葉秋吟　薛源　曾文駿　楊靜　饒敏

摘要： 基于龍門山斷裂帶2012年1月—2021年9月MS2.5及以上地震目錄數據，按震級分組建立發(fā)震時刻間隔序列，然后對各序列進行平穩(wěn)白噪聲檢驗，自相關、偏相關性分析，使用SARIMA模型對其進行短、中、長周期擬合及預測。通過分析模型擬合效果，得到不同震級序列的最優(yōu)模型參數及相應周期數值。其中，序列MS≥2.5及序列MS≥3.0各模型調整R2均在0.86以上，最高達0.911;兩序列對應模型的短時預測表現良好，預測RMSE分別為10.686及8.800。模型預測結果表明，龍門山斷裂帶后續(xù)發(fā)震時刻間隔總體趨勢平穩(wěn)，序列MS≥3.0預測結果趨勢有微弱增長，一段時間內龍門山斷裂帶MS≥3.0地震發(fā)震次數將略微下降，地震活動性降低。該分析結果可為地震活動研究工作提供科學依據，其分析方法及過程為地震發(fā)震時間的分析預測提供了有效可行的途徑。

關鍵詞： 龍門山斷裂帶; 發(fā)震時刻間隔; SARIMA模型; 時間序列分析

中圖分類號： P315;O21文獻標志碼：A 文章編號： 1000－0844（2023）04-0991-10

DOI：10.20000/j.1000－0844.20220421002

Analysis and prediction of the occurrence time interval of earthquakes along the Longmenshan fault zone using the SARIMA model

YE QiuyinXUE YuanZENG WenjunYANG JingRAO Min1，2

Abstract：? Different sequences of earthquake occurrence time intervals were first established in accordance with the magnitude based on the catalog data of MS≥2.5 earthquakes along the Longmenshan fault zone from January 2012 to September 2021. Testing of stationary white noise and the analysis of autocorrelation and partial correlation were then conducted， and short－， medium－， and long－period fitting and prediction were performed for each sequence by using the SARIMA model. Finally， the optimal model parameters and corresponding period values of different magnitude sequences were obtained by analyzing the model fitting effect. Among them， the model－adjusted R2of MS≥2.5 and MS≥3.0 sequences are more than 0.86， with a maximum value of 0.911; the short－term prediction effects of corresponding models are good and the values of predicted RMSE are 10.686 and 8.800， respectively. The prediction results of the models show that the overall trend of the occurrence time interval of subsequent earthquakes along the Longmenshan fault zone is stable. The trend of the MS≥3.0 sequence shows a slight increase; that is， the number of MS≥3.0 earthquakes along the Longmenshan fault zone will decrease slightly in a given time period， and the seismicity will decrease. Analysis results can provide a scientific basis for the study of seismic activity， and the analysis method and process can introduce an effective and feasible way for the analysis and prediction of earthquake occurrence times.

Keywords： Longmenshan fault zone; occurrence time interval; SARIMA model; time series analysis

0 引言

龍門山斷裂帶位于青藏高原東緣、四川盆地西北邊緣，以北東－南西向展布，北端抵達秦嶺斷裂帶，南端止于鮮水河—小江斷裂帶，長約500 km，寬約50 km，主要由后山斷裂、中央斷裂、前山斷裂和山前隱伏斷裂4條主干斷裂及其控制的逆沖推覆體組成［1－2］。該斷裂帶范圍內分布有都江堰等數十個重要城鎮(zhèn)，主山前邊界大斷裂東南方向靠近人口密集的成都平原地區(qū)及雙城經濟圈，地理位置特殊。探究龍門山斷裂帶的發(fā)震時間規(guī)律，有助于為該斷裂帶地震活動波及地區(qū)的地震預測工作提供科學的地震管理決策依據。

如今地震研究是跨學科的綜合性領域，對于地震時間序列數據，很多研究者利用統(tǒng)計、概率的方法和模型對地震發(fā)生時間、位置及危險性等重要信息進行預測。部分學者著眼于對震級時間序列進行探究［3－4］，如和宏偉［3］利用門限自回歸等統(tǒng)計方法處理震級序列。另外也不乏對發(fā)震時刻間隔序列的研究，其中多為分析地震時間間隔的概率分布，如王璇［5］，Sadeghian［6］，Liu［7］，Khan等［8］及Sil等［9］將其與統(tǒng)計學中的分布相比較。也有對時間間隔開展預測研究工作，如郭安寧等［10］利用倍周期疊加黃金分割法對西北地區(qū)的MS8.0地震進行的驗證性預測，并發(fā)現有很好的吻合性。Mariani等［11］提出將獨立O－Uh過程疊加的隨機微分方程應用于地震研究中，并用該模型擬合了南美MS8.0以下的地震序列。此外，還有學者拓展預測途徑，如陳翰林等［12］，游佳等［13］，朱海寧［14］及Asencio－Cortes等［15］運用SVM、LSTM及回歸算法對地震時間進行預測。季節(jié)性自回歸綜合移動平均（Seasonal Autoregressive Moving Average，SARMA）模型既能用于預測自然現象如降雨量［16－17］、河流流量［18］等，也可以對社會經濟現象如交通運輸客流量、貿易量等方面進行預測，如學者于琛等［19］，易靖韜等［20］，孫越等［21］及Milenkovic等［22］所做研究。在地震預測領域，有學者如張繼艷等［23］，李磊等［24］及Saqib等［25］運用求和自回歸移動平均（Autoregressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型對地震前兆異常進行識別，通過探測震前電離層異常預報地震。但鮮有將ARIMA或季節(jié)求和自回歸移動平均（Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average，SARIMA）模型用以擬合發(fā)震時刻的數據。

本文選取中國四川地區(qū)龍門山斷裂帶2012年至2021年9月的地震事件作為研究對象，從發(fā)震時刻間隔的角度，利用SARIMA模型分別按震級對序列進行擬合，以此預測發(fā)震時刻間隔的發(fā)展趨勢及下一次發(fā)震的時間。

1 SARIMA模型

1.1 模型理論

ARIMA模型于20世紀70年代被Box及Jenkins首次提出，全稱為差分自回歸移動平均模型，記作ARIMA（p，d，q），其中p和q分別表示自回歸和移動平均階數;d為趨勢差分階數，基本模型結構為：

ARIMA模型可對無季節(jié)效應的非平穩(wěn)時間序列建模，而現實生活中很多時間序列存在著一定周期性，對于既含季節(jié)效應又含長期趨勢效應且兩者存在復雜交互影響關系的序列，可采用SARIMA模型。SARIMA模型又稱乘積季節(jié)模型，最初由Wang等［27］提出通用表達式，記為ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）s，其中P和Q分別為季節(jié)性自回歸和季節(jié)性移動平均階數;D為季節(jié)差分的階數;s為季節(jié)周期數。作為ARIMA模型的擴展，該模型在原模型基礎上對序列進行了季節(jié)差分提取季節(jié)效應信息，以達到對季節(jié)性時間序列建模的目的。

1.2 預測模型構建

針對小樣本數據的預測，傳統(tǒng)時間序列預測模型可以較充分地提取數據所含信息，同時也不易出現過擬合致使預測結果不理想的情況。本文在分析數據結構和特點后，選擇利用SARIMA模型對地震時間序列進行建模。作為傳統(tǒng)統(tǒng)計預測模型，SARIMA模型對小樣本數據的擬合程度較好、預測精度高、訓練速度快且能夠能較準確反映數據動態(tài)變化，在捕捉序列長期趨勢變化的同時提取其周期性波動的信息［16］。

對按震級分組后的序列進行差分，得到發(fā)震時刻間隔序列，得到不同參數的SARIMA模型：模型擬合值序列 Y′t及預測值序列Yt，并以此估計下一次發(fā)震時刻。預測時選取了建模效果最好的長中短周期，表示為sa、sb、sc，以保證模型對短期與長期時序信息的有效提取，提高各期預測的精度。模型分析流程圖如下：

2 龍門山斷裂帶發(fā)震時間間隔研究

2.1 數據與樣本

本文采用2012年1月9日—2021年9月24日中國地震臺網（http：//www.ceic.ac.cn）地震目錄數據。地震事件序列有發(fā)震時間、經緯度、震級等因素，具有波動性、非線性的特點，因此通過數據預處理將其確定為特定空間和一定震級下的數據，即龍門山斷裂帶經緯度范圍內（29.5°～33.5°N，102°～107°E） MS2.4及以上的時間序列。對數據進一步篩選，考慮其發(fā)震斷裂位置得實驗樣本數據437條，發(fā)震時刻2012 年1月9日—2021年8月，MS∈（2.5，7）。

對選出樣本的發(fā)震時刻差分處理得發(fā)震時刻間隔序列，該樣本具有如下特征：（1）樣本量相對較小。由于設備和技術等原因，早期監(jiān)測數據不夠完備，由此計算時間間隔數值準確性將顯著降低，因此選取近10年地震序列，有效避免該問題，但同時也減少了數據量;（2）時間跨度大。數據時間從2012年1月—2021年8月，包含龍門山斷裂帶近10年間地震事件;（3）非平穩(wěn)、強波動性。數據的影響因素較多且可能有復雜交互影響，且地震序列本身就有復雜的周期性特點。

另外，序列中記錄的第58次發(fā)震為2013年雅安蘆山MS7.0大地震，隨后伴有非常緊密的、大小不一的數次余震，由此造成監(jiān)測數據中第58次至203次發(fā)震前后時間間隔短，一段時間內序列趨近零值。以Xt表示原序列，序列如圖2所示。

2.2 模型確定

分析數據所含特征，對序列分解，提取其趨勢性、季節(jié)性及殘差序列如圖3所示，表明該序列有一定趨勢性和季節(jié)性，初步推測最小周期為5天。

SARIMA模型需要序列滿足平穩(wěn)或差分后平穩(wěn)的前提條件。對Xt進行平穩(wěn)性檢驗，確定差分次數d=2，差分后序列記為Xd。觀察Xd序列圖（圖4），該序列似乎不具有明顯趨勢性。進一步采用ADF檢驗進行判斷，檢驗原理即通過考察序列中是否含有單位根來判斷該序列是否平穩(wěn)：若序列平穩(wěn)，則不存在單位根。結果得Xd的ADF檢驗統(tǒng)計量為-15.463 4，p值小于0.05，表明該序列已平穩(wěn)。

按9∶1劃分Xd數據為模型訓練集、測試集，依據數據的ACF和PACF為模型定階。ACF用于衡量該序列的當前觀測值與其滯后項間相關程度;PACF用于衡量除去之前滯后已解釋的影響后，當前觀測值與其滯后項間相關程度?？疾靸烧叩慕匚病⑼衔残再|，可對 SARIMA模型季節(jié)性及非季節(jié)性的自相關、偏自相關階數給出參考。由圖5中ACF及PACF圖初步確定模型非季節(jié)性階數。PACF圖可看做拖尾或9、10階截尾。

結合模型調整的R2選擇模型最優(yōu)階數，不同階ARIMA模型擬合效果如表1所列，確定模型p=9，q=1。

再考察對Xd進行1階s步差分后，滯后對應周期整數倍階的ACF及PACF。以s=22為例，如圖6，滯后22階的ACF及PACF系數均在2倍標準差范圍外，且隨后逐漸收斂。初步假設P=1，Q=1，其他周期情況大致相同。進一步對該假設模型進行參數檢驗和LB檢驗。參數檢驗用于檢驗模型是否成立，即模型所有參數是否均顯著不為0;LB檢驗則用于檢驗模型擬合后的殘差序列是否為白噪聲序列，若為白噪聲（p≥0.05），則表示殘差序列中無更多可提取信息，即模型已充分提取原數據蘊含的信息。

檢驗結果如表2所列，模型中含不顯著參數（1階季節(jié)自回歸系數）。經比較，確定模型最佳季節(jié)性階數P=0，Q=1。

2.3 模型評價

研究所用地震序列有大小周期復雜交疊的情況，在分析數據周期性時，針對短、中、長期的預測各選取不同季節(jié)期數。對序列Xd做不同跨度的中心移動平均，所得序列記為Xn，n∈（4，45）為跨度。比較各Xn與Xd的差異，觀察各周期對季節(jié)性消除程度，擬合s∈（4，45）的模型。為了更好地比較不同模型間預測效果，本文采用常見評價指標中的均方根誤差（RMSE）來代表模型的擬合誤差：

（3）

式中：xt為真實值;yt為擬合值。對于通過參數檢驗和LB檢驗的模型，可分析其調整R2及擬合RMSE來判定其擬合效果。AIC準則（最小信息化準則）也常用于衡量統(tǒng)計模型復雜度及擬合優(yōu)良性，在鼓勵數據擬合的優(yōu)良性的同時盡量避免過度擬合，其AIC值越小表明模型在該準則下性能越優(yōu)。本文模型選取的原則為：優(yōu)先采用調整R2數值高的模型，在該值差距不顯著的情況下，考察各模型擬合RMSE，同時以模型AIC值作為輔助參考，確定最優(yōu)模型。表3提供了部分已通過參數檢驗及LB檢驗的不同周期模型擬合情況。

由此可以確定地震數據短、中、長期預測模型分別為ARIMA（9，2，1）×（0，1，1）6，ARIMA（9，2，1） ×（0，1，1）22，ARIMA（9，2，1）×（0，1，1）42，模型擬合效果如圖7所示。

3 震級分組

對原序列按震級分組，得序列MS≥3.0共390條數據，序列MS≥4.0共58條數據。對其差分后得時刻間隔序列，兩序列分別以Xd3、Xd4表示。按上述步驟對各序列進行分析建模，考慮對Xd3擬合模型ARIMA（7，2，1）×（0，1，1）s，對Xd4擬合模型ARIMA（3，2，1）×（0，1，0）s。各組部分不同周期的模型對比如表4及表5所列。

按上述原則，綜合各模型指標，確定以s=7，s=16，s=32對Xd3進行短、中及長期預測，預測模型為ARIMA（7，2，1）×（0，1，1）7，ARIMA（7，2，1）×（0，1，1）16，ARIMA（7，2，1）×（0，1，1）32。對于Xd4，由于MS4.0及以上地震序列數據量較少，難以捕捉長周期變化趨勢，相應的長周期模型均參數不顯著或擬合效果不佳;同時，短周期模型擬合效果亦較差，序列Xd4僅表現出較明顯的中周期性質。因此以s=11對Xd4進行中期預測，預測模型為ARIMA（3，2，0）×（0，1，0）11。各序列不同周期擬合效果如圖8、圖9所示。

利用最優(yōu)模型預測各序列測試集數據，將預測結果與真實值對比，如圖10、11所示。對于Xd及Xd3，其測試集中數據較多，屬于長時預測，對應模型能捕捉其周期性變化，但預測值整體較真實值偏高;對Xd4進行短時預測，ARIMA（3，2，0）×（0，1，0）11能很好地預測近幾期該序列發(fā)展趨勢，且未表現出預測結果偏高的現象。各模型預測RMSE如表6所列。

進一步計算序列Xd及Xd3真實值及預測值的平均水平，兩序列對應各周期模型的平均誤差最低

為17.578天，最高為32.967天，參考目前發(fā)震時刻預測的普遍準確度，認為預測值平均水平的偏高程度在能接受的范圍內。修正序列的預測值，對序列Xd及Xd3模型預測進行修正，以序列Xd周期為22及Xd3周期為32對應模型為例，預測值減去對應平均誤差后效果如圖12，表明模型趨勢及周期性預測性能較好。

由于序列Xd和Xd3的預測步長大于40，可能會降低預測精度，因此我們考慮對序列Xd進行15步預測，對數據量相對較小的序列Xd3進行5步預測。選取上述兩模型為例，預測結果如圖13所示，預測RMSE分別為10.686 0、8.800 9。圖中序列Xd所預測發(fā)震間隔無明顯趨勢，而Xd3的預測序列則稍有增長趨勢。

補充截止2022年3月6日龍門山斷裂帶MS≥4.0的地震序列新增數據共2條于數據集中，利用ARIMA（3，2，0）×（0，1，0）11模型對最近發(fā)生MS≥4.0的地震時刻間隔進行外推預測。對比預測值與真實值，如圖14所示。該模型對最新數據的預測RSME為55.711 2，發(fā)現其仍很好地捕捉到其趨勢，可在此基礎上對模型精度繼續(xù)改進。

4 結論

本文提出以分析龍門山斷裂帶發(fā)震時刻間隔的角度，通過時間序列分析方法，利用SARIMA模型對數據進行建模，分析地震時間序列隱含的信息，并由此預測下一次的發(fā)震時間。通過對模型擬合度及擬合效果的分析，為該時刻間隔序列選取適合的模型，并針對不同周期預測的需求，選擇適合的模型。根據結果，有以下幾點結論：

（1）SARIMA模型適用于地震時間間隔序列的分析預測，各序列最優(yōu)模型調整R2均在0.86以上，最高達0.911。

（2）長時預測時，序列Xd及Xd3對應各周期模型均有預測值較真實值偏高的情況，對偏低數值（時間間隔趨近0）的預測性能較為欠缺。

（3）短時預測時，序列Xd及Xd3最優(yōu)模型預測效果均良好，能較好預測出序列周期性。序列MS≥3.0預測結果趨勢有微弱增長，一段時間內龍門山斷裂帶MS≥3.0地震發(fā)震次數將略微下降，地震活動性降低;序列Xd4中周期性質較明顯，對應模型在短時預測中能很好地捕捉其發(fā)展變化，預測趨勢與真實情況貼合，模型預測精度可進一步提升。

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（本文編輯：賈源源）

收稿日期：2022-04-21

基金項目：四川省科技計劃項目《四川地區(qū)主要斷裂系統(tǒng)地震活動性統(tǒng)計預測與技術應用研究》

第一作者簡介：葉秋吟（1999-），女，碩士研究生，主要從事應用統(tǒng)計、數學方法應用、地學數據統(tǒng)計方面研究。E－mail：352299099@qq.com。