期收益和收益協(xié)方差結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)和預(yù)測(cè)。Merton（1980）[11]指出，預(yù)期收益的估計(jì)比協(xié)方差的估計(jì)更困難，預(yù)期收益的估計(jì)誤差對(duì)投資組合績(jī)效的影響大于協(xié)方差估計(jì)誤差對(duì)投資組合績(jī)效的影響，這些困難對(duì)經(jīng)典的均值方差模型實(shí)施提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。

近年來(lái)，最小方差投資組合（MVP）受到了大量的關(guān)注。最小方差投資組合與均方差組合有所不同，最小方差組合避免了估計(jì)預(yù)期收益的困難，但其本身依然為有效投資組合。實(shí)證研究表明，最小方差組合與均值方差投資組合相比，通常具有更低的風(fēng)險(xiǎn)和更高的收益率。此外，它也為評(píng)估不同的協(xié)方差矩陣估計(jì)量或預(yù)測(cè)模型提供了一種方法。

理論上，最小方差投資組合就是在給定p個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的條件下，尋求最小風(fēng)險(xiǎn)投資組合，也即求解如下問題：

上述（1）式的ωt=(ω1,t,ω2,t,…,ωp,t)'為第t天p個(gè)資產(chǎn)對(duì)應(yīng)的投資組合權(quán)重，Σt為第t天資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣，表示元素全部為1的一個(gè)p維列向量。那么權(quán)重向量最優(yōu)解和最小風(fēng)險(xiǎn)滿足如下表達(dá)式：

根據(jù)（1）式，如果得到收益率向量的協(xié)方差矩陣Σt的估計(jì)式，即可計(jì)算出最小方差投資組合的最優(yōu)權(quán)重。在高頻數(shù)據(jù)情況下，時(shí)間間隔較小，預(yù)期收益率通常很小，當(dāng)假設(shè)預(yù)期收益率為0時(shí)，經(jīng)典的均值方差投資組合問題就轉(zhuǎn)化為了最小方差投資組合問題。因此，在高頻數(shù)據(jù)情形下，采用最小方差投資組合也更為恰當(dāng)。在高頻數(shù)據(jù)下分析投資組合具有如下優(yōu)點(diǎn)：一方面，大量的觀察值有助于更好地理解收益協(xié)方差結(jié)構(gòu)；另一方面，高頻數(shù)據(jù)允許短時(shí)重新平衡，因此投資組合可以快速調(diào)整以適應(yīng)波動(dòng)率的時(shí)間變化。

最小方差投資組合的模型主要由（1）式給出，其最優(yōu)投資權(quán)重和最小風(fēng)險(xiǎn)（方差）主要由（2）式給出。在實(shí)踐中，由于（1）式協(xié)方差矩陣未知，因此建立最小方差組合前，必須建立協(xié)方差矩陣的估計(jì)和預(yù)測(cè)模型。然而由于對(duì)實(shí)際協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差的存在，其實(shí)際表現(xiàn)較差。學(xué)者發(fā)現(xiàn)最小方差投資組合對(duì)投資權(quán)重向量沒有約束，允許賣空。在實(shí)際進(jìn)行投資時(shí)，會(huì)產(chǎn)生賣空比例較大的問題；更新投資組合時(shí)，容易出現(xiàn)投資轉(zhuǎn)換成本較高等問題。為了克服以上問題，需要對(duì)投資組合向量進(jìn)行約束，F(xiàn)an等（2012）[7]、Ding等（2021）[8]指出可以利用對(duì)投資權(quán)重向量進(jìn)行L1范數(shù)約束，提出了L1約束的投資組合模型：

式（3）中M為一調(diào)節(jié)參數(shù)，用于控制投資組合權(quán)重允許賣空數(shù)量。這里施加L1范數(shù)約束（又稱總風(fēng)險(xiǎn)敞口約束）可以控制投資組合的賣空頭寸，即控制投資組合的允許做空比例。常數(shù)M與允許做空比例具有如下關(guān)系：做空比例等于。當(dāng)M=1時(shí)，此時(shí)投資組合不允許賣空。

通過L1范數(shù)對(duì)投資組合進(jìn)行約束具有如下優(yōu)點(diǎn)：1.控制投資成本。實(shí)際投資中賣空將承擔(dān)較大的賣空成本，L1約束將限制賣空比例，進(jìn)而可以較好地控制賣空成本。2.降低投資組合的轉(zhuǎn)換成本?，F(xiàn)實(shí)中，一個(gè)投資組合通常需要經(jīng)常更新，經(jīng)過L1約束后的投資組合，更新變化相對(duì)較小，因此，投資組合的轉(zhuǎn)化成本也相對(duì)較低。3.采用L1約束的投資組合，每只股票的投資比例都相對(duì)平衡，即使遇到個(gè)別股票出現(xiàn)較大變化時(shí)，整個(gè)投資組合收益影響也較小，因此投資組合的風(fēng)險(xiǎn)也較小。

在實(shí)際操作中，我們通常希望這個(gè)投資組合在未來(lái)表現(xiàn)最優(yōu)，因此，最小方差投資組合模型（1）式、L1約束的最小方差投資組合模型（3）式的Σt，應(yīng)當(dāng)是對(duì)未來(lái)的協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)值。

三、高頻已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差預(yù)測(cè)模型

（一）高頻已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差

Barndorff-Nielsen和Shephard（2004）[6]提出了已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣，用于估計(jì)多只股票收益率的協(xié)方差矩陣，其定義為：

其中ri,kδn,t表示第i只金融資產(chǎn)在第t天第kδn時(shí)刻的對(duì)數(shù)收益率，RCovij,t表示第i只和第j只金融資產(chǎn)第t天的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差，p表示資產(chǎn)總個(gè)數(shù)，K表示一天內(nèi)高頻數(shù)據(jù)采樣的數(shù)據(jù)量。中國(guó)股票市場(chǎng)每日交易時(shí)間為4小時(shí)，當(dāng)采樣間隔定義為5分鐘時(shí)，K=48。因此可以通過當(dāng)天的高頻收益率數(shù)據(jù)計(jì)算得到當(dāng)天的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣，并且當(dāng)采樣間隔δn趨于0時(shí)，得到的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣RCovt是積分協(xié)方差矩陣的一致漸近無(wú)偏估計(jì)，可以利用日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)估計(jì)出每日的協(xié)方差矩陣，此時(shí)波動(dòng)率矩陣就變成了可觀測(cè)值，進(jìn)而可以得到已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣序列。

（二）DRD分解

DRD分解是金融領(lǐng)域中用于處理已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的一種重要方法。該方法的主要目標(biāo)是將已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣分解為兩部分：已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率矩陣D和已實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)矩陣R，以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)降維，以及更準(zhǔn)確地捕捉資產(chǎn)波動(dòng)性和關(guān)聯(lián)性的變化特征。針對(duì)p×p維已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣RCovt的DRD分解為：

其中：

這里Dt為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率組成的對(duì)角矩陣，Rt為已實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)矩陣，反映了資產(chǎn)之間的關(guān)聯(lián)程度。實(shí)際數(shù)據(jù)分析表明，Dt和Rt具有不同的動(dòng)態(tài)特征，分別對(duì)它們進(jìn)行預(yù)測(cè)將有助于更準(zhǔn)確地捕捉市場(chǎng)變化的趨勢(shì)，降低預(yù)測(cè)誤差。此外DRD分解還可以保證協(xié)方差矩陣的正定性，因而成為金融領(lǐng)域中用于波動(dòng)率建模和風(fēng)險(xiǎn)管理的重要工具，對(duì)投資組合管理和風(fēng)險(xiǎn)控制具有重要意義。

（三）HAR-DRD模型和HARQ-DRD模型

為了刻畫高頻數(shù)據(jù)波動(dòng)率的長(zhǎng)期記憶性，Corsi（2009）[5]提出了異質(zhì)自回歸（HAR）模型，這一模型比較簡(jiǎn)單，在實(shí)證研究中取得了很好的預(yù)測(cè)效果。Chiriac和Voev（2011）[12]借鑒HAR模型的思想，針對(duì)已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣進(jìn)行建模，將異質(zhì)自回歸HAR模型擴(kuò)展為向量HAR模型。注意到已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣RCovt為對(duì)稱正定矩陣，將RCovt下三角部分拉直成向量，得到對(duì)應(yīng)向量St=vec?(RCovt)，其維數(shù)是，對(duì)St(t=1,2,…T)建立向量HAR模型：

Oh 和Patton（2016）[10]借鑒Engle（2002）[13]的動(dòng)態(tài)條件相關(guān)系數(shù)模型（DCC）思想，構(gòu)建了HAR-DRD 模型。該模型構(gòu)建步驟如下：（1）將高頻已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣RCovt按照DRD分解得到Dt和Rt；（2）將Dt進(jìn)行對(duì)數(shù)變換得到lnDt，對(duì)lnDt的每個(gè)分量建立單變量HAR模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；（3）由于Rt是對(duì)稱矩陣，因此只需取Rt下半部分得到vec?(Rt)后建立向量HAR模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后將預(yù)測(cè)值與按照（5）式相乘即可得到協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)值。

HAR 模型在建模時(shí)沒有考慮已實(shí)現(xiàn)方差的估計(jì)誤差，Bollerslev 等（2016）[14]將估計(jì)誤差引入到已實(shí)現(xiàn)方差的預(yù)測(cè)模型，建立變系數(shù)HAR 模型，即HARQ 模型。利用已實(shí)現(xiàn)方差估計(jì)積分波動(dòng)率的估計(jì)誤差方差，可以利用已實(shí)現(xiàn)四次變差來(lái)估計(jì)。第i個(gè)資產(chǎn)已實(shí)現(xiàn)四次變差定義為，故單變量HARQ模型定義為：

其中RVi,t=RCovi,i,t,分別表示第i個(gè)資產(chǎn)已實(shí)現(xiàn)方差和h天的平均值。

Bollerslev等（2018）[2]提出了HARQ-DRD模型，該模型的構(gòu)造與HAR-DRD模型類似，區(qū)別在于HARQDRD模型的第二步，對(duì)lnDt分量用了單變量HARQ模型（8）式進(jìn)行預(yù)測(cè)，其余步驟一致。

四、實(shí)證分析

（一）實(shí)際數(shù)據(jù)

本文選取了上證50成分股中的10只股票的收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，選取其中股票代碼排在前10的股票，數(shù)據(jù)起止時(shí)間為2004年1月2日至2019年12月31日，高頻數(shù)據(jù)采樣間隔為5分鐘，數(shù)據(jù)來(lái)源于銳思數(shù)據(jù)庫(kù)。在剔除異常值數(shù)據(jù)后一共有3 834個(gè)交易日數(shù)據(jù)，對(duì)于數(shù)據(jù)缺失值進(jìn)行填補(bǔ)后得到了完整的5min高頻收益率數(shù)據(jù)集。本文將整個(gè)數(shù)據(jù)集劃分為兩部分：樣本內(nèi)數(shù)據(jù)和樣本外數(shù)據(jù)。樣本內(nèi)數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練模型參數(shù)，樣本外數(shù)據(jù)用于評(píng)價(jià)模型泛化效果。選取2004年1月2日至2015年5月6日共2 704個(gè)交易日作為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，2015年5月7日至2019年12月31日共1 130個(gè)交易日作為樣本外數(shù)據(jù)。

圖1給出了10只股票已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RDt和已實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)Rt的均值時(shí)間序列圖。從圖1可以發(fā)現(xiàn)已實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)相較于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率其變化程度更大，波動(dòng)更加明顯，已實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)的時(shí)序圖軌跡更加粗糙，而已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率時(shí)序圖有明顯的波峰，變化小且相對(duì)更加穩(wěn)定。由此我們可以發(fā)現(xiàn)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RDt和已實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)Rt兩個(gè)部分分別有不同的動(dòng)態(tài)特征，因此將已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣通過DRD分解成Dt和Rt后，再對(duì)兩部分分別進(jìn)行建模，這樣能利用到更多有效信息，更加科學(xué)合理。

圖1 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RDt 均值和已實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)Rt 均值的時(shí)間序列圖

（二）評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

在對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要對(duì)其預(yù)測(cè)效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。本文通過模型預(yù)測(cè)得到的協(xié)方差矩陣與樣本外數(shù)據(jù)計(jì)算得出的真實(shí)協(xié)方差矩陣進(jìn)行對(duì)比，分別計(jì)算出各個(gè)模型的MSE、RMSE和MAE，通過這三個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度，公式如下：

在實(shí)際金融市場(chǎng)中，建立投資組合時(shí)需要考慮到投資組合的交易成本、資產(chǎn)集中度和賣空成本等因素。因此本文計(jì)算了投資組合第t天到第t+1天的周轉(zhuǎn)率TOt、集中度COt和賣空資產(chǎn)權(quán)重SPt來(lái)度量投資組合的優(yōu)劣，具體計(jì)算公式如下：

在考慮了交易成本和賣空成本后，投資組合ωt在第t天的實(shí)際收益率計(jì)算方式如下：

其中c1代表交易成本率，c2表示賣空時(shí)貸款利率。本文取c1=0.1%、c2=6%/360，分別表示交易成本為成交金額的0.1%、賣空時(shí)的貸款年利率為6%。

（三）實(shí)證結(jié)果

本文除了給出HAR-DRD和HARQ-DRD協(xié)方差預(yù)測(cè)模型的實(shí)證結(jié)果，還給出了向量自回歸VAR模型、向量異質(zhì)自回歸HAR模型以及基于Cholesky分解的HAR-CHOL 模型等對(duì)比模型的實(shí)證結(jié)果。向量自回歸VAR 模型為直接對(duì)已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的下三角進(jìn)行拉直向量化，利用一階向量自回歸建模預(yù)測(cè)得到未來(lái)已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣；向量HAR 模型即為模型（7）式。HAR-CHOL 模型為首先對(duì)已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣進(jìn)行Cholesky 分解，對(duì)分解后的下三角矩陣進(jìn)行向量化，然后利用向量HAR 進(jìn)行建模預(yù)測(cè)未來(lái)已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣。

表1給出5種已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)模型在樣本外數(shù)據(jù)集（2015年5月7日至2019年12月31日）已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)實(shí)證結(jié)果。由表1 可以得出以下結(jié)論：1.將估計(jì)誤差信息考慮在內(nèi)HARQ 模型相較于HAR模型預(yù)測(cè)效果略優(yōu)。2.相較于簡(jiǎn)單地將已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣?yán)背上蛄亢笾苯舆M(jìn)行預(yù)測(cè)的VAR模型和HAR 模型，先將已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣進(jìn)行分解處理再進(jìn)行預(yù)測(cè)的HAR-CHOL、HAR-DRD、HARQ-DRD 模型預(yù)測(cè)效果更優(yōu)。3.采用DRD分解的HAR-DRD模型和HARQ-DRD模型相較于直接建模的HAR模型、VAR模型和基于Cholesky分解的HAR-CHOL模型預(yù)測(cè)精度更高，說明DRD分解能夠捕捉波動(dòng)率矩陣的動(dòng)態(tài)特征，對(duì)具有不同動(dòng)態(tài)特征的Dt和Rt分別進(jìn)行建模有助于提升模型預(yù)測(cè)精度。

表1 已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣模型預(yù)測(cè)結(jié)果（括號(hào)內(nèi)為排名）

表2和表3給出了L1約束的最小方差投資組合和無(wú)約束的最小方差投資組合實(shí)證結(jié)果，表2為考慮交易成本和賣空成本情形，表3為考慮了交易成本和賣空成本情形。為了分析基于高頻數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣估計(jì)量和基于低頻數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣估計(jì)量在投資組合中的差異，還考慮了基于Fan 等（2013）[15]提出的POET協(xié)方差矩陣估計(jì)量的投資組合結(jié)果，POET協(xié)方差矩陣估計(jì)量只利用低頻日收益率數(shù)據(jù)，未利用高頻數(shù)據(jù)。

表2 L1 約束的投資組合與最小方差投資組合實(shí)證結(jié)果（未考慮交易成本和賣空成本）

表3 L1 約束的投資組合與最小方差投資組合實(shí)證結(jié)果（考慮交易成本和賣空成本）

根據(jù)表2和表3我們可以得出以下結(jié)論：1.相同協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)模型得出的L1約束最小方差組合，相對(duì)于最小方差投資組合，其周轉(zhuǎn)率TO、集中度CO、和賣空頭寸SP 都相對(duì)更低，投資組合更加均勻穩(wěn)定，風(fēng)險(xiǎn)較低，收益相對(duì)較高，夏普比率也更高，可見在對(duì)投資組合的賣空頭寸進(jìn)行限制后能夠顯著改善投資組合表現(xiàn)。2.基于高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)模型得出的投資組合相較于基于低頻數(shù)據(jù)的POET協(xié)方差矩陣估計(jì)量得出的投資組合表現(xiàn)更好，說明使用日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)估計(jì)協(xié)方差矩陣相較于低頻數(shù)據(jù)能夠獲取更多有效信息，改善投資組合績(jī)效表現(xiàn)。3.結(jié)合表1結(jié)果，已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確的模型，對(duì)應(yīng)的投資組合效果也越佳，采用L1約束的HARQ-DRD投資組合模型綜合表現(xiàn)最佳。

五、結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合高頻已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)模型，研究了L1約束下最小方差投資組合。通過已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)模型，構(gòu)建了基于高頻數(shù)據(jù)的L1約束最小方差投資組合。實(shí)證分析表明：1.與無(wú)約束最小方差投資組合相比，具有L1約束的最小方差投資組合風(fēng)險(xiǎn)較低、成本較小、夏普比率較高。2.采用高頻數(shù)據(jù)已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差預(yù)測(cè)模型的投資組合，其投資效果也優(yōu)于基于低頻數(shù)據(jù)協(xié)方差預(yù)測(cè)模型的投資組合。3.采用了DRD分解的模型相較于沒有采用DRD分解的模型，無(wú)論是協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)精度還是投資組合績(jī)效表現(xiàn)都存在一定優(yōu)勢(shì)，分解后針對(duì)相關(guān)系數(shù)矩陣R和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率矩陣D的單獨(dú)建模，有助于捕捉各自規(guī)律，具有較低的預(yù)測(cè)誤差，表現(xiàn)出更好的投資效果。