潘冰寧　付芳

［摘 要］圖示表征可以使抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、可視化，幫助學(xué)生更好地理解和運用數(shù)學(xué)知識。以北師大版教材四年級下冊“烙餅問題”為例，從找準(zhǔn)課堂教學(xué)起點、突破學(xué)生學(xué)習(xí)難點、關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)節(jié)點和助力學(xué)生達(dá)成學(xué)習(xí)目的四個方面，談一談如何利用圖示表征解決“烙餅問題”教學(xué)中的難點，使學(xué)生在不同要求的圖示表征中有所思、有所想、有所悟。

［關(guān)鍵詞］圖示表征；烙餅問題；優(yōu)化

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）29-0059-04

圖示是指使用圖表、圖形、圖像或其他可視化方式來呈現(xiàn)信息、數(shù)據(jù)、概念或思想的過程。圖示表征可以將問題可視化，促進思考、溝通聯(lián)系、分析問題。如圖1所示，“烙餅問題”的目的是通過生活中常見的烙餅問題，讓學(xué)生經(jīng)歷探索多種解決方案的過程，從而選擇最優(yōu)方法，滲透優(yōu)化思想。

在教學(xué)中，部分教師容易將“烙餅問題”上成一節(jié)“探索規(guī)律—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—總結(jié)方法”的課，課堂氛圍雖一片熱鬧，但缺乏冷靜思考。這導(dǎo)致學(xué)生僅僅學(xué)會套用方法，雖得其法卻不解其意，一旦變換題型就會束手無策。過于熱鬧的課堂和過于冷靜的課堂都不是好的教學(xué)狀態(tài)。因此，教師需要在必要的時機對學(xué)生的熱鬧進行“冷處理”，利用圖示表征提高解決問題的效率。

一、利用圖示表征理解題意，找準(zhǔn)課堂教學(xué)起點

如果說智慧的大腦是解決問題的關(guān)鍵，那么理解題意就是解決問題的開端。在生活中，多數(shù)學(xué)生都會烙餅，但是將烙餅和數(shù)學(xué)相結(jié)合還是第一次，這也是讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活密切聯(lián)系的契機。因此，讀懂題意在此時顯得尤為重要。

【教學(xué)片段1】

師：“每次只能烙2張餅”是什么意思？

生1：鍋里最多同時放2張餅。

師：請你上來畫一畫。

（生1畫出如圖2所示的圖形）

師：“兩面都要烙”是什么意思？

生2：一張餅有兩個面，如果用正面、反面表示，出現(xiàn)“正”字表示烙正面，出現(xiàn)“反”字表示烙反面（如圖3）。

師：根據(jù)他們說的這些數(shù)學(xué)信息，你能提出什么問題？

生3：烙3張餅要多長時間？

生4：烙3張餅至少要多長時間？

師：大家的理解能力越來越好了。烙3張餅可能要1個小時或1天，而加了“至少”，說明你們用數(shù)學(xué)的眼光去看待問題了。

【教學(xué)思考】教材中所給的情境看似貼近生活實際，實則離生活還有一定距離，因為生活中很少有或者說基本沒有關(guān)注烙餅要多久的問題。教師要幫助學(xué)生梳理圖中的信息，找到題眼——“每次只能烙2張”“兩面都要烙”。在這一過程中，雖然可以讓學(xué)生用自己的話說一說，但是利用鍋和餅的圖示表征會更直觀，也更具說服力。教師利用圖示慢慢地剝離問題的生活情境，讓學(xué)生集中思考“烙3張餅至少要多長時間”。這有助于學(xué)生直觀地理解問題的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)和關(guān)系，從而更好地把握問題的核心。

二、利用圖示表征尋找方法，突破學(xué)生學(xué)習(xí)難點

直接進入“烙3張餅至少要多長時間”對學(xué)生而言有些難以接受，因此教師可以從最基礎(chǔ)的烙1張餅開始，利用表格表示烙餅過程（正面3分鐘，反面3分鐘，一共6分鐘）。緊接著讓學(xué)生思考烙2張餅的方法，這時候可能有學(xué)生受思維的局限，出現(xiàn)表1-1的方法，也有學(xué)生經(jīng)過思考后給出表1-2的方法。

【教學(xué)片段2】

師：誰看懂了表1-1和表1-2中的烙法？

生1：表1-1的方法是鍋里每次放1張餅，2張餅烙完一共12分鐘；表1-2的方法是鍋里每次放2張餅，2張餅烙完一共6分鐘。

生2：為什么烙1張餅是6分鐘，烙2張餅也是6分鐘？

生3：因為2張餅可以同時放在鍋里一起烙。

師：也就是說，要想烙餅所用時間最少，就要保證鍋里每次都有2張餅。怎樣將表1-1的方法進行調(diào)整，才能做到用時最少呢？

（學(xué)生進行調(diào)整，見表2-1、表2-2）

師：調(diào)整后的方法（見表2-2）對嗎？

生4：不對，因為1張餅不可能同時烙兩個面，只能是先烙完一面再烙另一面。

【教學(xué)思考】烙1張餅很簡單，烙2張餅的時候有的學(xué)生就忽略了“每次只能烙2張餅”的信息，才會產(chǎn)生1張1張地烙的想法。此時，教師就需要及時借助圖示，讓這些學(xué)生學(xué)會2張餅同時烙的省時方法。讓學(xué)生經(jīng)歷修正的過程，也是拉長學(xué)生思考的過程。在這個過程中讓學(xué)生感受只有在“滿鍋”的狀態(tài)下才最節(jié)省時間，提高學(xué)生思維的縝密性。這種思想也影響著接下來烙3張餅的方法。解決“烙餅問題”時，利用圖示表征方法能夠有效地幫助學(xué)生克服難點，為問題的理解和解決提供了強有力的工具。

學(xué)生想到的烙3張餅的方法有很多，教師可選擇以下三種情況（見表3-1、表3-2、表3-3）來給學(xué)生講解。對第一種烙法教師進行肯定，因為在一定程度上達(dá)到了節(jié)省時間的目的。對第二種烙法，教師需要學(xué)生回顧“1張餅不可能同時烙兩個面”這個原則，以強化學(xué)生的優(yōu)化意識。

【教學(xué)片段3】

師（出示表3-3）：像他這么烙，烙幾次？

生5：3次。

師：除了這么烙還能怎么烙？

生6：“3反”和“2反”互換位置。

生7：“1正”和“1反”互換位置。

師：結(jié)合大家的方法，誰還有什么想說的？

生8：只要保證不出現(xiàn)同時烙1張餅的兩個面，其他怎么烙都行。

師：現(xiàn)在請你們利用手中的學(xué)具，一邊畫一邊說3張餅怎么烙3次的情況。

【教學(xué)思考】教師在教學(xué)過程中要善于傾聽學(xué)生不同的聲音。將烙3張餅的方法按照順序依次出現(xiàn)，是符合學(xué)生的知識發(fā)展和心理特點的。而交替式的烙餅方法是學(xué)生思考由淺入深的必然過程。相信當(dāng)學(xué)生看到不同的圖示時，都會有自己的觀察、比較、思考在其中。讓每個學(xué)生都能有所發(fā)展正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義所在。學(xué)生在經(jīng)歷烙2張餅后，一定會對烙3張餅有不一樣的思考，教師應(yīng)充分相信學(xué)生，充分相信合作的力量，給予學(xué)生充足的時間和空間去探索、去發(fā)現(xiàn)。

烙3張餅很難突破，只有讓學(xué)生直面教學(xué)難點，才能留下思考的痕跡。在這個環(huán)節(jié)中，利用圖示，學(xué)生可以直觀看到烙餅的方法，進而發(fā)現(xiàn)烙餅問題中的規(guī)律、模式及瓶頸，為問題求解提供新的思路和啟示。

三、利用圖示表征辨別優(yōu)化，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)節(jié)點

當(dāng)學(xué)生明白2張餅、3張餅的烙法后，心中必然是有所得意，教學(xué)也進入白熱化階段。教師可相機提出“烙4張餅最少要用幾分鐘”。教師巡視發(fā)現(xiàn)，有學(xué)生選擇2張2張地烙（見表4-1），有學(xué)生受烙3張餅的影響用交替烙的方法（見表4-2）。教師讓學(xué)生比較兩種方法，大部分學(xué)生覺得交替烙的方法勞心費神，且容易出錯。

【教學(xué)片段4】

師：烙5張餅怎么烙呢？最少要用幾分鐘？

生1：先按順序烙2張，再用交替法烙3張，一共烙5次，用時15分鐘。

[烙餅次數(shù) 具體烙法 時間（分） 第一次 3 第二次 3 第三次 3 第四次 3 第五次 3 ] [1正] [1反] [2正] [2反] [3正] [4反] [4正] [5正] [3反] [5反]

師：烙6張餅?zāi)兀?/p>

生2：2張2張地烙，一共烙6次，共用3×6=18（分）。

師：烙7張餅?zāi)兀?/p>

生3：按順序2張2張地烙，烙4張后，剩下的3張用交替法烙3次。

師：這么多餅都烙完了，你覺得烙幾張餅對我們解決問題最重要？

生4：烙3張，我從中知道了交替烙的方法。

生5：我覺得烙2張餅也很重要。

師：為什么？

生5：如果沒有烙2張餅的方法總結(jié)，就解決不了烙5張餅的問題。

師：掌聲送給會思考的孩子。

（教師繼續(xù)教學(xué)烙6張餅、7張餅以及9張餅）

【教學(xué)思考】對比烙4張餅的2種方法，讓學(xué)生打破思維定式進一步感受“優(yōu)化”。有了這樣的體驗，學(xué)生在思考烙5張餅時，會將思考的重心放在如何縮短時間上，進而發(fā)現(xiàn)烙2張和烙3張的重要意義，為后面用最少的時間烙更多的餅打下堅實的基礎(chǔ)。在烙餅問題中，圖示表征的優(yōu)勢顯而易見。通過簡潔明了的圖示，學(xué)生可以直觀地觀察每次烙餅的結(jié)果，無須進行煩瑣的計算，進而快速找到最優(yōu)策略。此外，隨著餅的數(shù)量的增加，圖示的優(yōu)勢更加凸顯，因為在復(fù)雜的烙餅序列中，圖示可以幫助學(xué)生更好地跟蹤和分析每一步的操作，也更容易發(fā)現(xiàn)問題中的關(guān)聯(lián)性，從而更全面地理解烙餅問題的整體架構(gòu)。

四、利用圖示表征拓展思維，助力學(xué)生達(dá)成學(xué)習(xí)目的

烙餅問題是有規(guī)律可循的，而有的教師僅僅通過簡單的講解便將公式“灌輸”給學(xué)生。正確的教學(xué)方法應(yīng)該是教師通過層層鋪墊，化繁為簡，從簡單的烙1張餅開始教學(xué)，到烙2張餅、3張餅，以及烙更多的餅。當(dāng)學(xué)生意識到烙更多餅的方法可以總結(jié)成一個公式時，就是揭示烙餅問題背后規(guī)律的最佳時機。

【教學(xué)片段5】

師：在烙餅的時候，你有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：有幾張餅就要烙幾次。

師：為什么烙的次數(shù)和餅的張數(shù)相同呢？

生2：烙餅的時候，每次烙2個面，2個面就是1張餅。

生3：因為我們要利用鍋的最大空間，如果一個鍋一次可以烙 2 張餅，那么烙餅次數(shù)=餅數(shù)×每個餅要烙的面數(shù)÷一個鍋最多放的餅數(shù)。

師：觀察表6，烙餅所需的最少時間和什么有關(guān)？它們有怎樣的關(guān)系？

生4：烙餅所需最少時間=烙1面餅的用時×烙餅次數(shù)。

師：這個公式適用于所有情況嗎？

生 5：不適合1張餅的情況，因為1張餅的兩面不能同時烙。

生 6：如果一次能烙3張餅，每個餅烙的面數(shù)就不能和每次最多放的餅數(shù)相抵消了，所以這個公式只適合一次放2張餅的情況。

【教學(xué)思考】通過觀察烙餅時間分析表，很多學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)“烙的次數(shù)等于餅的張數(shù)”這一規(guī)律，但并不理解其背后的真正原因。而通過質(zhì)疑公式的局限性，能讓學(xué)生理解公式背后的真正含義，從而提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。烙餅問題這節(jié)課通過一系列的觀察、操作、歸納、總結(jié)、轉(zhuǎn)化，將學(xué)生的思維以一個動態(tài)發(fā)展的過程呈現(xiàn)，讓思維得以提升、發(fā)展。

綜上所述，圖示在烙餅問題中起著重要的作用，它通過可視化的方式展示烙餅的初始狀態(tài)和每次操作后的位置變化，幫助學(xué)生直觀地觀察和分析問題。通過圖示，學(xué)生也更清楚地理解烙餅的順序和位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和性質(zhì)，從而制定最優(yōu)的解題策略。在教學(xué)中，教師要善于借助圖示解決教學(xué)中的難點，讓學(xué)生的思維真正做到動態(tài)化。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 李小燕.借助圖示直觀突破教學(xué)重難點[J].廣西教育，2019（21）：93-94.

[2] 沈強.借助多元比較，深化概念理解[J].小學(xué)數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)版），2022（5）：72-73.

[3] 侯小卿.巧用圖示表征促進小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].考試周刊，2018（6）：65-66.

（責(zé)編 覃小慧）