趙萍

高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)是基于發(fā)展核心素養(yǎng)的課程改革的需要。通過(guò)整體安排單元教學(xué)內(nèi)容，總結(jié)單元教學(xué)整體框架和高效路徑，提供教師單元教學(xué)策略，改變學(xué)生當(dāng)前淺層學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，以實(shí)現(xiàn)“立德樹人”的育人目標(biāo)。

一、借助單元教學(xué)，明確教學(xué)單元的核心素養(yǎng)

普通高中教科書“圓錐曲線的方程”單元的主要內(nèi)容包括橢圓、雙曲線、拋物線等內(nèi)容。教學(xué)前，總攬全章，從核心素養(yǎng)的角度進(jìn)行梳理，不難發(fā)現(xiàn)本單元蘊(yùn)含的主要核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理素養(yǎng)。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，形成定義，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

教師將一條定長(zhǎng)繩子的兩端固定在同一個(gè)定點(diǎn)上，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫出的軌跡是什么曲線？學(xué)生們共同回答是：圓。

學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的繩子，同桌合作在白紙上將繩子的兩端固定在兩個(gè)定點(diǎn)上（兩定點(diǎn)的距離小于繩長(zhǎng)），鉛筆拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，得到的軌跡是什么曲線？

以活動(dòng)為載體，引導(dǎo)學(xué)生自己畫出橢圓，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，積累感性認(rèn)知，讓學(xué)生在做中學(xué)數(shù)學(xué)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察在橢圓形成的過(guò)程中哪些量變了？哪些量沒(méi)變？

引導(dǎo)學(xué)生觀察兩定點(diǎn)的距離和定長(zhǎng)之間有無(wú)關(guān)系？

引導(dǎo)學(xué)生類比圓的定義形成，得出橢圓的定義。進(jìn)一步追問(wèn)常數(shù)等于或小于兩定點(diǎn)距離時(shí)，點(diǎn)的軌跡存在嗎？是什么？

使用信息技術(shù)軟件（如GeoGebra）畫出筆尖移動(dòng)的軌跡，觀察這個(gè)軌跡，發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)橢圓或線段。利用信息技術(shù)軟件可以形象、直觀地表明定義中的必備條件，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（二）類比研究，推導(dǎo)方程，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)

類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的研究過(guò)程與方法、建立雙曲線的方程，在對(duì)比橢圓、雙曲線定義的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主推導(dǎo)雙曲線的方程；并對(duì)橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較，分析它們結(jié)構(gòu)的異同，發(fā)現(xiàn)不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程以及不同點(diǎn)。

教師在教學(xué)過(guò)程中，激活學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，用類比思想為研究雙曲線找到了方法和策略。通過(guò)類比橢圓方程的研究過(guò)程，建立的坐標(biāo)系不同，雙曲線方程的表達(dá)式也不同，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固如何建系才能使雙曲線的方程更簡(jiǎn)捷，加深理解根據(jù)對(duì)稱性建系方程更簡(jiǎn)捷的思想。

（三）自主探究，化簡(jiǎn)方程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

推導(dǎo)圓的方程時(shí)，由圓的定義列出方程涉及一個(gè)根號(hào)，所以我們直接平方去掉根號(hào)即可，而由定義列出的橢圓方程含有兩個(gè)根號(hào)，直接平方方便化簡(jiǎn)嗎？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈幌隆?/p>

課堂上，教師可以讓前后四人作為一個(gè)小組合作交流，看看怎么辦？

學(xué)生經(jīng)過(guò)交流后發(fā)現(xiàn)兩個(gè)根號(hào)在一側(cè)不好化簡(jiǎn)，可以對(duì)這個(gè)式子變形，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的一個(gè)根號(hào)的問(wèn)題再化簡(jiǎn)，即移項(xiàng)。

通過(guò)小組合作突破難點(diǎn)“怎么化簡(jiǎn)帶根式的式子”。利用希沃白板軟件的交互性將學(xué)生的推導(dǎo)過(guò)程投影展示，并請(qǐng)學(xué)生本人做簡(jiǎn)要陳述。教師讓學(xué)生觀察x2、y2的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)，考慮怎樣能讓方程

（a2-c2）x2+a2у2=a2（a2-c2）更簡(jiǎn)捷。

學(xué)生指出兩邊同時(shí)除以a2（a2-c2）。

教師馬上問(wèn)可以除嗎？還能讓方程? +? ? ?=1再簡(jiǎn)潔嗎？

學(xué)生回答：因?yàn)閍2-c2>0，類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以令“b2=a2-c2”。

由此得到了橢圓的方程? +? =1（a>b>0），該方程叫作焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)。

（四）去偽存真，運(yùn)用知識(shí)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程? +? =1（a>b>0）；

焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程? +? =1（a>b>0）；

如何從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中判斷橢圓焦點(diǎn)的位置？

學(xué)生經(jīng)過(guò)小組討論，總結(jié)出哪個(gè)變量下的分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上。

通過(guò)歸納總結(jié)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)兩個(gè)橢圓方程的理解，有助于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，使學(xué)生體會(huì)類比的思想方法，為后續(xù)雙曲線、拋物線及其他知識(shí)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

從現(xiàn)實(shí)情境中抽象概括出橢圓、雙曲線、拋物線的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

觀察圓錐曲線形狀，通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究它的的幾何性質(zhì)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。

在求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，把握運(yùn)算的關(guān)鍵點(diǎn)，掌握運(yùn)算的通性通法，感悟運(yùn)算的程序性，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

將本章具有實(shí)際背景的問(wèn)題數(shù)學(xué)化，用相應(yīng)的圓錐曲線的知識(shí)方法準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)化過(guò)程和結(jié)果，從而解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

二、立足教學(xué)整體觀念，做好單元教學(xué)設(shè)計(jì)，聚焦核心素養(yǎng)

為提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，應(yīng)立足于數(shù)學(xué)的整體觀念進(jìn)行單元設(shè)計(jì)，要通過(guò)集體的問(wèn)題情境激發(fā)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題并進(jìn)行數(shù)學(xué)思考”，以便學(xué)生體驗(yàn)和領(lǐng)悟核心素養(yǎng)。

（一）站在“學(xué)會(huì)抽象”的高度，建立概念

概念的建立過(guò)程具有一般性，今天建立概念的模式既是對(duì)過(guò)去概念模式的再現(xiàn)，又是以后概念建立的基礎(chǔ)。比如雙曲線概念的教學(xué)，筆者課前讓學(xué)生梳理圓、橢圓的學(xué)習(xí)過(guò)程，研究的一般內(nèi)容、模式、步驟是什么，形成一份表格。然后再呈現(xiàn)新的情境，這樣學(xué)習(xí)的線索就很明確了。同時(shí)，通過(guò)雙曲線概念的再次強(qiáng)化，“概念抽象”的一般模式就被學(xué)生接受了。

案例：雙曲線概念的教學(xué)設(shè)計(jì)。

一般說(shuō)來(lái)，研究一類新對(duì)象要關(guān)注以下幾點(diǎn)：（1）它是什么（抽象出一類對(duì)象的共同特質(zhì)、建立概念）；（2）對(duì)象命名（類名稱與個(gè)體的符號(hào)記法）；（3）要素分析（構(gòu)成元素、基本結(jié)構(gòu)）；（4）對(duì)象管理（簡(jiǎn)單分類、每個(gè)對(duì)象的表達(dá)與表現(xiàn)）；（5）對(duì)象運(yùn)算（運(yùn)算、性質(zhì)）；（6）概念運(yùn)用。

類比橢圓定義：|PF1|+|PF2|=2a，a>c>0，a2-c2=b2（b>0）

提出雙曲線定義：||PF1|-|PF2||=2a，c>a>0，c2-a2=b2（b>0）

類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上? +? =1；焦點(diǎn)在y軸上? +? =1；推出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上? -? =1；焦點(diǎn)在y軸上? -? =1。

（二）從“學(xué)會(huì)推理”的高度，提出問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中，要從“怎樣進(jìn)行推理”的角度提出問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生圍繞“怎樣進(jìn)行推理”進(jìn)行反思、內(nèi)省，而不是僅僅關(guān)注推理的結(jié)果。

當(dāng)學(xué)生對(duì)新的領(lǐng)域還比較陌生，對(duì)新領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系不清楚時(shí)，很難找到研究的線索、方向。采用類比推理，情況就不一樣了。所以，波利亞說(shuō)：“類比是一個(gè)偉大的引路人。”同樣地，歸納推理也是建立新命題、發(fā)展新知識(shí)的重要方式。因此，在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，學(xué)生的學(xué)習(xí)就變成了在教師引領(lǐng)下的“再創(chuàng)造”的過(guò)程，學(xué)生經(jīng)歷“觀察、歸納、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證”等數(shù)學(xué)活動(dòng)，推理的能力在潛移默化中得到了提升，從而發(fā)展了核心素養(yǎng)。

（三）從“理解算理”的高度，設(shè)計(jì)題組

變式教學(xué)實(shí)現(xiàn)了歷史過(guò)程再現(xiàn)化，形式相同、本質(zhì)不同的問(wèn)題同時(shí)集中在一起，就便于學(xué)習(xí)者進(jìn)行比較、概括與抽象，便于抓住問(wèn)題的本質(zhì)，是教師使用最多的一種教學(xué)形式。在本單元中，橢圓、雙曲線、拋物線的方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)方法彼此都不一樣。完全可以在本單元結(jié)束后，采用變式題組的辦法，將它們集中在一起讓學(xué)生比較，這具有很好的啟發(fā)性。

（四）從強(qiáng)化“建模意識(shí)”的高度，應(yīng)用數(shù)學(xué)

另外，“圓錐曲線的方程”單元整體結(jié)構(gòu)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想：描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境—建立數(shù)學(xué)模型—解決實(shí)際問(wèn)題。在整個(gè)單元教學(xué)結(jié)束時(shí)，要組織學(xué)生回頭看，采用整體回顧的方法，讓學(xué)生體會(huì)整章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，體驗(yàn)宏觀的建模過(guò)程，提升建模能力。教師沒(méi)有建立一種整體的觀念，沒(méi)有整體、全局地看問(wèn)題，蘊(yùn)含在其中的大道理、大的邏輯線索沒(méi)有被覺(jué)察出來(lái)，學(xué)生自然不可能建立正確的數(shù)學(xué)理解，更談不上形成素養(yǎng)了。

三、基于自主探究與自我內(nèi)省，實(shí)施好教學(xué)過(guò)程

單元教學(xué)便于教師明了教學(xué)單元涉及的核心素養(yǎng)，深入鉆研課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、以學(xué)生為主體，精心安排學(xué)生活動(dòng)，著眼于整體的教學(xué)設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升目標(biāo)落實(shí)到課堂教學(xué)中，便于教師在教學(xué)中聚焦核心素養(yǎng)，基于學(xué)生自主探究，自我內(nèi)省的教學(xué)實(shí)施過(guò)程，便于學(xué)生將活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（徐德明）