[摘 要]高等數(shù)學(xué)是高等院校理工科一門重要的基礎(chǔ)理論教程，具有知識(shí)點(diǎn)多，難度大，理論抽象等特點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)壓力都較大。在教學(xué)中引入如GeoGebra、Matlab等數(shù)學(xué)軟件不僅能將高等數(shù)學(xué)中的概念形象直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生，而且可以鍛煉學(xué)生運(yùn)用抽象知識(shí)編程解決實(shí)際問題的能力。文章介紹基于GeoGebra和Matlab軟件輔助教學(xué)的一些案例，涵蓋了積分定義、Fourier級(jí)數(shù)、微分方程求解等問題。通過軟件的信息化和動(dòng)態(tài)可視化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并提升其數(shù)學(xué)思維能力。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學(xué)；GeoGebra軟件；Matlab軟件；教學(xué)改革

[中圖分類號(hào)] G642? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 1008-2549（2023） 11-0090-04

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工科一門重要的基礎(chǔ)理論課程，其內(nèi)容豐富，理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，影響深遠(yuǎn)。李克強(qiáng)總理在2018年1月3日的國(guó)務(wù)院常務(wù)會(huì)議上指出：“數(shù)學(xué)是我國(guó)科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)。無論是人工智能還是量子通信等，都需要數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科作有力支撐。我們之所以缺乏重大原創(chuàng)性科研成果，卡脖子就是卡在基礎(chǔ)學(xué)科上?！盵1]然而，由于高等數(shù)學(xué)課程具有知識(shí)點(diǎn)多、難度大、理論抽象等特點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)壓力都較大。例如，學(xué)生在初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，所面對(duì)的往往是離散的、有限的、線性的問題。而高等數(shù)學(xué)課程中所處理的往往是連續(xù)的、無限的、非線性的問題。這就需要學(xué)生的思維認(rèn)知有從有限到無限、從離散到連續(xù)的轉(zhuǎn)換。此外，高等數(shù)學(xué)中的分類與整合、劃歸與轉(zhuǎn)換、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思維也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大障礙。以上原因?qū)е潞芏鄬W(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中產(chǎn)生了畏難的情緒，對(duì)高等數(shù)學(xué)這門課程毫無興趣。然而，作為其他專業(yè)課的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)的重要性不言而喻。學(xué)生若無法理解高等數(shù)學(xué)的思維，即使在考試中僥幸過關(guān)，在后續(xù)其他專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中依然會(huì)暴露出根基不牢固的缺陷。因此，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力一直是當(dāng)今高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要課題。近年來，許多學(xué)者也對(duì)其進(jìn)行了行之有效的探討。[2-4]

近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，涌現(xiàn)出一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件，例如Matlab、GeoGebra、Mathematica、Maple等。這些軟件在解決許多實(shí)際的數(shù)學(xué)問題中發(fā)揮著重要的作用。同時(shí)，利用這些軟件的信息化和可視化功能對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行輔助，可以極大地引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。此外，這些軟件強(qiáng)大的編程和計(jì)算功能也能幫助學(xué)生解決更多實(shí)際的數(shù)學(xué)問題。

本文將基于GeoGebra和Matlab這兩款數(shù)學(xué)軟件，對(duì)高等數(shù)學(xué)的信息化和可視化教學(xué)進(jìn)行探究。對(duì)比這兩款軟件，其側(cè)重點(diǎn)各有不同。GeoGebra作為一款優(yōu)秀的動(dòng)態(tài)幾何軟件，它最大的特點(diǎn)在于可以動(dòng)態(tài)地演示高等數(shù)學(xué)中的許多定義，例如極限、定積分、級(jí)數(shù)等。從而在學(xué)生的腦海中刻畫這些定義，加強(qiáng)對(duì)這些概念的理解和推廣。Matlab作為一款專業(yè)的工程數(shù)學(xué)軟件，其強(qiáng)大的計(jì)算功能可以幫助學(xué)生擺脫復(fù)雜的計(jì)算。同時(shí)，其強(qiáng)大的編程功能可以幫助學(xué)生利用抽象的知識(shí)去解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

一、數(shù)學(xué)軟件簡(jiǎn)介

本節(jié)將簡(jiǎn)單介紹GeoGebra和Matlab這兩款數(shù)學(xué)軟件。此外，由于兩款軟件的側(cè)重點(diǎn)不同，我們還將其進(jìn)行簡(jiǎn)單的對(duì)比，以得出在不同場(chǎng)景下兩者如何取舍。

（一）GeoGebra軟件簡(jiǎn)介

GeoGebra是一套包含處理幾何、代數(shù)、微積分等功能的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件。它是由奧地利數(shù)學(xué)家Markus Hohenwarter以及其開發(fā)團(tuán)隊(duì)，為了讓全世界的校園都可免費(fèi)使用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件而共同開發(fā)的。GeoGebra的軟件名是由“Geo”+“Gebra”組成，其意思為幾何（Geometry）與代數(shù)（Algebra）。該軟件具有開源、體積小、動(dòng)態(tài)可視化等優(yōu)點(diǎn)，并且相較于其他數(shù)學(xué)軟件，GeoGebra的操作比較容易上手。因此，GeoGebra在中小學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。[5-7]

GeoGebra的軟件界面分為代數(shù)區(qū)和繪圖區(qū)，其代數(shù)功能和動(dòng)態(tài)幾何作圖功能可以幫助學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)中的各種對(duì)象（點(diǎn)、線、面、方程）有直觀理解。此外，在繪圖區(qū)任意空白處點(diǎn)擊可以構(gòu)建一個(gè)數(shù)值的滑動(dòng)條，通過拖動(dòng)滑動(dòng)條可以使得研究對(duì)象產(chǎn)生直觀的動(dòng)態(tài)變化。借助此軟件，我們可以設(shè)計(jì)極限、定積分等定義里面一系列動(dòng)態(tài)過程，例如，數(shù)列動(dòng)態(tài)逼近、定積分的細(xì)分求和、圖形的相交旋轉(zhuǎn)等。以上種種優(yōu)點(diǎn)，有利于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于概念的理解以及激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)研究興趣。此外，作圖生成的“ggb”文件非常小巧（幾十Kb至一百Kb），可以嵌入PPT中。該軟件也有豐富的教學(xué)資源，教師可以方便地加以利用。

（二）Matlab軟件簡(jiǎn)介

Matlab軟件是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，其名稱是由“Matrix”“Laboratory”兩個(gè)單詞組合而成，意為矩陣實(shí)驗(yàn)室。作為一款專業(yè)的工程類數(shù)學(xué)軟件，它將矩陣計(jì)算、數(shù)值分析、非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模與仿真和科學(xué)數(shù)據(jù)可視化等一系列強(qiáng)大的功能集成在一個(gè)視窗環(huán)境中，為科研、工程設(shè)計(jì)等眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了強(qiáng)大的幫助。Matlab的強(qiáng)大功能在此我們不進(jìn)行過多贅述，讀者可以參考專業(yè)書籍。[8]

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們可以將Matlab有效合理地融入其中。[9-11]一方面，這可以幫助學(xué)生省去一些煩瑣的計(jì)算，另一方面，其引導(dǎo)了學(xué)生學(xué)習(xí)一款實(shí)用軟件、練習(xí)了編程技巧和提高了利用高數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

（三）兩款軟件對(duì)比

兩款軟件各有優(yōu)點(diǎn)，并無孰優(yōu)孰劣之分，我們需要在不同的場(chǎng)景下合理地選擇不同的軟件。例如，在高等數(shù)學(xué)的許多概念教學(xué)中，可以借助GeoGebra對(duì)定義進(jìn)行動(dòng)態(tài)化、直觀化的表述。而當(dāng)涉及一些復(fù)雜的計(jì)算，例如微分方程的求解等，Matlab強(qiáng)大的計(jì)算以及仿真模擬功能可以幫助我們快速得出結(jié)果并對(duì)其進(jìn)行分析。

二、GeoGebra在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

（一）GeoGebra融入定積分的教學(xué)過程

定積分是學(xué)生正式進(jìn)入積分學(xué)的學(xué)習(xí)，而要使得學(xué)生了解定積分的本質(zhì)，幾何直觀圖形的展示是必不可少的。在此，教師可以利用GeoGebra軟件來生動(dòng)講述有關(guān)內(nèi)容。這不僅能讓同學(xué)們感悟到積分學(xué)的魅力，而且能了解到GeoGebra功能的強(qiáng)大。

案例1：定積分定義的幾何動(dòng)態(tài)展示

我們以∫01x3dx這一積分為例子。首先，在GeoGebra軟件中輸入函數(shù)f（x）x3，并把[0，1]區(qū)間等分成n份，其中n設(shè)置成滑動(dòng)條。分別計(jì)算其即上積分與即下積分。觀察到隨著n的增大，兩者都會(huì)越來越逼近曲邊三角形的面積，圖1和圖2分別表示在分割n=10和n=100情形下，上積分、下積分與曲邊三角形面積的關(guān)系。

借助這個(gè)例子，學(xué)生可以很直觀地理解定積分思想，即分割、求和、取極限，從而理解定積分的定義。

（二）GeoGebra融入Fourier級(jí)數(shù)的教學(xué)過程

作為高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)在光學(xué)、電學(xué)、聲學(xué)等都有極為廣泛的應(yīng)用。利用GeoGebra來刻畫動(dòng)態(tài)的逼近過程，一方面能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到Fourier級(jí)數(shù)的主要思想，另一方面也能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。

案例2： 函數(shù)展開成Fourier級(jí)數(shù)。

我們以分段函數(shù)

為例：首先在GeoGebra軟件中輸入該函數(shù)，設(shè)置滑動(dòng)條n，在代數(shù)區(qū)輸入變量A=序列（f（x）（（cos（nx）/（π）），-π，π），n，0，N）以及B=序列（f（x）（（sin（nx）/（π）），-π，π），n，1，N）。最后，根據(jù)Fourier級(jí)數(shù)的展開表達(dá)式，我們可以輸入系數(shù)AO=（（元素（A，1）/（2）），AX=序列（（元素（A，n+1）cos（nx），n，1，N）以及BX=序列（（元素（B，n）sin（nx），n，1，N），則F（x）=AO+總和（AX）+總和（BX）。通過移動(dòng)滑動(dòng)條，學(xué)生可以觀察到取Fourier級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)逼近到函數(shù)的動(dòng)態(tài)過程，見圖3和4。學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，該級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和隨著n的增大，越來越接近給定的函數(shù)f （x）。并且在f （x）的間斷點(diǎn)處，級(jí)數(shù)的和為? ? ? ? ? ? ? ? ，此即為Dirichlet定理的結(jié)論。

三、Matlab在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

常微分方程是高等數(shù)學(xué)中最體現(xiàn)微積分價(jià)值的一部分。諸多的實(shí)際問題都可以利用數(shù)學(xué)建模來轉(zhuǎn)化成常微分方程求解，并解釋實(shí)際問題所體現(xiàn)的客觀現(xiàn)象。常微分方程在很多實(shí)際問題上是很難求出解析解的，因此如何利用好Matlab來求數(shù)值解顯得更為重要。

案例3：（導(dǎo)彈追擊問題）假設(shè)導(dǎo)彈A距離正在以最大速度行駛的船艦B 1km處，且船艦勻速向前行駛而導(dǎo)彈頭始終指向船艦，一段時(shí)間過后，最終將其擊落。不妨考慮船艦以2km/h的最大速度直線勻速行駛，而導(dǎo)彈速度始終為10km/h。求解船艦在相距導(dǎo)彈1km時(shí)需要多久才能擊落船艦以及此時(shí)船艦?zāi)苄旭偠噙h(yuǎn)。

解：建立直角坐標(biāo)系，可以假定導(dǎo)彈A位于原點(diǎn)處，船艦B位于（1，0）處。設(shè)在T時(shí)刻導(dǎo)彈位于坐標(biāo)中的點(diǎn)M（x（T），y（T））處，此時(shí)船艦B位于點(diǎn)N（1，2T）處。由條件容易得到微分方程：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

結(jié)合初始條件并利用Matlab求解，其代碼如下：

syms y（x）;

g=1/5.*sqrt（1+diff（y，x，1）.^2）;

f=（1-x）.*diff（y，x，2）;

Dy = diff（y，x）;

cond = [y（0）==0， Dy（0）==0];

ySol= dsolve（f==g， cond）;

ySol = simplify（ySol）

ezplot（ySol（2），[-0.1，1.1]）

title（' '）;

hold on

plot（[1，1]，ylim，‘m—）;

text（0.3，0.04，‘導(dǎo)彈軌跡;，‘FontSize，14）;

text（0.78，0.02，‘船艦軌跡，‘FontSize，14）;

由上述程序可求得方程的解為

其軌跡如圖5所示。將x=1代入，利用Matlab計(jì)算出y的值，得出y（1）=0.2083。從而T=y（1）/2=0.1042h，這表明了在大約6分鐘后擊落，而此刻船艦行駛了208.3m。

四、結(jié)語

本文介紹了GeoGebra和Matlab這兩款數(shù)學(xué)軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的應(yīng)用。讓學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)充滿興趣并且能扎實(shí)掌握并熟練運(yùn)用高數(shù)知識(shí)一直是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要目的之一。然而，在高等數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)課堂教學(xué)中，往往是教師利用黑板或者PPT灌輸式地將理論、知識(shí)、證明技巧等傳授給學(xué)生。借助GeoGebra和Matlab這兩款數(shù)學(xué)軟件，教師可以將高等數(shù)學(xué)中的很多概念通過數(shù)形結(jié)合的方法形象直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解并激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。結(jié)合近年來的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這兩款軟件更適合線上線下混合使用模式。教師在線上對(duì)軟件的使用做了具體的演示，學(xué)生在線下可以利用軟件豐富的網(wǎng)絡(luò)資源鞏固和拓展所學(xué)到的知識(shí)。將數(shù)學(xué)軟件引入高等數(shù)學(xué)教育的課堂后，也對(duì)教師提出了更高的要求。教師必須熟練地使用GeoGebra、Matlab、Mathematica等數(shù)學(xué)軟件，并將其有機(jī)地融入教學(xué)中。只有這樣，才能把傳統(tǒng)的“教師主宰性”課堂轉(zhuǎn)換為師生探究型課堂，從而提高教學(xué)質(zhì)量以及推動(dòng)高等數(shù)學(xué)課堂的現(xiàn)代化發(fā)展。

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（責(zé)任編輯：劉潔）

Research on the Reform of Higher Mathematics Teaching Based on the Application of Mathematical Software

Cheng Kun

（School of Information Engineering， Jingdezhen Ceramic University）

Abstract： Higher mathematics is an essential foundational theoretical course in science and engineering disciplines at higher education institutions. It is characterized by a large number of concepts， high difficulty， and abstract theories， resulting in significant pressure on both students' learning and teachers' instruction. Introducing mathematical software such as GeoGebra and Matlab into teaching not only presents concepts in higher mathematics to students in a visually intuitive way but also helps them develop the ability to apply abstract knowledge to solve practical problems through programming. This article introduces some cases of teaching assistance using GeoGebra and Matlab， covering topics such as integral definition， Fourier series， and solving differential equations. Through the informatization and dynamic visualization provided by the software， students' interest in learning is stimulated， and their mathematical thinking abilities are enhanced.

Key words：? Advanced Mathematics; GeoGebra Software; Matlab Software; Teaching Reform

基金項(xiàng)目：景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目：幾類Kirchhoff方程解的存在性（000/20298612）。

作者簡(jiǎn)介：程琨（1990—），男，博士，講師，研究方向：大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，偏微分方程等。