戴曉燕

［摘? 要］ 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)由淺入深、由易到難的過(guò)程. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生追問(wèn)本源、追尋體驗(yàn)、追蹤靈感，進(jìn)而讓問(wèn)題原生，讓過(guò)程原態(tài)，讓結(jié)論原創(chuàng). 只有引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)富有活力的思考、探究，才能讓相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知思維心理，勾連成學(xué)生的認(rèn)知思維結(jié)構(gòu). 深度學(xué)習(xí)視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)向“會(huì)學(xué)”“慧學(xué)”，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更真實(shí)、更豐實(shí)、更扎實(shí).

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；深度學(xué)習(xí)；教學(xué)實(shí)踐

如何讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從淺層走向深度？如何讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生？一個(gè)重要的方面就是教師要加強(qiáng)課堂教學(xué)引導(dǎo). 深度學(xué)習(xí)是一種高參與、高投入的學(xué)習(xí)，能促進(jìn)學(xué)生高階認(rèn)知、高階思維的形成. 基于深度學(xué)習(xí)的視角，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要把握學(xué)生所學(xué)的知識(shí)起點(diǎn)，還要把握學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)、認(rèn)知起點(diǎn)等. 教師要通過(guò)設(shè)置本源性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷原生態(tài)的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生去自主建構(gòu)與創(chuàng)造，從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積極主動(dòng)地感知、操作、思考、想象等. 深度學(xué)習(xí)能引導(dǎo)學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)向“會(huì)學(xué)”“慧學(xué)”，能讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美好、快樂(lè)！

追問(wèn)本源，讓問(wèn)題原生

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題也是驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力引擎. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分應(yīng)用“問(wèn)題”來(lái)導(dǎo)引學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓問(wèn)題具有典型性、驅(qū)動(dòng)性、指引性，讓問(wèn)題具有啟發(fā)性、點(diǎn)撥性［1］. 尤其是，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本體性知識(shí)進(jìn)行自覺(jué)的追問(wèn)，追問(wèn)本源、追問(wèn)關(guān)聯(lián). 其中的追問(wèn)本源有兩方面的內(nèi)涵和內(nèi)容：其一是追問(wèn)知識(shí)的本真、本質(zhì)，這是質(zhì)性的追問(wèn)；其二是追問(wèn)知識(shí)的源流，這是發(fā)生、發(fā)展的追問(wèn). 追問(wèn)本源的問(wèn)題往往是原生性的問(wèn)題. 或者說(shuō)，追問(wèn)本源的問(wèn)題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有啟發(fā)性、召喚性、引導(dǎo)性、助推性.

追問(wèn)本源的原生性問(wèn)題，不僅能切入數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)，還能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)力，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的強(qiáng)烈動(dòng)機(jī)，讓學(xué)生從傳統(tǒng)的“要我學(xué)”轉(zhuǎn)向“我要學(xué)”. 原生性的問(wèn)題還能引發(fā)學(xué)生進(jìn)行持續(xù)性的思考和探究. 追問(wèn)本源，要求教師不僅要站在知識(shí)生長(zhǎng)、擴(kuò)充、發(fā)展等視角來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，更要基于學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)研究問(wèn)題. 只有這樣，教師所設(shè)計(jì)的問(wèn)題才能既符合知識(shí)生長(zhǎng)邏輯，又符合學(xué)生的學(xué)情，并讓問(wèn)題能切入學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”［2］. 如“函數(shù)”“方程”“不等式”是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，它們之間的關(guān)聯(lián)十分密切. 可以這樣說(shuō)，“函數(shù)”“方程”和“不等式”構(gòu)成了初中數(shù)學(xué)的三大模型. 教學(xué)時(shí)，教師要有意識(shí)地將之關(guān)聯(lián)起來(lái)，促進(jìn)學(xué)生本質(zhì)性、關(guān)聯(lián)性的思考與探究. 在學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)背景、認(rèn)知背景下，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣的問(wèn)題情境：對(duì)于x3-x-6=0，你是怎樣理解的？在這樣的開(kāi)放性問(wèn)題之中，學(xué)生會(huì)展開(kāi)本源性的思考，比如：它有幾個(gè)解？它的解代表什么？在一元一次方程、一元二次方程等相關(guān)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的啟發(fā)下，學(xué)生會(huì)積極地遷移、類比、猜想. 同時(shí)，學(xué)生通過(guò)深度研討，還能從數(shù)形結(jié)合視角，將這一方程創(chuàng)新性地理解為其解為函數(shù)y=x3和函數(shù)y=x+6的交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 顯然，本源的原生性問(wèn)題，激發(fā)了學(xué)生的探索欲望、求知熱情，同時(shí)拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)視野.

問(wèn)題原生，是指“問(wèn)題能引發(fā)學(xué)生進(jìn)行陌生化的思考、探究，或者說(shuō)，問(wèn)題是學(xué)生自主提出的”. 相較于一般性問(wèn)題，溯本求源的原生性問(wèn)題能引發(fā)學(xué)生探究，能點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 教師要借助本源的原生性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生深度思考、深度探究. 本源的原生性問(wèn)題是一種能激發(fā)學(xué)生深度思考、引發(fā)學(xué)生深度探究的問(wèn)題. 在本源的原生性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生的思考能突破表層，向知識(shí)本質(zhì)漫溯. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要設(shè)計(jì)本源的原生性問(wèn)題，以此提升學(xué)生的思維高度，增加學(xué)生的思維強(qiáng)度，發(fā)展學(xué)生的思維密度，培養(yǎng)學(xué)生的思維效度.

追尋體驗(yàn)，讓過(guò)程原態(tài)

初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)自主建構(gòu)、創(chuàng)造的過(guò)程［3］. 這個(gè)過(guò)程，不僅僅是一個(gè)認(rèn)知的過(guò)程，更是一個(gè)感受、體驗(yàn)的過(guò)程. 教師要引導(dǎo)學(xué)生追尋學(xué)習(xí)的體驗(yàn). 只有經(jīng)過(guò)感受、體驗(yàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是一種真性的學(xué)習(xí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能真正發(fā)生. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的誕生過(guò)程，進(jìn)而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì). 斯托利亞爾深刻地指出，“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”. 教師要充分發(fā)揮活動(dòng)的育人功能，彰顯活動(dòng)的育人意義和價(jià)值.

基于育人視角，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷原態(tài)的活動(dòng)，就是要引導(dǎo)學(xué)生充分地經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過(guò)程. 教師要引導(dǎo)學(xué)生多種感官協(xié)同參與，讓學(xué)生的多種感官協(xié)同活動(dòng)，形成一種具身性認(rèn)知狀態(tài). 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)積極、主動(dòng)地動(dòng)眼觀察、動(dòng)耳傾聽(tīng)、動(dòng)手操作、動(dòng)口表達(dá)、動(dòng)腦思考等. 比如教學(xué)“最短路線”這一內(nèi)容時(shí)，筆者以基礎(chǔ)性的一個(gè)問(wèn)題為例：在直線l的兩側(cè)有A，B兩個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谥本€l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離之和最短. 這是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性、常識(shí)性的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知、思維來(lái)說(shuō)具有奠基性的意義和功能. 在此基礎(chǔ)上，筆者出示了經(jīng)典的“將軍飲馬”問(wèn)題：在直線l的同側(cè)有A，B兩個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谥本€l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離之和最短. 這一問(wèn)題能引導(dǎo)學(xué)生在第一個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上展開(kāi)思考，并能引導(dǎo)學(xué)生積極地進(jìn)行動(dòng)手操作. 學(xué)生以直線l為軸，作出了點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，或者作出了點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′. 在操作的過(guò)程中，學(xué)生連接相關(guān)的點(diǎn)，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決了問(wèn)題，并從中理解了數(shù)學(xué)操作的科學(xué)性、合理性. 在數(shù)學(xué)體驗(yàn)性活動(dòng)教學(xué)中，教師要善于找準(zhǔn)體驗(yàn)性活動(dòng)的基點(diǎn)，發(fā)掘體驗(yàn)性活動(dòng)的內(nèi)容，優(yōu)化體驗(yàn)性活動(dòng)的形式，提升體驗(yàn)性活動(dòng)的品質(zhì). 如在上述“最短路線”的教學(xué)中，筆者還呈現(xiàn)了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)變式：已知點(diǎn)M在銳角∠AOB的內(nèi)部，請(qǐng)?jiān)凇螦OB的OA邊上找一點(diǎn)P，在OB邊上找一點(diǎn)Q，使得線段MP、線段PQ、線段MQ之和最小. 這一變式能引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度探究，能讓學(xué)生借助自己的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)獨(dú)立解決.

在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度體驗(yàn). 如在引導(dǎo)學(xué)生畫圖操作的過(guò)程中，教師要讓學(xué)生深度思考：能否讓距離更小一些？當(dāng)學(xué)生的思維、認(rèn)知出現(xiàn)阻滯、障礙，或者學(xué)生遭遇困惑、困難的時(shí)候，教師可以放緩腳步，以便學(xué)生能跟得上. 實(shí)踐證明，只有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行原生態(tài)操作，學(xué)生才能有深度感受. 在教學(xué)中，教師還可以拉長(zhǎng)學(xué)生的感受過(guò)程，讓學(xué)生充分體驗(yàn)、享受那種思考、探究的內(nèi)在樂(lè)趣. 尤其是在學(xué)習(xí)的關(guān)鍵之處、核心之處，教師要引導(dǎo)學(xué)生思維集中，充分調(diào)動(dòng)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)等來(lái)解決問(wèn)題.

追蹤靈感，讓結(jié)論原創(chuàng)

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)”. 盡管“再創(chuàng)造”之于數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)不具有原創(chuàng)性、原生性的意義，但之于學(xué)生卻是一種“原創(chuàng)”. 正如美國(guó)心理學(xué)家馬斯洛所說(shuō)，“創(chuàng)造性有兩種，一種是特殊才能的創(chuàng)造，另一種是自我實(shí)現(xiàn)的創(chuàng)造”. 筆者認(rèn)為，所謂“特殊才能的創(chuàng)造”，就是在社會(huì)各行各業(yè)中涌現(xiàn)出的一些“原生創(chuàng)造”. 相對(duì)于這樣一種“從無(wú)到有”的創(chuàng)造，學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的“再創(chuàng)造”，就屬于“自我實(shí)現(xiàn)的創(chuàng)造”.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于激發(fā)學(xué)生的靈感，善于追蹤學(xué)生的靈感，要讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行自我實(shí)現(xiàn)意義上的“再創(chuàng)造”. 為此，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一種“心理安全”和“心理自由”（馬斯洛 語(yǔ)）的場(chǎng)域，助推學(xué)生自主思考、合作學(xué)習(xí)、踴躍展示等. 尤其是，教師要鼓勵(lì)學(xué)生生發(fā)獨(dú)特性、獨(dú)創(chuàng)性的見(jiàn)解和主張. 對(duì)于學(xué)生的“另類觀點(diǎn)”，教師要包容，要始終敞開(kāi)大門容納學(xué)生的“相異性構(gòu)想”，哪怕是“迷思性的概念”. 如此，教師就能推動(dòng)學(xué)生認(rèn)知的覺(jué)醒、思維的敞亮，從而讓學(xué)生創(chuàng)造出他們的結(jié)論. 如此，數(shù)學(xué)活動(dòng)就能流淌著生命的智慧，閃現(xiàn)出創(chuàng)新的火花. 比如教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”這一內(nèi)容時(shí)，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)了“三角形的內(nèi)角和”，為學(xué)生探究“多邊形的內(nèi)角和”奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想：任何一個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°嗎？任何一個(gè)五邊形的內(nèi)角和是多少度？對(duì)于多邊形的內(nèi)角和，有沒(méi)有好的計(jì)算方法？這樣的問(wèn)題能引導(dǎo)學(xué)生基于自我已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)深度探索. 有學(xué)生從多邊形的內(nèi)部取一個(gè)點(diǎn)，然后連接多邊形各個(gè)頂點(diǎn)與這個(gè)點(diǎn)，將多邊形分成若干個(gè)三角形；有學(xué)生從多邊形的邊上取一個(gè)點(diǎn)，然后連接多邊形各個(gè)頂點(diǎn)與這個(gè)點(diǎn)，將多邊形分成若干個(gè)三角形；還有學(xué)生從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接這個(gè)頂點(diǎn)與多邊形的其他頂點(diǎn)，將多邊形分成若干個(gè)三角形，等等. 對(duì)于學(xué)生的不同創(chuàng)造，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，并引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)、創(chuàng)造多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式. 當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管探究方式、探究方法不同，但都能建構(gòu)出多邊形的內(nèi)角和公式之后，他們會(huì)對(duì)“多邊形的內(nèi)角和公式”本身進(jìn)行審視. 如有學(xué)生問(wèn)“多邊形可分成的三角形的個(gè)數(shù)為什么會(huì)比邊數(shù)少2”，這樣的問(wèn)題能引導(dǎo)學(xué)生深入研究構(gòu)成三角形的邊，從而發(fā)現(xiàn)“從頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊沒(méi)能構(gòu)成三角形”. 有了這樣的深入思考，學(xué)生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)就有了更為深刻的認(rèn)識(shí). 在此基礎(chǔ)上，有學(xué)生還提出了“多邊形的外角和是多少”這一問(wèn)題，從而引導(dǎo)他們進(jìn)一步探究，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)引向深度、廣度. 在探究的過(guò)程中，學(xué)生給出了許多方法. 在這個(gè)過(guò)程中，每一個(gè)學(xué)生都親身經(jīng)歷、體驗(yàn)，并積極思考、對(duì)話，以自己的方式展開(kāi)探索.

引導(dǎo)學(xué)生探究多邊形的內(nèi)角和之后，筆者讓學(xué)生現(xiàn)身說(shuō)法：“你是怎樣想到將多邊形分割成若干個(gè)三角形的？”“你是怎樣想到用多邊形的內(nèi)角和來(lái)推理多邊形的外角和的？”這樣靈感追蹤的方式，能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生靈感的必然性，將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法融入其中. 如有學(xué)生說(shuō)，“我們?cè)谵D(zhuǎn)化的過(guò)程中，就應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)將未知轉(zhuǎn)化為已知”“我們?cè)谵D(zhuǎn)化的時(shí)候應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉”，等等. 正是在靈感的追蹤中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法有了更深刻的感受與體驗(yàn).

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是一個(gè)由淺入深、由易到難的過(guò)程. 引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，就是要幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中“用數(shù)學(xué)的眼光去觀察”“用數(shù)學(xué)的思維去思考”“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)”. 教師不僅僅要找準(zhǔn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起點(diǎn)，更要確定學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，注重學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn). 教師要讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)展現(xiàn)生命主體的力量，要給學(xué)生營(yíng)造自由開(kāi)放的對(duì)話、活動(dòng)時(shí)空，突出學(xué)習(xí)力提升和核心素養(yǎng)導(dǎo)向. 教師要做一個(gè)有心人，展開(kāi)積極的學(xué)情調(diào)查；要做一個(gè)細(xì)心人，善于在教學(xué)中捕捉、發(fā)現(xiàn)；要做一個(gè)留心人，善于根據(jù)相關(guān)的練習(xí)進(jìn)行反饋等. 只有引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)富有活力的思考、探究，才能讓相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知思維，勾連成學(xué)生的認(rèn)知思維結(jié)構(gòu). 深度教學(xué)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具適切性、針對(duì)性，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更真實(shí)、更豐實(shí)、更扎實(shí).

參考文獻(xiàn)：

［1］史寧中. 注重“過(guò)程”中的教育——《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂的若干思考［J］. 人民教育，2012（07）：32-37.

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［3］張奠宙，竺仕芬，林永偉. “基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”的界定與分類［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2008，47（05）：4-7.