吳榮燕

摘要：以一節(jié)“余弦定理、正弦定理”新授課教學(xué)設(shè)計(jì)為例，對(duì)指向高階思維的數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行反思：關(guān)注單元教學(xué)，提高問(wèn)題解決能力；注重知識(shí)的生成，培養(yǎng)探究創(chuàng)新能力；創(chuàng)設(shè)交流平臺(tái)，激活批判質(zhì)疑能力；重視育人價(jià)值，促進(jìn)個(gè)體主動(dòng)發(fā)展.

關(guān)鍵詞：高階思維；余弦定理；正弦定理

培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)高階思維能力，主要是要發(fā)展學(xué)生的探究創(chuàng)新、批判質(zhì)疑、直觀想象、問(wèn)題解決等能力.從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來(lái)看，教師要深刻理解教學(xué)內(nèi)容，挖掘其蘊(yùn)含的高階思維培育素材，在課堂上創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)，促成高階思維的發(fā)展.

1 教學(xué)過(guò)程

下面以人教A版（2019）“余弦定理、正弦定理”的新授課教學(xué)設(shè)計(jì)為例，展示應(yīng)如何在課堂中培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決的能力，發(fā)展高階思維.

1.1 生成目標(biāo)問(wèn)題

問(wèn)題1 三角形是我們非常熟悉的幾何圖形，構(gòu)成一個(gè)三角形的基本要素有哪些？

生1：三條邊和三個(gè)角，一共六個(gè)基本要素.

問(wèn)題2 我們學(xué)過(guò)的全等三角形的判定定理有哪些？

生2：有“SAS”“SSS”“ASA”.

師：這是“定性”的結(jié)論.在△ABC中，試找出邊和角之間的“定量”關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：把握事物的本質(zhì)，是建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)的前提.從學(xué)生熟悉的全等三角形判定定理出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從定性的研究轉(zhuǎn)向定量的探究.

1.2 啟發(fā)引導(dǎo)思考

問(wèn)題3 如圖1，在△ABC中，如何用邊、角的關(guān)系來(lái)表示三角形的面積S？

師：這便是“正弦定理”，其實(shí)質(zhì)是三角形面積公式的推論.

生5質(zhì)疑：上述“正弦定理”對(duì)任意三角形都成立嗎？

學(xué)生討論直角、鈍角三角形的情形.

師：結(jié)構(gòu)對(duì)稱的正弦定理實(shí)際上是三角形面積公式的推論.

設(shè)計(jì)意圖：正弦定理充分體現(xiàn)了“對(duì)稱支配力量”的數(shù)學(xué)美感，可作為學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)審美價(jià)值、人文價(jià)值的一個(gè)切入口.

1.3 明晰探究路徑

問(wèn)題4 要探究三角形的邊與角的定量關(guān)系，還可以運(yùn)用哪些工具？

生6：平面向量，它兼具數(shù)與形，既有大小又有方向.

問(wèn)題5 在△ABC中，存在著哪些恒成立的向量關(guān)系式？

問(wèn)題6 如何將上述向量等式數(shù)量化呢？

生8：兩邊同時(shí)平方，用數(shù)量積的方法展開.

生9：兩邊同時(shí)與同一個(gè)向量作數(shù)量積運(yùn)算.

設(shè)計(jì)意圖：抓住向量法的根本，幫助和引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成用向量法解決幾何問(wèn)題的習(xí)慣，掌握解決此類問(wèn)題的一般研究方法.

1.4 引導(dǎo)合理論證

活動(dòng)一：兩邊平方作數(shù)量積運(yùn)算

生10：兩邊同時(shí)平方，整理，得a2=b2+c2-2bccos A.同理，b2=a2+c2-2accos B，c2=a2+b2-2abcos C.

師點(diǎn)評(píng)：上述三式即為余弦定理.勾股定理是余弦定理的特殊化.

活動(dòng)二：兩邊同時(shí)用a，b，c中的某個(gè)向量與其作數(shù)量積運(yùn)算

生11：由a=b-c，得a·a=（b-c）·a，化簡(jiǎn)得a=bcos C+ccos B（①）；由“對(duì)稱性”，得b=acos C+ccos A（②），c=bcos A+acos B（③）；聯(lián)立方程①②③可得余弦定理.

師補(bǔ)充：式①②③為“射影定理”.

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生聚焦數(shù)量積運(yùn)算，通過(guò)探究獲得對(duì)向量法的深刻理解，突破最近發(fā)展區(qū)，進(jìn)入批判性思考階段.

問(wèn)題7 設(shè)i，j分別是平行和垂直于向量a的單位向量，請(qǐng)繼續(xù)探究向量等式的數(shù)量積運(yùn)算.

活動(dòng)三：兩邊同時(shí)與i作數(shù)量積運(yùn)算

生12：可得a=bcos C+ccos B，后續(xù)與“活動(dòng)二”相同.這個(gè)數(shù)量積運(yùn)算省去約分的步驟，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程.

活動(dòng)四：兩邊同時(shí)與j作數(shù)量積運(yùn)算

生13：若b，j的夾角為銳角，化簡(jiǎn)后為bsin c=csin B，可得正弦定理.夾角為鈍角時(shí)結(jié)論相同.

問(wèn)題8 向量的數(shù)量積運(yùn)算是如何實(shí)現(xiàn)余弦定理和正弦定理轉(zhuǎn)化的？

生14：通過(guò)構(gòu)造與已知向量垂直的單位向量，實(shí)現(xiàn)構(gòu)造角之間的互余關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：采用“說(shuō)數(shù)學(xué)”的教學(xué)策略，讓學(xué)生討論構(gòu)造單位正交基帶來(lái)的簡(jiǎn)化與變化，激發(fā)學(xué)生的分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等高階思維.

1.5 課堂回顧反思

問(wèn)題9 這節(jié)課我們通過(guò)哪些方式推導(dǎo)出了正弦、余弦定理？體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程和向量的工具價(jià)值.歸納本節(jié)課滲透的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步發(fā)展分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等高階思維.

問(wèn)題10 本節(jié)課中從哪些角度，提出了哪些關(guān)鍵問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生思考“問(wèn)題的問(wèn)題”，讓他們學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，進(jìn)而培養(yǎng)高階思維，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)展.

2 指向高階思維的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)反思

核心素養(yǎng)、高階思維的培養(yǎng)和發(fā)展必須以數(shù)學(xué)課堂為陣地，以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)來(lái)開展，本節(jié)課的“高階思維”課堂教學(xué)動(dòng)線如圖2所示.

2.1 關(guān)注單元教學(xué)，提高問(wèn)題解決能力

高階思維的培養(yǎng)，需要教師關(guān)注單元教學(xué)，基于學(xué)科本質(zhì)凝練系統(tǒng)化的知識(shí)，獲取知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和蘊(yùn)含的高階思維，使得學(xué)生頭腦中的知識(shí)群之間具有關(guān)聯(lián)性、邏輯性.

后在解決幾何問(wèn)題中才會(huì)自覺(jué)地聯(lián)想到向量法.學(xué)生不僅能形成關(guān)于單元的整體觀念和核心思想，還可獲取其蘊(yùn)含的高階思維，進(jìn)一步提升運(yùn)用向量解決問(wèn)題的能力.

2.2 注重知識(shí)的生成，培養(yǎng)探究創(chuàng)新能力

教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究交流等方式理解知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新等高階思維能力.

本節(jié)課從三角形的基本要素出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形的研究從定性轉(zhuǎn)向定量，尋找三角形的向量等量關(guān)系式，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系式等發(fā)散式問(wèn)題，這些均是在創(chuàng)設(shè)知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”.在四個(gè)探究活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)量積的幾何意義，如a2=|a|2，a·e=|a|cos θ（e為單位向量）和a⊥ba·b=0，運(yùn)用向量法最終實(shí)現(xiàn)對(duì)余弦定理、正弦定理的互證.由此學(xué)生理解到，三角形的各種幾何量之間可以互相表達(dá)，從而可能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)其他證明方法，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)與能力.在解決新問(wèn)題時(shí)，才更易理解問(wèn)題實(shí)質(zhì)，并提取、運(yùn)用已學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)分析與綜合進(jìn)行高階思維活動(dòng).

2.3 創(chuàng)設(shè)交流平臺(tái)，激活批判質(zhì)疑能力

在認(rèn)知發(fā)展的過(guò)程中，思維的外化需要學(xué)習(xí)者作出相關(guān)的陳述，理解他人的陳述，相互論證或挑戰(zhàn)各自的觀點(diǎn)或假設(shè).所有這些過(guò)程都將直接導(dǎo)致高階思維活動(dòng)和高階學(xué)習(xí).“說(shuō)數(shù)學(xué)”是指?jìng)€(gè)體用口頭表達(dá)自己對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感等的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).

感，激活質(zhì)疑批判意識(shí)，創(chuàng)造發(fā)展高階思維的機(jī)會(huì).

2.4 重視育人價(jià)值，促進(jìn)個(gè)體主動(dòng)發(fā)展

深度學(xué)習(xí)并不只是對(duì)淺層學(xué)習(xí)的反對(duì)，也并不只停留于學(xué)生高階思維的培養(yǎng)，而是要促進(jìn)學(xué)生作為具體的社會(huì)歷史實(shí)踐主體的成長(zhǎng)和發(fā)展.

數(shù)學(xué)學(xué)科在培養(yǎng)學(xué)生理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著重要作用.本節(jié)課注重聯(lián)系初中所學(xué)過(guò)的三角形邊角的定性關(guān)系，結(jié)合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用類比、轉(zhuǎn)化、分類與整合等多種方法探究三角形邊角的定量關(guān)系，自然而然地引入向量作為工具，揭示向量的本質(zhì)屬性.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷正、余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程，領(lǐng)悟向量法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；在“說(shuō)數(shù)學(xué)”活動(dòng)中發(fā)展提出問(wèn)題、批判質(zhì)疑、合作交流的能力；在對(duì)三角定律的深入學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)高階思維，感受數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的責(zé)任擔(dān)當(dāng)，讓學(xué)生對(duì)社會(huì)的發(fā)展產(chǎn)生責(zé)任感和使命感.這也是對(duì)深度學(xué)習(xí)理念的任務(wù)與目標(biāo)的體現(xiàn)和落實(shí).

深化課程改革精神，需要教師從自身的教學(xué)出發(fā)，關(guān)注學(xué)生的深度學(xué)習(xí)和主體發(fā)展，通過(guò)知識(shí)的教學(xué)達(dá)成全面育人的目的.如何通過(guò)培養(yǎng)數(shù)學(xué)高階思維促進(jìn)核心素養(yǎng)的落地，還需要教師不斷反思和探索.