宋思思

一、選擇題

1. 已知集合[A=xx2-x-2<0]，[B=x2x-1>0]，則[A?B=]（? ? ?）

2. 設(shè)復(fù)數(shù)[z]滿足[z-1=z-i]（[i]為虛數(shù)單位），[z]在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（[x]，[y]），則（? ? ?）

A. [y=-x] B. [y=x]

C. [x-12+y-12=1] D. [x+12+y+12=1]

3. 若執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，則輸出[i]的值為（? ? ?）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，則a3=（? ? ?）

5.青春因奉獻(xiàn)而美麗，為了學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，為教育均衡發(fā)展不懈奮斗，現(xiàn)有5名師范大學(xué)畢業(yè)生主動(dòng)要求赴西部某地區(qū)甲、乙、丙三個(gè)不同的學(xué)校去支教，每個(gè)學(xué)校至少去1人，則恰好有2名大學(xué)生分配去甲學(xué)校的概率為（? ? ?）

8.正三棱錐的三視圖如圖2所示，則該正三棱錐的表面積為（? ? ?）

A. [a>b>c]? ? ? B. [a>c>b]? ? ? C. [b>a>c]? ? ? D. [c>b>a]

二、填空題

13.已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)[（4，1）]，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.

14.已知三棱錐[A-BCD]的棱長(zhǎng)均為6，其內(nèi)有[n]個(gè)小球，球[O1]與三棱錐[A-BCD]的四個(gè)面都相切，球[O2]與三棱錐[A-BCD]的三個(gè)面和球[O1]都相切，如此類推，……，球[On]與三棱錐[A-BCD]的三個(gè)面和球[On-1]都相切（[n≥2]，且[n∈N?]），則球[O1]的體積等于__________，球[On]的表面積等于__________.

三、解答題

16.“大湖名城，創(chuàng)新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風(fēng)光秀美，成為中小學(xué)生“研學(xué)游”的理想之地.為了將來(lái)更好地推進(jìn)“研學(xué)游”項(xiàng)目，某旅游學(xué)校一位實(shí)習(xí)生，在某旅行社實(shí)習(xí)期間，把“研學(xué)游”項(xiàng)目分為科技體驗(yàn)游、民俗人文游、自然風(fēng)光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學(xué)生“研學(xué)游”學(xué)校中，隨機(jī)抽取了100所學(xué)校，統(tǒng)計(jì)如下：

該實(shí)習(xí)生在明年省內(nèi)有意向組織高一“研學(xué)游”學(xué)校中，隨機(jī)抽取了3所學(xué)校，并以統(tǒng)計(jì)的頻率代替學(xué)校選擇研學(xué)游類型的概率（假設(shè)每所學(xué)校在選擇研學(xué)游類型時(shí)僅選擇其中一類，且不受其他學(xué)校選擇結(jié)果的影響）：

（1）若這3所學(xué)校選擇的研學(xué)游類型是“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”，求這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率；

（2）設(shè)這3所學(xué)校中選擇“科技體驗(yàn)游”學(xué)校數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

17.如圖3，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，L分別為棱A1D1，C1D1，BC的中點(diǎn).

（1）求證：AC⊥QL；

（2）求點(diǎn)A到平面PQL的距離.

18.已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P是拋物線Γ上

（1）求拋物線Γ的方程；

（2）已知經(jīng)過點(diǎn)A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點(diǎn)，經(jīng)過定點(diǎn)B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點(diǎn)L，問直線NL是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說明理由.

（1）若[k=1]，求[fx]的單調(diào)區(qū)間；

（2）若[fx]存在三個(gè)極值點(diǎn)[x1，x2，x3]，且[x12x2].

（1）求曲線C1的一般方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)P在曲線C1上，點(diǎn)Q曲線C2上，求|PQ|的最小值.

參考答案與解析

一、選擇題

1. 【答案】A

∴[A?B={x|x>-1}].故選A.

2. 【答案】B

【解析】設(shè)[z=x+yi（x，y∈R）]，

∵[z-1=z-i]，∴[x+yi-1=x+yi-i]，

即[（x-1）2+y2=x2+（y-1）2]，化簡(jiǎn)得[y=x].故選B.

3. 【答案】B

【解析】第一次循環(huán)：[x=8，y=2]，滿足[x>y]，繼續(xù)循環(huán);

第二次循環(huán)：[i=1，x=16，y=6]，滿足[x>y]，繼續(xù)循環(huán);

第三次循環(huán)：[i=2，x=32，y=22，]滿足[x>y]，繼續(xù)循環(huán);

第四次循環(huán)：[i=3，x=64，y=86]，不滿足[x>y]，跳出循環(huán)，輸出[i=3].故選B.

4.【答案】B

7.【答案】C

【解析】由于[f-x=-fx]，所以[fx]為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此排除B，D兩個(gè)選項(xiàng).

8. 【答案】A

9. 【答案】C

10.【答案】B

二、填空題

12. 【答案】[-9]

【解析】畫出可行域如圖5所示，平移基準(zhǔn)直線[2x+y=0]到可行域邊界點(diǎn)[A-3，-3]位置，此時(shí)[z]取得最小值為[2×-3-3=-9].

【解析】雙曲線漸近線為[x±2y=0]，則設(shè)雙曲線方程為：[x2-4y2=λ]，代入點(diǎn)[（4，1）]，則[λ=12].

三、解答題

可得[X]的分布列為

17. 【解析】（1）作[QM⊥CD]于[M]，易知[M]為[CD]中點(diǎn)，[L]為[BC]中點(diǎn)，故[AC⊥ML].[QM⊥CD]，

故[QM⊥]平面[ABCD]，[AC?]平面[ABCD]，

故[QM⊥AC]. [QM?ML=M]，

故[AC⊥]平面[QML]，[QL?]平面[QML]，

故[AC⊥QL].

解得p=2，所以拋物線的方程為：y2=4x；

（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），

則y12=4x1，y22=4x2，

[∴fx=ex- xx-1].

令[hx=ex-x，h'x=ex-1]，

[h'x>0]得[x>0]，由[h'x<0]得[x<0]，

[∴][hx]在[（-∞，0）]上遞減，在[（0，+∞）]上遞增.

[∴hx≥h0=1>0]即[ex-x>0]，

[∴]解[fx>0]得[x>1]，解[f'x<0]得[x<1]，

[∴fx]的單調(diào)減區(qū)間為[（-∞，1）]，單調(diào)增區(qū)間為[（1，+∞）].

（2）[fx=exx-2+ex-kx2+kx=ex-kxx-1]，

[∵fx]有三個(gè)極值點(diǎn)，

[∴]方程[ex-kx=0]有兩個(gè)不等根，且都不是[1]，

令[gx=ex-kx]，

當(dāng)[k≤0]時(shí)，[gx]單調(diào)遞增，[gx=0]至多有一根，

[∴k>0]，解[g'x>0]得[x>lnk]，解[g'x<0]得[x

[∴gx]在[（-∞，lnk）]上遞減，在[（lnk，+∞）]上遞增，

[∴glnk=elnk-klnk=k1-lnk<0，k>e]，

此時(shí)，[g0=1>0]，[lnk>1，g1=e-k<0]，當(dāng)[x→+∞]時(shí)[gx→+∞].

[∴當(dāng)k>e]時(shí)，[fx=0]有三個(gè)根[x1，x2，x3]，且[0

將[x=ρcosθ，y=ρsinθ]代入ρ2-4ρcosθ+3=0.

得x2+y2-4x+3=0，

整理得（x-2）2+y2=1.

（2）設(shè)點(diǎn)P（5cosθ，4sinθ）在曲線C1上，圓心O（2，0），

當(dāng)cosθ=1時(shí)，|PO|min=3，

所以|PQ|的最小值3-1=2.