趙徐敏

［摘? 要］ “用尺規(guī)作角”是一節(jié)頗有趣味性和挑戰(zhàn)性的探究課. 文章旨在基于學(xué)生理解找準(zhǔn)教學(xué)起點，設(shè)計量身打造的探究路徑，并在逐步優(yōu)化中獲得作圖方法，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和探究能力，培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)化意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 用尺規(guī)作角；前置性學(xué)習(xí)；優(yōu)化策略；數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

問題提出

“用尺規(guī)作角”是一節(jié)頗有趣味性和挑戰(zhàn)性的探究課，很多教師都做出過富有創(chuàng)造性的教學(xué)嘗試. 藍海鵬老師在文章《尺規(guī)作角原理的探究活動與思考》［1］中給出了三種探究方案（如圖1所示）：（1）借助量角器量角、畫角探究“弧上取點”，即引導(dǎo)學(xué)生從“一般量角器量角、畫角—極簡量角器量角、畫角”的探究遷移到用尺規(guī)作角的探索. （2）借助角的概念探究“圓上取點”，即利用角的兩種定義（靜態(tài)與動態(tài)）引導(dǎo)學(xué)生得到確定D′點的兩個條件，從而獲得用尺規(guī)作角的原理和方法. （3）借助等角重合原理探究“三角形取點”，即利用木棒擺角活動將兩角相等問題轉(zhuǎn)化為兩個三角形重合（全等）問題，從而掌握用尺規(guī)作角的方法.

在上述三種探究方案中，不少公開課展示的是第一種，筆者備課時也偏向于此. 但學(xué)生的真實想法是怎樣的呢？他們在課前的前置性學(xué)習(xí)任務(wù)單中提出的設(shè)想給了筆者一些新的啟示，在此基礎(chǔ)上筆者修改了原來的教學(xué)設(shè)計. 現(xiàn)將這節(jié)課呈現(xiàn)出來，與讀者共享.

內(nèi)容與目標(biāo)

“用尺規(guī)作角”是北師大版七年級下冊第二章“相交線與平行線”第4節(jié)的內(nèi)容，位于“相交線與平行線”之后、“三角形全等的判定條件”之前. 本節(jié)課主要探索用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法，使學(xué)生在初步掌握尺規(guī)的用法和用途的基礎(chǔ)上，進一步用尺規(guī)作更復(fù)雜的圖形. 用尺規(guī)作角需要學(xué)生聯(lián)系“線線相交得到點”的思維確定角的另一邊，體會確定性思想，感受用尺規(guī)作圖的價值. 本節(jié)課為學(xué)生在本冊第四章中學(xué)習(xí)判定兩個三角形全等的基本事實（“SAS”“ASA”），運用尺規(guī)“過一點作已知直線的垂線”“過直線外一點作已知直線的平行線”等內(nèi)容起著基礎(chǔ)性作用.

基于上述分析可獲得如下教學(xué)目標(biāo).

（1）經(jīng)歷用尺規(guī)作一個角等于已知角的探究過程，掌握用尺規(guī)作角的方法，感悟確定性思想，體會用尺規(guī)作圖的價值.

（2）優(yōu)化用尺規(guī)作角的步驟，體會優(yōu)化策略的重要性，積累優(yōu)化策略的意識.

前置性學(xué)習(xí)任務(wù)

交給學(xué)生的前置性學(xué)習(xí)任務(wù)是讓學(xué)生思考并嘗試解決下列問題.

問題1：回顧用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的方法，并思考這對你解決問題2有什么啟示.

問題2：請嘗試用尺規(guī)作一個角等于∠AOB（如圖2所示），并說一說每一步的理由.

在查閱學(xué)生所完成的前置性學(xué)習(xí)任務(wù)單時，當(dāng)看到一位學(xué)生在圖形中畫的線段CD（如圖3所示）時，筆者在他的任務(wù)單上打了個“？”，猜想他是否運用了“SSS”（判定兩個三角形全等的方法）來作角，畢竟個別學(xué)生提前了解第四章的知識也是很有可能的. 但是當(dāng)看到越來越多的學(xué)生作圖的第一步都是這樣的，筆者意識到需要了解學(xué)生的真實想法. 通過與學(xué)生交流，筆者推翻了自己原來的判斷. 他們認為，要畫出一個角等于已知角，需要讓這兩個角的“張口”一樣大，而直尺能夠畫線段、圓規(guī)能夠“量”線段，于是想到將角的“張口”大小轉(zhuǎn)化成線段CD的長短. 也就是說，學(xué)生作圖時設(shè)想的是將“作角”轉(zhuǎn)化為“作線段”. 這是一個富有創(chuàng)造性的想法. 事實上，這就是“作一個角等于已知角”的基本策略. 由此筆者意識到，學(xué)生最先考慮的是用尺規(guī)作“三弧兩線”中的最后一條弧，并非如上述方案一那樣按順序作三條弧. “有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一”［2］，只有基于學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的真實問題才能真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生深度思考. 基于對學(xué)生思維的了解，在本節(jié)課中，筆者以“確定線段CD”為教學(xué)起點，組織學(xué)生深入探究本節(jié)課的內(nèi)容.

課堂教學(xué)簡錄

1. 提出問題

問題1? 如何用尺規(guī)作一個角等于∠AOB（如圖2所示）？

在運用“前置性學(xué)習(xí)任務(wù)單的問題1”引導(dǎo)學(xué)生回顧“用尺規(guī)作一條線段等于已知線段”的基本步驟的基礎(chǔ)上，歸納獲得兩點啟示：（1）先畫一條射線，則“用尺規(guī)作一條線段等于已知線段”的要求最終簡化為確定線段的另一個端點，蘊含了簡化思想. （2）確定一個點的位置需要兩條線，依據(jù)的是“線線相交得到點”，蘊含了確定性思想.

追問：用尺規(guī)作一個角等于已知角，歸根結(jié)底，是要用尺規(guī)確定什么？

通過思考，學(xué)生得到基本作圖思路：先畫一條射線（角的始邊），根據(jù)“兩點確定一條直線”，將角的終邊的確定簡化為終邊上的第二個點的確定.

2. 引導(dǎo)探究

問題2? 你是如何確定終邊上的第二個點的？

學(xué)生甲提出，需要把代表角的“張口”大小的線段CD復(fù)制到所求作的角上的相同位置C′D′.他在射線OA上隨便找一點D，在射線OB上隨便找一點C，連接CD（如圖3所示），然后通過目測在O′A′上找到差不多的位置固定圓心D′，以CD的長為半徑畫弧，再通過目測在弧上找到點C′（如圖4所示）.

其他學(xué)生指出學(xué)生甲作圖的問題：圓心D′的位置不精確，就無法保證能在所求作的角上的相同位置找到C′D′. 如果點D′靠近點O′，畫出來的角可能就會大一些（如圖5所示）；如果點D′遠離點O′，畫出來的角可能就會小一些（如圖6所示）.

教師點撥：學(xué)生甲通過確定線段的長度來確定角的大小，并希望在兩個角上的相同位置作出C′D′=CD. 但他的操作只能實現(xiàn)C′D′=CD，而它們的位置無法確定.

問題3? 為何在兩個角上的相同位置作出C′D′=CD就表示兩個角相等呢？

學(xué)生聯(lián)想到七年級上冊用疊合法比較角的大小的方法，發(fā)現(xiàn)讓兩個角的頂點對齊，在相同位置上的代表“張口”大小的線段CD和C′D′如果完全重合，那么角的兩條邊就完全重合，也就說明這兩個角重合，從而得到這兩個角的大小相等.

教師點撥：如果兩個角相等，那么就意味著這兩個角完全重合，因此學(xué)生甲的作圖愿望是可以理解并且是正確的.

教學(xué)思考? 問題2讓學(xué)生分享前置性學(xué)習(xí)任務(wù)中的設(shè)想，并引導(dǎo)其他同學(xué)思考學(xué)生甲的設(shè)想與實際操作之間的不一致，進而明晰線段CD和C′D′的位置和大小必須同時滿足要求的必要性和合理性. 課堂以此設(shè)想為探究起點，為后面的探究路徑提供了思考方向.

問題4? 如何實現(xiàn)線段C′D′和線段CD在兩個角上的位置相同呢？

學(xué)生乙認為，確定線段的位置就是確定線段的兩個端點的位置，也就是點C′和點D′的位置，它們到角的頂點O′的距離與點C和點D到角的頂點O的距離要相等. 學(xué)生丙認為，點D′的位置很好確定，它在射線O′A′上，又O′D′=OD，所以只需要以O(shè)′為圓心，OD的長為半徑畫弧，弧與射線O′A′的交點就是點D′；然后以D′為圓心，以CD的長為半徑畫弧，那么點C′就在這條弧上.

教師追問：如何確定點C′的位置呢？

根據(jù)“線線相交得到點”可知，確定點C′的位置還需要第二條弧，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這跟剛才確定點D′的位置是一樣的道理，需要讓O′C′=OC，故以O(shè)′為圓心，OC的長為半徑畫弧，與前一條弧的交點就是點C′.

教學(xué)思考? 在這個尺規(guī)作角的探究活動中，基于學(xué)生的理解得到初步作圖順序是“代表角的‘張口大小的線段CD→代表‘相同位置的點D′→代表‘相同位置的點C′”，梳理出作圖步驟是“畫線段CD→畫射線O′A′→以O(shè)′為圓心，OD的長為半徑畫弧交射線O′A′于點D′→以D′為圓心，CD的長為半徑畫弧→以O(shè)′為圓心，OC的長為半徑畫弧交前一條弧于點C′→畫射線O′C′（即射線O′B′）”. 這個作圖步驟需要畫一條線段CD、度量三次、畫三條弧、畫兩條射線（如圖7所示）. 比標(biāo)準(zhǔn)的作圖步驟要多畫一條線段和多度量兩次.

問題5? 觀察剛才的作圖步驟，我們發(fā)現(xiàn)作∠A′O′B′時，并不需要連接C′D′，那么是否可以不連接CD而同樣完成愿望呢？

學(xué)生開始認為需要用線段CD表示角的“張口”的位置和大小，但后來發(fā)現(xiàn)作圖中真正起作用的是線段CD的兩個端點C和D. 而且在進一步作圖嘗試中發(fā)現(xiàn)，作圖順序可以簡化為：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交射線OA于點D后，不改變圓規(guī)的半徑，直接到射線O′A′上畫弧即可找到點D′. 不僅少了畫線段CD這一步，還少了一次度量.確定點C的位置也是一樣的道理.

教學(xué)思考? 作圖優(yōu)化是作圖探究的進一步提升，但當(dāng)線段CD的作用在學(xué)生頭腦中如此重要時，學(xué)生很難將其省略掉，這需要教師用問題去引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)另一種更簡便的方法——對線段CD“去其形而取其用”——只需確定點C和點D的位置即可：用圓規(guī)以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與∠AOB的兩邊相交來確定點C和點D的位置. 這樣作圖只需要畫五條弧、度量一次和畫兩條射線（如圖8所示），比之前的作圖步驟優(yōu)化了一些，離標(biāo)準(zhǔn)的作圖步驟也非常近了.

追問：我們這個作圖方法、步驟是否還可以進一步優(yōu)化呢？請大家再作圖嘗試看看.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，OC和OD可以一樣長，這樣一條弧就可以直接確定點C和點D的位置，從而作圖步驟就優(yōu)化為畫三條弧、度量一次和畫兩條射線，作圖順序再進行適當(dāng)調(diào)整，最終與標(biāo)準(zhǔn)的作圖步驟的“三弧兩線”達成一致.

教學(xué)思考? 在“想得到”問題解決方法的基礎(chǔ)上，通過對作圖過程的不斷優(yōu)化，使思路更加清晰可觀，從而“想得透”問題解決方法的本質(zhì)，最終用尺規(guī)作角“做得妙”.

3. 拓展延伸

問題6? 已知∠α，∠β，用尺規(guī)作∠AOB=∠α+∠β.

教學(xué)思考? 經(jīng)歷之前的探究活動和優(yōu)化作圖活動，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)作一個角等于兩個已知角的和，不是簡單地疊加兩次作角步驟即“六弧三線”（兩個角有一條邊重合），而是在∠α和∠β所畫的弧的半徑相同的基礎(chǔ)上，可以簡化為“五弧兩線”（如圖9所示）. 學(xué)生在應(yīng)用尺規(guī)作圖中，既鞏固用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法，又積累優(yōu)化作圖方法的思維經(jīng)驗.

4. 評價反思

問題7? 經(jīng)歷本節(jié)課用尺規(guī)作角的探究，你有什么想法？

教學(xué)思考? 以問題為載體，通過對學(xué)習(xí)目標(biāo)的解析、對作圖方法的探索、對優(yōu)化過程的反思，學(xué)生基于自己的理解，概括用尺規(guī)作角的方法——確定兩要素（代表角的“張口”的線段CD的位置和大?。粚W(xué)生可從自己提出的設(shè)想中獲得成就感，從優(yōu)化策略中學(xué)會舉一反三，培養(yǎng)理性思維和科學(xué)精神.

教學(xué)思考

1. 基于學(xué)生的理解找準(zhǔn)教學(xué)起點

在日常教學(xué)中，教師容易從自己的角度和經(jīng)驗出發(fā)，確定學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)和學(xué)習(xí)起點. 但在教學(xué)中有時會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的表現(xiàn)并不符合教師的“預(yù)設(shè)”，這說明教師備課時，找準(zhǔn)教學(xué)起點并不是一件容易的事情，這需要基于學(xué)生的真實學(xué)情來作判斷. 本節(jié)課借助前置性學(xué)習(xí)任務(wù)單，初步了解學(xué)生對尺規(guī)作角的設(shè)想，并在與學(xué)生的交流中進一步了解學(xué)生這種設(shè)想的由來，知道了學(xué)生在∠AOB上畫出線段CD的真正目的，由此改變了筆者先前對學(xué)生是利用“SSS”這個三角形全等的基本事實進行尺規(guī)作角的解讀，找準(zhǔn)了教學(xué)起點. 事實證明，像這樣基于學(xué)生的理解而確定的教學(xué)起點更符合因材施教的教育理念，學(xué)生能更加積極主動地參與課堂探究活動.

2. 基于學(xué)生的理解設(shè)計探究路徑

有了探究起點，探究課還需要基于學(xué)生的理解設(shè)計探究路徑. 根據(jù)學(xué)生提出的設(shè)想和愿望——在求作的角上的相同位置作出與CD等長的線段，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)暫時無法達成“相同位置”這個目標(biāo)，于是將其分解為幾個小目標(biāo)，并依據(jù)確定性思想和尺規(guī)工具使用的規(guī)則，一步步實現(xiàn)確定位置的愿望. 接著通過調(diào)整操作順序和步驟，優(yōu)化作圖過程，最終達成了“標(biāo)準(zhǔn)”的用尺規(guī)作角的目的. 這個探究過程是在學(xué)生已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上量身打造的，以目標(biāo)為導(dǎo)向，以問題鏈的方式引向深度思考，用逆向推理的方式找到實現(xiàn)愿望的路徑. 而最后的優(yōu)化策略則鼓勵學(xué)生進一步改進和完善自己的探究成果，讓學(xué)生識得用尺規(guī)作角的真面目，眼前豁然開朗的同時，思維清晰且更有深度.

參考文獻：

［1］藍海鵬. 尺規(guī)作角原理的探究活動與思考［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（23）：32-35.

［2］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.