周佳琦

數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中對(duì)怎樣解題進(jìn)行了深入而又細(xì)致的分析與討論，并提出在解題過(guò)程中所需要經(jīng)歷的四個(gè)階段，第一階段：理解題目，看清題目中的要求是什么；第二階段：掌握題目中所涉及的相關(guān)項(xiàng)目是如何關(guān)聯(lián)起來(lái)的，已知量與未知量之間具有什么樣的關(guān)系；第三階段：執(zhí)行所設(shè)計(jì)的方案；第四階段：回顧解題的過(guò)程并進(jìn)行檢查與討論.仔細(xì)研究可發(fā)現(xiàn)，這就是解題的四個(gè)步驟：審題——尋找解題思路——確定解題方案并實(shí)施——檢驗(yàn)解題過(guò)程.

解題的第一步是審題.我們需要仔細(xì)讀題，明確題意：

（1）弄清楚題目中給出的已知條件以及所求的目標(biāo)；

（2）確定哪些是已知量，哪些是未知量，隱含條件有哪些；

（3）判斷所給的條件充足與否；

（4）判斷題目屬于什么類(lèi)型；

（5）明確涉及了哪些知識(shí)點(diǎn)；等等.

第二步，需要在找出有用的數(shù)據(jù)和信息后，將其關(guān)聯(lián)起來(lái)，仔細(xì)分析問(wèn)題，尋找解題的思路.最重要的是確定題目中的未知量與已知量之間的關(guān)系，并將其關(guān)聯(lián)起來(lái)，可用相關(guān)的公式，引入輔助元，構(gòu)造輔助數(shù)列，用已有的知識(shí)與過(guò)去的解題經(jīng)驗(yàn)，尋找解題的思路.

第三步，確定并實(shí)施解題方案.這一步是解題的關(guān)鍵，需要對(duì)上一階段中所確定的解題思路進(jìn)行分析、整理、優(yōu)化，可畫(huà)出相應(yīng)的表格、圖象，以輔助解題.在這個(gè)過(guò)程中，需確定解題的每一個(gè)步驟，列出關(guān)系式、建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)已知條件、相關(guān)定理、公式、性質(zhì)、運(yùn)算法則進(jìn)行推理、運(yùn)算，確保推理有理有據(jù)，計(jì)算準(zhǔn)確，解題的過(guò)程簡(jiǎn)潔、有條理，答案正確.

第四步，檢查上一階段中得到的解題過(guò)程，并進(jìn)行驗(yàn)算，主要檢查：

（1）運(yùn)用到的公式、定義、性質(zhì)是否正確；

（2）運(yùn)算過(guò)程是否正確；

（3）用到的數(shù)據(jù)是否正確；

（4）圖表是否正確.若存在錯(cuò)誤，需及時(shí)改正.對(duì)于解題或證明過(guò)程相對(duì)繁雜的題目，這一步尤為重要.在該過(guò)程中，要對(duì)題目進(jìn)行反復(fù)斟酌，并對(duì)所獲得的解題過(guò)程進(jìn)行回顧，以確定得到答案的正確性.

[C. 以MN為直徑的圓與l相切]

[D. ΔOMN為等腰三角形]

分析：題目中的已知量有：

④直線[l]為拋物線C的準(zhǔn)線.

未知量有：①[ p]的取值；

②線段|MN|的長(zhǎng)度；

③以MN為直徑的圓與直線[l]的位置關(guān)系；

④[ΔOMN]的形狀；

解題思路：由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可以確定[p]的取值；由直線MN的傾斜角與圓錐曲線的定義可以確定線段|MN|的長(zhǎng)度；通過(guò)圖象可以研究以MN為直徑的圓與直線[l]的位置關(guān)系，判斷出[ΔOMN]的形狀.這樣便將未知量與已知量關(guān)聯(lián)起來(lái)了.

本題的解答過(guò)程為：

根據(jù)題設(shè)條件畫(huà)出圓錐曲線的圖象，如圖1所示.由拋物線的定義可知，焦點(diǎn)[F]的橫坐標(biāo)為1，則[p=2]，故A選項(xiàng)正確；

過(guò)點(diǎn)[M]作準(zhǔn)線[l]的垂線，交[l]于點(diǎn)[M]；過(guò)點(diǎn)[N]作準(zhǔn)線[l]的垂線，交[l]于點(diǎn)[N]；取[MN]的中點(diǎn)為[P]，過(guò)點(diǎn)[P]作準(zhǔn)線[l]的垂線，交[l]于點(diǎn)[P]，連接[MP]、[NP]，

由拋物線的定義知[|MF|=|MM|]，[|NF|=|NN|]，

所以[|MN|=|MM|+|NN|].

即[|PP|=|MP|=|PN|]，

所以以[MN]為直徑的圓與直線[l]相切，故[C]選項(xiàng)正確；

通過(guò)觀察圖象可知，[ΔOMN]不是等腰三角形，故[D]選項(xiàng)錯(cuò)誤；

所以本題的答案為[AC].

經(jīng)檢驗(yàn)，所得的結(jié)果正確.

（1）求[C]的方程；

（2）記[C]的左、右頂點(diǎn)分別為[A1，A2]，過(guò)點(diǎn)[B（-4，0）]的直線[l]與C的左支交于[M，N]兩點(diǎn)，[M]在第二象限，直線[MA1]與[NA2]交于[P]，證明：[P]在定直線上.

分析：題目中的已知量有：

①該圓錐曲線是以中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線；

④直線[l]過(guò)定點(diǎn)[B（-4，0）]；

⑤點(diǎn)[P]為直線[MA1]與[NA2]的交點(diǎn)；

未知量有：①雙曲線[C]的方程；

②點(diǎn)[P]是否在定直線上.

解題思路：通過(guò)已知的[a，e]的取值，結(jié)合雙曲線的定義，就可以確定雙曲線的方程；依題意可知，直線[l]過(guò)定點(diǎn)[（-4，0）]，可以令直線[l]為[x=ty-4].另外，結(jié)合（1）可以得出點(diǎn)[A1，A2]的坐標(biāo)，設(shè)[M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）]，就可以得出直線[MA1]與[MA1]方程，接著聯(lián)立方程，即可得解.

解答本題的過(guò)程為：

根據(jù)題設(shè)條件畫(huà)出圓錐曲線的圖象，如圖2所示.

解得[x0=-1]，所以點(diǎn)[P]在定直線[x=-1]上.

經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)[P]在定直線[x=-1]上，且滿足題意.

很多同學(xué)在解題時(shí)常常不清楚應(yīng)該如何下手，由哪個(gè)地方切入，掌握了解題的這四個(gè)步驟，就能高效、正確的完成解題.審題、尋找解題思路、確定并實(shí)施解題方案、回顧或檢查解題的過(guò)程，每一個(gè)步驟都不可或缺，并有一定的先后順序，上一個(gè)階段是下一個(gè)階段的前提，下一個(gè)階段是對(duì)上一個(gè)階段的完善.這四個(gè)步驟雖然不一定適用于所有的題目，卻能為同學(xué)們解題提供一個(gè)大致的方向，這有利于培養(yǎng)同學(xué)們良好的解題習(xí)慣，進(jìn)而提高解題的效率.