熊勇

含參不等式恒成立問題通常較為復(fù)雜，且解題的難度較大.這類問題常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識相結(jié)合，側(cè)重于考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算能力.下面以一道例題，探討一下求解含參不等式恒成立問題的思路.

例題：已知函數(shù)[f（x）=aex-1-lnx+lna]，若不等式[f（x）≥1]恒成立，求實數(shù)[a]的取值范圍.

本題涉及了指數(shù)式[ex-1]、對數(shù)式[lnx]以及參數(shù)[a]，較為復(fù)雜.我們需將不等式進(jìn)行合理的變形，構(gòu)造出新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值、圖象來解題.解答本題主要有以下三種思路.

一、分離參數(shù)

對于含參不等式恒成立問題，通常可采用分離參數(shù)法.即先將不等式中的參數(shù)和變量分離；然后將不含參數(shù)的式子構(gòu)造成函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、圖象、最值，求得函數(shù)的最值，即可確定參數(shù)的取值范圍.一般地，[a>f（x）]恒成立[?a>f（x）max]；[a≥f（x）]恒成立[?a≥f（x）max]；[a

解：對[f（x）=aex-1-lnx+lna]求導(dǎo)，

因為[a>0， x>0]，所以[f（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)[x→0]時， [f（x）→-∞]；

當(dāng)[x→+∞]時， [f′（x）→+∞].

由函數(shù)零點存在性定理可知，必存在唯一的正實數(shù)[x0]，使得[f（x0）=0]，且當(dāng)[0x0]時，[f′（x）>0]，

所以函數(shù)[f（x）]在[（0， x0）]上單調(diào)遞減，在[（x0，+∞）]上單調(diào)遞增，

可得[2lna≥0]，解得[a≥1]，

故實數(shù)[a]的取值范圍是[[1，+∞）].

二、構(gòu)造同構(gòu)式

對于含有指對數(shù)的含參不等式問題，為了簡化問題，通?？蓪⒉坏仁竭M(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使不等式左右兩邊的式子成為同?gòu)式，即可根據(jù)同構(gòu)式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造出新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性、最值、圖象求得問題的答案.

則當(dāng)[00]，當(dāng)[x>1]時，[h（x）<0]，

所以函數(shù)[h（x）]在[（0，1）]上單調(diào)遞增，在[（1，+∞）]上單調(diào)遞減，

從而可得[h（x）max=h（1）=1].

因此[a≥1]，故實數(shù)[a]的取值范圍是[[1，+∞）].

解法2.不等式[f（x）≥1]可變形為[elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx]，

即[（lna+x-1）+elna+x-1≥lnx+elnx]，

構(gòu)造函數(shù)[g（t）=t+et]，

則不等式[g（lna+x-1）≥g（lnx）]成立.

所以函數(shù)[g（t）=t+et]是增函數(shù)，

所以[lna+x-1≥lnx]，

所以[lna≥lnx-x+1]恒成立.

設(shè)函數(shù)[h（x）=lnx-x+1]，

所以當(dāng)[00]；當(dāng)[x>1]時，[h（x）<0]，

所以[h（x）]在[（0，1）]上單調(diào)遞增，在[（1，+∞）]上單調(diào)遞減，

可得[h（x）max=h（1）=0]，

從而可知[lna≥0]，解得[a≥1]，

故實數(shù)[a]的取值范圍是[[1，+∞）].

將已知不等式[f（x）≥1]變形為同構(gòu)式[elna+x-1+lnelna+x-1≥x+lnx]，即可根據(jù)同構(gòu)式的特點構(gòu)造出函數(shù)[g（t）=t+lnt]，利用函數(shù)的單調(diào)性、最值解題. 一般地，根據(jù)[ea±a≥b±lnb?ea±lnea≥b±lnb]，可構(gòu)造函數(shù)[f（x）=x±lnx]；根據(jù)[ea±a≥b±lnb?ea±a≥elnb±lnb]，可構(gòu)造函數(shù)[f（x）=ex±x].

三、尋找不等式恒成立的必要條件

對于含參不等式恒成立問題，往往可先根據(jù)一些特例，探求出已知不等式恒成立的一個必要條件（利用參數(shù)不等式表示），若經(jīng)檢驗知該必要條件也是已知不等式恒成立的充分條件，則可根據(jù)其充分必要條件建立關(guān)系式，求得參數(shù)的取值范圍. 顯然，這種解題思路具有一定的偶然性和局限性，并不適合于求解大部分的題目.

解：因為不等式[f（x）≥1]恒成立，

所以[f（1）≥1]，即[a+lna≥1]（*）.

設(shè)函數(shù)[g（a）=a+lna]，

因為[g（1）=1]，所以由（*）可得[g（a）≥g（1）].

因為函數(shù)[g（a）]是增函數(shù)，從而可得[a≥1]，

因此[a≥1]是不等式[f（x）≥1]恒成立的必要條件.

接下來證明[a≥1]也是不等式[f（x）≥1]恒成立的充分條件.

當(dāng)[a≥1]時， [f（x）=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx]（**）.

設(shè)函數(shù)[h（x）=ex-1-lnx]，

因為導(dǎo)函數(shù)[h（x）]是增函數(shù)，且[h（1）=0]，

所以函數(shù)[h（x）]在[（0，1）]上單調(diào)遞減，在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增，

從而可得[h（x）min=h（1）=1]，

由（**）可得[f（x）≥ex-1-lnx≥1]，

所以[f（x）≥1]恒成立.

綜上可知，不等式[f（x）≥1]恒成立，解得[a≥1].

故實數(shù)[a]的取值范圍是[[1，+∞）].

我們根據(jù)不等式[f（x）≥1]恒成立，尋找到特例[f（1）≥1]，得[a+lna≥1]，然后根據(jù)[g（a）=a+lna]的單調(diào)性，證明[a≥1]是不等式[f（x）≥1]恒成立的必要條件；再根據(jù)[h（x）=ex-1-lnx]的單調(diào)性，證明[a≥1]也是不等式[f（x）≥1]恒成立的充分條件，從而確定參數(shù)的取值范圍.

總之，解答含參不等式恒成立問題的思路有多種，同學(xué)們需根據(jù)恒成立不等式的結(jié)構(gòu)特征，將其進(jìn)行合理的變形、構(gòu)造，以運用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、單調(diào)性問題，利用函數(shù)思想順利求得問題的答案.