林秀華

摘要：統(tǒng)觀整個(gè)小學(xué)階段的計(jì)算教學(xué)，分?jǐn)?shù)的除法是小學(xué)計(jì)算教學(xué)的一塊高地，也是小學(xué)計(jì)算教學(xué)體系的收官之戰(zhàn)，至此，加、減、乘、除，從整數(shù)到小數(shù)，再到分?jǐn)?shù)，小學(xué)階段有理數(shù)的運(yùn)算體系基本成型，整個(gè)數(shù)學(xué)體系中的計(jì)算版圖最基本的體系搭建而成。作為搭建的最后一環(huán)的分?jǐn)?shù)除法，它承載的不僅是數(shù)的運(yùn)算體系的完整呈現(xiàn)，更是一個(gè)新的高點(diǎn)和起點(diǎn)。本文試著從各個(gè)角度出發(fā)，探究分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算教學(xué)中的細(xì)微之處，以圖在教學(xué)之時(shí)能心中存思，和學(xué)生們一起經(jīng)歷數(shù)學(xué)的思考和探究過(guò)程，獲得豐富的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值和意義。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)除法 轉(zhuǎn)化 分?jǐn)?shù)乘法 探究 再創(chuàng)造

一、分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的價(jià)值和意義

直觀能感知的自然數(shù)、整數(shù)雖然是抽象出來(lái)的數(shù)，但與生活的聯(lián)系直觀而形象，可是分?jǐn)?shù)卻是高度抽象和創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)，它的抽象性極高、創(chuàng)造性十足，使用起來(lái)還需要還原創(chuàng)造的過(guò)程才行。分?jǐn)?shù)不是單純獨(dú)立的存在，它離不開創(chuàng)造它的環(huán)境，數(shù)感的建立也不是一蹴而就的事，它依賴于分?jǐn)?shù)意義的理解，分?jǐn)?shù)運(yùn)算體系的建立，而分?jǐn)?shù)除法教學(xué)就是其中的重要一環(huán)。

把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來(lái)計(jì)算，這是一個(gè)不可思議的高階的轉(zhuǎn)化，這個(gè)過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，需要分?jǐn)?shù)除法教學(xué)來(lái)進(jìn)行。分?jǐn)?shù)除法和分?jǐn)?shù)乘法，兩種完全互逆的運(yùn)算，怎么實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？這是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造力和思考力的魅力展示，它為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)科的探究活動(dòng)中的高階轉(zhuǎn)化提供了思考的路徑和思想方法的參考。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生的能力和品格為重要目標(biāo)，分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)，為目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)提供了契機(jī)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)行抽象思維和邏輯推理，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、優(yōu)化思想，逐漸形成解決問題的策略，獲得運(yùn)算的能力和提出問題解決問題的能力，也獲得了不畏艱難、質(zhì)疑解疑、不斷探究的研究精神和品質(zhì)。

二、分?jǐn)?shù)除法中引入倒數(shù)的價(jià)值和意義

教版六年級(jí)上冊(cè)第28頁(yè)的內(nèi)容從運(yùn)算的角度給出了倒數(shù)的概念，又從顛倒分子分母的方法上指導(dǎo)了我們?nèi)绾握乙粋€(gè)數(shù)的倒數(shù)，意圖為后續(xù)的分?jǐn)?shù)除法計(jì)算教學(xué)奠定基礎(chǔ)：除以一個(gè)數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

以一個(gè)具體的例子來(lái)講，也許我們會(huì)對(duì)倒數(shù)有更深的理解。甲線段長(zhǎng)5米，乙線段長(zhǎng)3米，甲線段長(zhǎng)度是乙線段長(zhǎng)度的幾分之幾？反過(guò)來(lái)想，乙線段長(zhǎng)度是甲線段長(zhǎng)度的幾分之幾？我們用線段圖來(lái)說(shuō)明甲線段和乙線段的長(zhǎng)度關(guān)系。

甲 如果以甲為參照物，乙是甲的[35]

乙 如果以乙為參照物，甲是乙的[53]

這里的[35]和[53]就是一對(duì)倒數(shù)，如果以乙為單位“1”，甲就相當(dāng)于這個(gè)單位“1”的[53]。隨著單位“1”的顛倒調(diào)換，分率關(guān)系也顛倒調(diào)換了。所以，我們可以說(shuō)，這對(duì)倒數(shù)的產(chǎn)生就是兩個(gè)量之間關(guān)系的調(diào)換生成的，倒數(shù)就是為了表達(dá)這種顛倒變化現(xiàn)象而生的互逆關(guān)系。這也就能解釋為什么找一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，我們可以通過(guò)顛倒它的分子和分母來(lái)實(shí)現(xiàn)。筆者以為，這才是倒數(shù)最本質(zhì)的模樣。

教材上講的“乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”，這是從特征上來(lái)談倒數(shù)，非倒數(shù)的本質(zhì)意義。不過(guò)，為什么乘積為1呢？如果以甲為單位“1”，乙可以表示為[35]，此時(shí)，甲就是乙的[53]，整理其中的等量關(guān)系式，我們可知，乙的[53]=甲，也就是[35]的[53]就是單位“1”，寫成等式就是[35]×[53]=1，同理，換乙數(shù)為單位“1”，也能得到[53]×[35]=1。

倒數(shù)的引入，是數(shù)學(xué)的一次富有創(chuàng)意的奇妙創(chuàng)造，而這，正是分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)乘法創(chuàng)造還原的重要媒介。

三、多向思考，理解分?jǐn)?shù)除法的算理

（一）借力發(fā)力，探究除法方法算除法

讓我們停下步子，想一想：用除法運(yùn)算可不可以解決除法計(jì)算問題？打開這扇思考的大門，不一樣的天地就呈現(xiàn)在我們眼前。

先看第一個(gè)例子——人教版六年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)除法第30頁(yè)的例1。

通過(guò)折一折，畫一畫，分一分的方法，得出了[45]÷2=[4÷25]=[25]，把[45]平均分成2份，就是把4個(gè)[15]平均分成2份，每份是2個(gè)[15]，即[25]。這里利用除法是解決平均分問題的本質(zhì)算出了[45]÷2，與整數(shù)、小數(shù)的除法運(yùn)算的意義統(tǒng)一了，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)體系的內(nèi)在邏輯性和連貫性。再度思考，2÷[23]，用除法怎么算呢？從算式的意義出發(fā)來(lái)分析，2÷[23]可以表示把2平均分，每份[23]，或者說(shuō)求2里面包含了多少個(gè)[23]。把抽象問題具體化，畫個(gè)圖來(lái)分析。

2÷[23]，除不下去，怎么辦？統(tǒng)一計(jì)算單位就能解決這個(gè)問題。2的計(jì)數(shù)單位是“1”，[23]的計(jì)數(shù)單位是[13]，我們把2的計(jì)數(shù)單位也化為[13]，那么2就是6個(gè)[13]，這樣，問題轉(zhuǎn)化為了求6個(gè)[13]里包含多少個(gè)2 個(gè)[13]，不難看出是6÷2=3個(gè)，所以2÷[23]=[63]÷[23]=6÷2=3。這里，我們利用數(shù)的本質(zhì)特征——計(jì)數(shù)單位的累計(jì)，通過(guò)轉(zhuǎn)化計(jì)數(shù)單位的方法，實(shí)現(xiàn)了除法運(yùn)算的平均分，與整數(shù)、小數(shù)里統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算的方法相承接。

繼續(xù)深度思考，[45]÷[23還能]用除法算嗎？畫個(gè)圖研究一下。

[45]÷[23]可以表示求[45]里包含了多少個(gè)[23]。我們發(fā)現(xiàn)，[45]里包含1個(gè)多“[23]”，不足2個(gè)“[23]”，到底多少個(gè)，好像說(shuō)不明白，怎么辦？我們將[45]和[23]統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，分別化為[1215]和[1015]，這時(shí)，問題就轉(zhuǎn)化為12個(gè)[115]里有多少個(gè)10個(gè)[115]了，也就是12小份是10小份的[1210]，即[45]里包含著[1210]個(gè)[23]，所以[45]÷[23]=[1215]÷[1015]=12÷10=[1210]。

我們從分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，到整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，再到分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，由淺入深，得到了分?jǐn)?shù)除法的除法運(yùn)算算法，它符合數(shù)的意義和特征，順承了以往數(shù)的運(yùn)算的方法和策略，是數(shù)學(xué)方法論的一次實(shí)踐，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，這過(guò)程必要且重要。

（二）多向思考，經(jīng)歷分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的探究過(guò)程

除以一個(gè)數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來(lái)算，這不只是一個(gè)結(jié)論，它是思考探究過(guò)程的成果，更是富有創(chuàng)造力的解決問題的過(guò)程。

在數(shù)學(xué)探究過(guò)程中，我們常常借助常見的已知的數(shù)學(xué)模型來(lái)引出和建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型。筆者以下面的例題為例，試著從多個(gè)方向去經(jīng)歷這富有創(chuàng)造力和想象力的探究過(guò)程。例題：小明[23]小時(shí)走了2km，他平均每小時(shí)走多少千米？

題中，因?yàn)樗俣?路程÷時(shí)間，所以要求小明平均每小時(shí)走多少千米，列式為2÷[23]。換個(gè)角度去想，分?jǐn)?shù)是高度抽象富有創(chuàng)造力的數(shù)，題中的“[23]”，既可以理解為具體的時(shí)間，不足1小時(shí)的[23]小時(shí)，還可以從創(chuàng)造這個(gè)數(shù)的過(guò)程中得到，[23]小時(shí)就是1小時(shí)的[23]，這時(shí)，[23]有了分率的意義。還原它的創(chuàng)造過(guò)程，我們得到了新的等量關(guān)系式：小明1小時(shí)走的路程的[23]，就是2千米，即：小明1小時(shí)走的路程×[23]=2，這里已知一個(gè)因數(shù)和它們的乘積，要求另一個(gè)因數(shù)，就可以用2÷[23]。兩種方法解決這個(gè)問題，給出了一致的算式2÷[23]。

那2÷[23]怎么算呢？為了更直觀地分析這個(gè)抽象的計(jì)算問題，我們利用線段圖來(lái)分析。

觀察上面的線段圖，我們先求[13]小時(shí)走了多少千米，也就是求2千米的[12]是多少千米，即2×[12]。再求1小時(shí)走多少千米，1小時(shí)是3個(gè)[13]小時(shí)，所以1小時(shí)走的路程是3個(gè)[13]小時(shí)走的路程，即2×[12]×3，整理算式為：2÷[23]=2×[12]×3=2×[32]=3千米，從而得到了2÷[23]=2×[32]，這樣，分?jǐn)?shù)除法就轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來(lái)計(jì)算了。

換個(gè)方向繼續(xù)分析線段圖。

觀察上面的線段圖，以1小時(shí)所走的路程為參照物（為單位“1”），那么[23]小時(shí)所走的路程就是[1]小時(shí)所走路程的[23]；如果反過(guò)來(lái)看，以[23]小時(shí)所走的路程為參照物（為單位“1”），那么[1]小時(shí)所走的路程就是[23]小時(shí)所走的路程的[32]，此時(shí)，因?yàn)轭嵉箙⒄瘴?，調(diào)換單位“1”，互逆的分率關(guān)系產(chǎn)生了，我們?cè)谶€原分?jǐn)?shù)[23]的創(chuàng)造過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)了新的創(chuàng)造，一對(duì)具有相反意義的分率[23]和[32]生成了。這時(shí)，一對(duì)互逆的等量關(guān)系式也生成了。[23]小時(shí)所走的路程=1小時(shí)所走的路程×[23]，1小時(shí)所走的路程=[23]小時(shí)所走的路程×[32]。

要求1小時(shí)走多少千米，就可以列式為2×[32]，結(jié)合之前的求解1小時(shí)走多少千米的算法，我們得到2÷[23]=2×[32]，這樣，分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算就順理生成了。

回顧我們的探究過(guò)程，我們把抽象的分?jǐn)?shù)的創(chuàng)造過(guò)程進(jìn)行了還原和再創(chuàng)造，生成了與原分?jǐn)?shù)關(guān)系互逆的倒數(shù)，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)除法變分?jǐn)?shù)乘法來(lái)計(jì)算的巧妙轉(zhuǎn)化，這富有創(chuàng)造力和想象力的轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)的智慧，也是思考的魅力所在，它的價(jià)值和意義，就不僅僅是分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算技能的生成那么簡(jiǎn)單了。

（三）進(jìn)行形式推理，再換個(gè)角度讓乘法運(yùn)算方法算除法立足

當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)體系形成時(shí)，它自身也形成了一套數(shù)學(xué)的邏輯，我們利用除法算式本身，進(jìn)行一系列的推演，也能實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的轉(zhuǎn)化。

思路一：2÷[23]=（2×[32]）÷（2×[32]）=（2×[32]）÷1=2×[32]，依據(jù)推理：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘一個(gè)不為零的數(shù)，商不變。

思路二：設(shè)小明1小時(shí)所走的路程為x千米，根據(jù)前面我們得到的等量關(guān)系式，可得方程x×[23]=2，

[解方程：x×[23]=2，][利用算式各部分的

關(guān)系可得x=2÷[23]][解方程：x×[23]=2，][利用等式的基本性質(zhì)可得x×[23]×[32]=2×[32]][x=2×[32] ][所以2÷[23]=2×[32]]

乘法運(yùn)算是正向的思維，計(jì)算起來(lái)方便快捷，簡(jiǎn)單容易操作，效率高正確率也高，它把一個(gè)逆向復(fù)雜的抽象數(shù)學(xué)問題正向處理，達(dá)到了優(yōu)化的效果。對(duì)于除法運(yùn)算，把它轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)計(jì)算，這是我們的戰(zhàn)略策略的選擇，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科，這是數(shù)學(xué)優(yōu)化思想的體現(xiàn)。但是，探索和再創(chuàng)造的過(guò)程是我們不可忽視的珍寶，它教給我們的是思考和創(chuàng)造的價(jià)值和意義。

思考、探究和創(chuàng)造不是無(wú)本之木、無(wú)根之花，探究分?jǐn)?shù)除法計(jì)算的過(guò)程，需要儲(chǔ)備足夠的前置知識(shí)和能力。整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的意義和數(shù)感的建立，加、減、乘、除等運(yùn)算的意義、算法、算理的理解等，都是這一內(nèi)容的重要基石。對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛和探究不止，才能生長(zhǎng)更多的疑惑，解決更多的問題，才能有更多的獲得、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。