薛建龍 楊洪亮

性質(zhì)1.變換前后，點、直線之間的位置關(guān)系不變.

性質(zhì)2.變換前后，直線之間的平行關(guān)系不變，對應(yīng)線段的比值不變.

相比較而言，圓的方程較為簡潔，且具有更多的性質(zhì)，這就能為我們解題提供方便.在解答解析幾何問題時，對橢圓作伸縮變換，就可以將橢圓問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，利用圓的幾何性質(zhì)和方程來求解，即可快速得到問題的答案.下面舉例說明.

則圓O為[△A'B'C']的外接圓，

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，過點F的直線l分別與橢圓C交于M，N兩點，D（4，0）.求證：直線DM，DN關(guān)于x軸對稱.

則[O'M'2=O'F'?O'D']，

所以[△O'M'F'][∽][△O'D'M'，∠O'D'M'=∠O'M'F']，

同理可得[△O'N'F'][∽][△O'D'N'，][ ∠O'D'N'=∠O'N'F']，

故[O'D']可平分[∠M'D'N']，即[D'M']，[D'N]關(guān)于x軸對稱.

解答本題，需對橢圓作伸縮變換，將問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，根據(jù)圓的等角定理和全等三角形的性質(zhì)進行求解，即可快速求得問題的答案.利用我們熟悉的圓的幾何性質(zhì)進行求解，能大大簡化計算.

由伸縮變換圖形的性質(zhì)可知，[O'A'B'C']仍為平行四邊形，

但此時OA=OC，則[O'A'B'C']為菱形，

所以[S△ABC=2SO'A'B'C']，

顯然[△O'A'B']是正三角形，

作伸縮變換，可將橢圓化為圓，但平行四邊形仍為平行四邊形.而平行四邊形[O'A'B'C']的鄰邊為圓的半徑，即可判定[O'A'B'C']為菱形，進而根據(jù)菱形的對稱性以及三角形的面積公式，求得平行四邊形OABC的面積.

由伸縮變換圖形的性質(zhì)得[kOP·kOQ=-1]，

得[O'P'⊥O'Q']，

由伸縮變換圖形的性質(zhì)可知，[P']仍為[O'D']的中點，

延長[D'O']交圓[O']于[G']，連接[G'O']，[P'E']，如圖8，

由圓的割線定理可得[D'P'?D'G'=D'E'?D'Q']，

通過伸縮變換，將橢圓化為圓，就能將復(fù)雜的橢圓問題轉(zhuǎn)化為簡單的圓的問題.這也說明了數(shù)學(xué)知識之間是有聯(lián)系的，并不是孤立的.在解題時，同學(xué)們要善于把握問題的本質(zhì)，將所學(xué)的知識融會貫通起來，進行合理的轉(zhuǎn)化.這樣就能有效地避免繁瑣的計算，達到事半功倍的效果.