程彥

［摘 要］深度學(xué)習(xí)是以課堂為主陣地，在檢視學(xué)生淺表性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生深度參與的課堂學(xué)習(xí)?！坝梅?jǐn)?shù)除法解決問題”的教學(xué)，通過連接分?jǐn)?shù)的意義，構(gòu)建對應(yīng)的問題模型，學(xué)生在利用直觀圖形厘清數(shù)量關(guān)系的過程中真正理解分?jǐn)?shù)除法解決問題的要素，從而促進(jìn)思維的發(fā)展，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)，逐步實(shí)現(xiàn)知識、經(jīng)驗(yàn)、能力的融合。

［關(guān)鍵詞］深度學(xué)習(xí)；結(jié)構(gòu)化；分?jǐn)?shù)除法；解決問題

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）29-0069-03

一、問題的提出

2005年，研究者黎加厚將深度學(xué)習(xí)概念引入國內(nèi)。2006年，郭元祥教授提出并開展深度教學(xué)的理論和改革實(shí)踐研究，研究團(tuán)隊在前期工作中，提出深度學(xué)習(xí)與深度教學(xué)的關(guān)聯(lián)性與一致性，深度即內(nèi)涵，在于價值與目標(biāo)、知識的理解與轉(zhuǎn)化、學(xué)習(xí)的過程與方法。因此，深度教學(xué)是指向?qū)W生素養(yǎng)的意義性教學(xué)、理解性教學(xué)和生成性教學(xué)。

通過梳理、歸納文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)關(guān)于數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)概念的界定，多以安富海和郭華的深度學(xué)習(xí)定義為基礎(chǔ)，即數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指基于數(shù)學(xué)本質(zhì)理解，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用與分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和核心素養(yǎng)。在教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，凸顯學(xué)生的思維發(fā)展和學(xué)生對數(shù)學(xué)整體性的理解。

將深度學(xué)習(xí)理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)科，需要教師深入解讀教材，在理解教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上設(shè)計教學(xué)方案，開展教學(xué)實(shí)踐。用分?jǐn)?shù)除法解決問題需要對分?jǐn)?shù)相關(guān)知識進(jìn)行綜合運(yùn)用。另外，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，數(shù)系得到了拓展，分?jǐn)?shù)既可以表示具體的量，又可以表示分率，用分?jǐn)?shù)除法解決問題有其自身的抽象性。因此，為了達(dá)成深度學(xué)習(xí)，學(xué)生對分?jǐn)?shù)除法解決問題的認(rèn)識不能停留在淺層上，還要通過問題中的數(shù)量關(guān)系掌握解決問題的一般方法。

二、“用分?jǐn)?shù)除法解決問題”的教學(xué)分析及現(xiàn)狀

在分?jǐn)?shù)問題中有三個因素非常重要：標(biāo)準(zhǔn)量、分率和對應(yīng)量?？梢愿鶕?jù)求標(biāo)準(zhǔn)量、求分率、求對應(yīng)量將六年級的分?jǐn)?shù)問題分為三類（如圖1）。

在以往“用分?jǐn)?shù)除法解決問題”的教學(xué)中，教師通常是引導(dǎo)學(xué)生建立解決問題的模式：一找關(guān)鍵句（含分率）；二定單位 “1”；三列算式，單位“1” 已知時用乘法，單位“1”未知時用除法。依照上述模式，學(xué)生只需機(jī)械記憶并套用公式。由于沒有達(dá)到理解層次，學(xué)生在解決綜合問題時不能準(zhǔn)確找出單位“1”，遇到不能直接套用公式的問題時就無法正確解答。

表1給出的“用分?jǐn)?shù)除法解決問題”共有四個類型，前兩個類型是“用分?jǐn)?shù)乘法解決問題”類型的逆向問題，二者具有同樣的數(shù)量關(guān)系，但單位“1”不同（已知的和未知的）。

在教學(xué)中，應(yīng)找出分?jǐn)?shù)乘、除法問題的對應(yīng)與聯(lián)系，讓學(xué)生在觀察、比較、溝通中理解“兩個部分量的差”與“其中的一個量”進(jìn)行比較，感受它們之間的異同和數(shù)量之間的聯(lián)系，從而體會、內(nèi)化這個差異和聯(lián)系是“用分?jǐn)?shù)除法解決問題”的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。

三、“用分?jǐn)?shù)除法解決問題”多重屬性

1.鏈接相關(guān)知識，找到解題關(guān)鍵

在用分?jǐn)?shù)除法解決問題的過程中，如果過分強(qiáng)調(diào)機(jī)械記憶和建立簡單模型，忽略模型背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，就會使得學(xué)生對分?jǐn)?shù)除法問題的核心知識達(dá)不到理解的程度。為了促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，教師需要理順?biāo)悸?，將知識進(jìn)行串聯(lián)、整合、類比，通過一道題延伸出一類題，構(gòu)建對應(yīng)的問題模型，活化知識的同時使知識結(jié)構(gòu)化，找到用分?jǐn)?shù)除法解決問題的關(guān)鍵。有題組如下：

（1）足球有20個，籃球的個數(shù)是足球的[25]，籃球有多少個？

（2）足球有20個，足球的個數(shù)是籃球的[25]，籃球有多少個？

（3）足球有20個，比籃球少[15]，籃球有多少個？

（4）足球有20個，比籃球多[14]，籃球有多少個？

以上題組的題目形式相近、知識聯(lián)系密切，具有一定的對比性和層次性。通過比較，可以發(fā)現(xiàn)：列式時需要找到標(biāo)準(zhǔn)量，即單位“1”。標(biāo)準(zhǔn)量已知的，可以用乘法計算，即“標(biāo)準(zhǔn)量×具體的分率”；標(biāo)準(zhǔn)量未知的，可以用除法計算，即“具體量÷對應(yīng)的分率”。通過比較，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)不管單位“1”是已知還是未知，都可以用乘法數(shù)量關(guān)系式解決這些問題。“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”和“求比一個數(shù)多或少幾分之幾的數(shù)是多少”這兩種題的解題策略是一致的。在教學(xué)“用分?jǐn)?shù)除法解決問題”的過程中要以“意義”為本，在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行知識建構(gòu)，促使學(xué)生建立符號表征、邏輯形式和意義系統(tǒng)的三維知識結(jié)構(gòu)觀。

2.注重數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行整體建構(gòu)

數(shù)量關(guān)系是兩個或兩個以上的數(shù)（或表達(dá)式）之間的關(guān)系。對于加減乘除運(yùn)算，無論是一步計算還是混合運(yùn)算，學(xué)生解題的正確率都比較高，然而在解決問題時，經(jīng)常出現(xiàn)錯誤。原因在于學(xué)生建立數(shù)量關(guān)系模型時，缺少教師的引領(lǐng)。因此，在解決問題教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。學(xué)生遇到數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的問題時，便能夠從數(shù)量關(guān)系入手，正確建構(gòu)思維框架。

學(xué)生在解決問題時，一般會經(jīng)歷如下過程：首先，從情境中尋找數(shù)學(xué)問題及解決問題所需的信息；接著，從復(fù)雜的信息中抽象出數(shù)量關(guān)系；最后，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式解答。例題：小明的體重是35千克，比爸爸輕[815]，小明爸爸的體重是多少千克？要真正理解“小明的體重比爸爸的體重輕[815]”，就要先弄清楚小明的體重是爸爸的幾分之幾。若將爸爸的體重平均分成15份，小明的體重相當(dāng)于15份中的15-8=7（份），即小明的體重是爸爸體重的[715]。至此，問題轉(zhuǎn)化成了“小明爸爸體重的幾分之幾是多少”。學(xué)生除了發(fā)現(xiàn)“小明的體重=爸爸的體重×（1-[815]）”，還發(fā)現(xiàn)了“小明的體重÷（1-[815]）=爸爸的體重”，即數(shù)量關(guān)系沒有改變。

數(shù)學(xué)知識之間有密切的聯(lián)系，是一個由淺入深、由簡到繁、由易到難的結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)能夠?qū)?shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，使學(xué)生將學(xué)習(xí)的內(nèi)容視為一個整體，學(xué)生就能夠在實(shí)際環(huán)境中提升自身的邏輯思維，全面理解數(shù)學(xué)知識。結(jié)構(gòu)式教學(xué)的核心就是學(xué)生帶著問題主動建構(gòu)知識的過程。用“分?jǐn)?shù)的意義”統(tǒng)領(lǐng)整個分?jǐn)?shù)單元，將前后知識有機(jī)銜接，學(xué)生運(yùn)用分?jǐn)?shù)除法來解決問題時就能對“分?jǐn)?shù)的意義”和“一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義”達(dá)到理解的程度，從而將較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問題轉(zhuǎn)化為“一個數(shù)乘幾分之幾等于另一個數(shù)”的問題來解決。

3.利用圖形直觀，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考

合理運(yùn)用線段圖可促進(jìn)學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)思考力的提升。在“用分?jǐn)?shù)除法解決問題”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會遇到一些不太符合基本結(jié)構(gòu)特征、數(shù)量關(guān)系不是很清晰的問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖來理解題意，幫助學(xué)生在數(shù)和形的轉(zhuǎn)化中通過數(shù)量關(guān)系式找到突破口。

上述例題呈現(xiàn)了含有豐富信息的問題情境，學(xué)生在解題時，會遇到“把小明的體重平均分成15份”的情況。 線段圖具有的直觀屬性，有助于學(xué)生逐步理解題中所傳達(dá)的各種數(shù)學(xué)要素。從題目中可知爸爸的體重是單位“1”，將單位“1”平均分成15份，小明占其中的7份，而這7份所對應(yīng)的量是小明的體重——35千克，用線段圖表示爸爸的體重是35千克和剩余的8份之和，也就是單位“1”——15份。

學(xué)生通過線段圖，明確了小明的體重是爸爸體重的（1-[815]），即“小明的體重=爸爸的體重×（1-[815]）”。

基礎(chǔ)知識與思想方法是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的兩條主線。除了基礎(chǔ)知識鏈這條明線，教師對數(shù)學(xué)思想方法鏈的構(gòu)建也要重視。在建構(gòu)知識的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去分析各種數(shù)學(xué)問題，概括常用的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系的意識和能力。學(xué)生在學(xué)習(xí)“用分?jǐn)?shù)除法解決問題”的過程中，往往難以將具體量和分率對應(yīng)起來，而線段圖能詮釋分?jǐn)?shù)問題中的數(shù)量，從而輕松求解。

以上對“用分?jǐn)?shù)除法解決問題”多重屬性的分析與表達(dá)，也是“深度的教與學(xué)”在課堂中的具體呈現(xiàn)。教師只有具備結(jié)構(gòu)化、立體化、多元化的教學(xué)思維，建立發(fā)展性的課程知識觀，才能幫助學(xué)生獲得整體性的知識，理解知識的本質(zhì)屬性。

綜上，通過分析“用分?jǐn)?shù)除法解決問題”教學(xué)中存在的問題，提出了結(jié)構(gòu)化教學(xué)的優(yōu)勢和有效性，并強(qiáng)調(diào)了數(shù)量關(guān)系的重要性，以及通過圖示促進(jìn)學(xué)生的理解和思維的提升。在未來的教學(xué)中，可以進(jìn)一步探索不同教學(xué)策略在分?jǐn)?shù)問題教學(xué)中的優(yōu)劣，以提升教師在學(xué)生深度學(xué)習(xí)過程中的引導(dǎo)和支持能力，推動學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

深度學(xué)習(xí)是以課堂為主陣地，在檢視學(xué)生淺表性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生走向深度參與的課堂學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，達(dá)到深度的學(xué)習(xí)狀態(tài)，逐步實(shí)現(xiàn)知識、經(jīng)驗(yàn)、能力的融合。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

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【此文系廣東省2023年規(guī)劃課題（項目編號2023YQJK025）“‘結(jié)構(gòu)·聯(lián)系·遷移導(dǎo)向的小學(xué)數(shù)學(xué)單元主題教學(xué)實(shí)踐研究”階段性研究成果。】

（責(zé)編 黃 露）