葉青

摘要：經(jīng)歷演繹推理的過程是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思考，學(xué)會辯證看待事物的重要途徑之一。教師應(yīng)以反思教學(xué)困境為契機(jī)，梳理教材和學(xué)情，在此基礎(chǔ)上以圖形的邊角為切入點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷證據(jù)提煉、論證以及梳理的過程，使其在觸及本質(zhì)的推理表達(dá)中不斷發(fā)展演繹推理，逐漸養(yǎng)成理性的思考方式，形成對立統(tǒng)一的辯證思維。

關(guān)鍵詞：四邊形的認(rèn)識；演繹推理；關(guān)聯(lián)視角

推理是數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)之一，學(xué)生要形成“會用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)，離不開推理意識的培育與發(fā)展。推理可分為從特殊走向一般的合情推理和從一般走向特殊的演繹推理。當(dāng)前，小學(xué)階段的推理教學(xué)更多地將關(guān)注點(diǎn)落在了合情推理的滲透上，演繹推理的教學(xué)則主要集中于初中階段和高中階段。實際上，小學(xué)階段許多知識點(diǎn)的教學(xué)背后也暗含著演繹推理的思想，亟待教師挖掘和發(fā)現(xiàn)。

一、置身課堂，深入思考，直面波折的教學(xué)過程

研磨人教版數(shù)學(xué)教材三年級上冊“四邊形的認(rèn)識”一課時遇到的一些問題，引發(fā)了筆者對演繹推理教學(xué)的深度思考。

（一）眼見就誤以為實：缺乏理性驗證的意識

在圖形的特征驗證時，學(xué)生普遍暴露出一個問題：疲于動手實證。學(xué)生認(rèn)為自己一眼便能辨認(rèn)出這個圖形是否是長方形或正方形，根本不需要這般繁瑣且費(fèi)時的驗證。另外，在驗證的過程中，個別學(xué)生會在測量出一條邊的長度之后，直接寫出對邊或剩余三邊的長度，把特征的驗證與特征的應(yīng)用混淆?？梢姡瑢W(xué)生并不理解驗證的意義，在推理認(rèn)知時缺少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S模式。

（二）見樹木不見樹林：缺失立足關(guān)聯(lián)的視角

認(rèn)識與理解長方形和正方形兩者的特殊關(guān)系是教學(xué)中難以突破的點(diǎn)。由于直觀視覺下兩者形狀的不同給學(xué)生帶來了強(qiáng)烈的視覺沖擊，使得多數(shù)學(xué)生對“正方形是不是長方形”這一問題的思考，只會站在對立的視角觀察分析。即，從特征的區(qū)別而言，學(xué)生能夠明確分辨兩者的不同，但對兩者關(guān)系缺少了關(guān)聯(lián)視角下的認(rèn)識，也就是關(guān)注“異”忽視“同”。

二、全局視角，深度剖析，探尋關(guān)鍵的思想理念

滲透重論據(jù)、講邏輯的演繹推理能夠有效促進(jìn)學(xué)生理性思維的成長，助力其辯證思維的萌發(fā)，是打破教學(xué)困境的有效途徑。尋覓與凸顯教材中蘊(yùn)藏的演繹推理，聚焦與把脈學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)則是探索新模式教學(xué)的關(guān)鍵。

（一）為“源”而理，著眼整體聯(lián)系

筆者首先對“認(rèn)識四邊形”這一內(nèi)容進(jìn)行了單元內(nèi)的橫向梳理（見圖1）。該課是人教版數(shù)學(xué)教材三年級上冊第7單元“長方形和正方形”的教學(xué)內(nèi)容，這一單元的教學(xué)分為四邊形和周長兩部分：四邊形→長方形→正方形，四邊形周長→長方形周長→正方形周長?？梢园l(fā)現(xiàn)這兩條教學(xué)主線都是從一般走向特殊，這實際上就是經(jīng)歷了演繹推理的過程。

接著，筆者對這一內(nèi)容進(jìn)行了縱向?qū)Ρ龋ㄒ妶D2），發(fā)現(xiàn)“平面圖形的認(rèn)識”這一板塊的教學(xué)編排上也體現(xiàn)著這樣一條思想暗線：三年級本單元的內(nèi)容是從一般走向特殊，后續(xù)的平行四邊形、三角形教學(xué)也是如此，最后再從“一般”的直邊圖形走向“特殊”的曲線圖形?？梢?，本課是圖形認(rèn)識領(lǐng)域演繹推理思想的初次滲透，是后續(xù)圖形關(guān)系推理的基礎(chǔ)。

再從學(xué)習(xí)方法來看，掌握四邊形、長方形、正方形的特征提煉技巧是本課的重點(diǎn)。實際上，在一年級時，學(xué)生已經(jīng)有了根據(jù)外觀整體辨認(rèn)圖形的經(jīng)驗，本課則是要幫助學(xué)生從表象認(rèn)知水平進(jìn)入到依托特征判斷的定性分析水平。在二年級時，學(xué)生已經(jīng)有了基于邊、角來認(rèn)識圖形的經(jīng)驗，本課以及后續(xù)對于平行四邊形、梯形、三角形的學(xué)習(xí)也都可以從這兩個要素出發(fā)去研究。因而，在教學(xué)中凸顯“邊”和“角”這兩個判斷圖形特征的要素，既能讓學(xué)生的推理有依據(jù)、有方向，也能為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（二）為“診”而測，把握教學(xué)起點(diǎn)

為了更精準(zhǔn)地了解學(xué)生對于四邊形、長方形以及正方形的已有經(jīng)驗，以學(xué)定教，筆者抽取了城鎮(zhèn)中心小學(xué)三年級全體學(xué)生（共225人）進(jìn)行前測。

從學(xué)生作答中筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生借助點(diǎn)子圖畫一個任意四邊形正確率是較高的。問題在于，多數(shù)學(xué)生只能畫出生活中常見的特殊四邊形，可見，學(xué)生對于四邊形的認(rèn)知是不全面的。同樣，在辨認(rèn)正向擺放的長方形和正方形時，學(xué)生是沒有問題的，將長方形和正方形傾斜放置后會對部分學(xué)生的判斷產(chǎn)生一定的干擾，而那些非常近似長方形或正方形的四邊形是學(xué)生最容易錯選的。這就反映出學(xué)生對于這些看似熟悉的圖形，有一定的經(jīng)驗生成，但在辨別時缺少理性的判斷方法和依據(jù)。因此，教學(xué)素材的選取以及判斷依據(jù)的提煉是本課需要關(guān)注的點(diǎn)。

基于教材和學(xué)情的整體考量可以發(fā)現(xiàn)，本課在整個圖形認(rèn)識領(lǐng)域起著承上啟下的作用。為此，本課僅止步于知識點(diǎn)的教學(xué)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教學(xué)中關(guān)注知識背后的思想方法也尤為重要。教師挖掘與凸顯方法的相似性，緊抓邊角，展開由表及里的演繹推理，既能幫助學(xué)生走出僅憑直覺判斷的前經(jīng)驗，也能讓其形成圖形關(guān)系探究的自主遷移能力。

三、學(xué)生立場，強(qiáng)化推理，搭建有效的學(xué)習(xí)路徑

如何讓抽象的“演繹推理 ”在學(xué)生的腦海中鮮活起來呢？讓學(xué)生完整地經(jīng)歷演繹推理的過程，是使其領(lǐng)悟并發(fā)展推理能力的有效途徑。

（一）順藤摸瓜——拾“證據(jù)”基礎(chǔ)，孕伏演繹推理

演繹推理是借助邏輯推演獲取結(jié)論的一種思維方式，需要有一般性“證據(jù)”作為推理前提。四邊形、長方形、正方形的特征便是本課演繹推理的關(guān)鍵證據(jù)。而邊和角作為構(gòu)成平面圖形的兩個基本要素，能為學(xué)生提煉特征、展開推理指明方向，以保證學(xué)生能夠快速地尋得并列舉出符合目標(biāo)的“證據(jù)”。

1.寓學(xué)于趣——著眼起點(diǎn)，凸顯邊角明方向

演繹推理的過程是抽象的，數(shù)學(xué)知識本身又是枯燥的，因此筆者以“四邊形派對”為主情境展開教學(xué)，借趣味來支撐學(xué)生進(jìn)行深入的研究（見圖3）。

基于經(jīng)驗，學(xué)生心中已有了四邊形的雛形，只是缺少恰當(dāng)?shù)募せ?。本課借助“你心目中的四邊形有怎樣的特征”這一問題，促進(jìn)學(xué)生新舊知識的銜接，為后續(xù)的分類活動提供一定的標(biāo)準(zhǔn)和方向，初步感知研究圖形的要素。分類活動則是將學(xué)生“原認(rèn)知”中的誤區(qū)和難點(diǎn)直接暴露在課堂中，借助辨析幫助學(xué)生的思維逐漸聚焦到圖形邊和角的特點(diǎn)分析上，使“證據(jù)”的提煉更具指向性。

2.返璞歸真——巧選素材，去除干擾明本質(zhì)

演繹推理需要學(xué)生具有一定的抽象思維能力，讓學(xué)生經(jīng)歷去除外在非本質(zhì)要素，明晰內(nèi)在本質(zhì)特征的過程，是提升其抽象思維能力，發(fā)展辯證眼光的重要途徑。合理選取和使用學(xué)習(xí)素材能有效助推學(xué)生尋得圖形背后的秘密，習(xí)得透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力。

層次一：多元表征，去“飾”留“形”。

在特征提煉環(huán)節(jié)，筆者提供了形狀、顏色、大小以及擺放方向各不相同的材料供學(xué)生觀察思考，讓學(xué)生基于從“邊”和“角”出發(fā)觀察的經(jīng)驗，準(zhǔn)確提煉出這些看似不同的長方形、正方形背后存在的共性特征。

層次二：素材整合，求“同”存“異”。

在上述探究活動結(jié)束時，筆者將這些素材整理后再次重現(xiàn)在學(xué)生眼前（見圖4），通過進(jìn)一步地觀察、分析、比較，使學(xué)生形成對長方形和正方形更精確化的認(rèn)識。

觀察比較：這些剛才驗證過的長方形和正方形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問：為什么正方形形狀始終不變，而長方形卻有“高、矮、胖、瘦”之分？

本次觀察任務(wù)，以舊素材、新視野去分析長方形和正方形的特征，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到影響長方形、正方形形狀的仍舊是它們的邊和角。即，長方形的形狀同時受到長和寬的影響，所以長方形會出現(xiàn)不同的形狀；而正方形無論邊長是多少，它的四條邊始終相等，從而使正方形形狀始終不變。上述兩個層次的觀察任務(wù)，由易到難，引領(lǐng)學(xué)生逐步深入知識本質(zhì)，觸及長方形和正方形的內(nèi)在屬性。

（二）精準(zhǔn)表達(dá)——用“證據(jù)”說話，外顯演繹推理

演繹推理強(qiáng)調(diào)推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)會用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言外顯內(nèi)在的思維邏輯是演繹推理得以發(fā)展的關(guān)鍵。簡而言之，就是要讓學(xué)生學(xué)會說理，使學(xué)生在一次次用縝密的語言表達(dá)思維的過程中，深化對演繹推理的認(rèn)識。

1.“演”：關(guān)注過程——從合情走向合理

數(shù)學(xué)論證的重要形式之一便是演繹推理，借演繹推理驗證并闡明“證據(jù)”的合理性，能讓學(xué)生對得來的線索始終保持審慎態(tài)度。本環(huán)節(jié)若直接用語言描述抽象且繁雜的推理過程不利于學(xué)生理解與接納，為此，筆者給學(xué)生提供了彩色水筆和若干正方形、長方形卡片，讓其在邊演示邊解說的過程中，清晰地呈現(xiàn)演繹推理的過程。

【片段1】論證正方形的4個角都是直角

生：（大前提）首先，通過對折發(fā)現(xiàn)正方形的4個角完全重合，可以得到正方形的4個角相等。（小前提）其次，借助三角尺比照，發(fā)現(xiàn)其中一個角是直角。（結(jié)論）最后，由此可以得到正方形的4個角都是直角。

【片段2】論證正方形的4條邊都相等

生：（大前提）因為通過上下對折可以發(fā)現(xiàn)紅色的這組對邊相等，左右對折可以發(fā)現(xiàn)藍(lán)色的這組對邊相等。（小前提）又因為沿對角線對折發(fā)現(xiàn)紅色和藍(lán)色這兩條鄰邊也相等。（結(jié)論）所以正方形的4條邊都相等。

生：（大前提）第一次沿對角線對折發(fā)現(xiàn)紅色的這組鄰邊相等，藍(lán)色的這組鄰邊相等。（小前提）第二次沿對角線對折發(fā)現(xiàn)紅色和藍(lán)色這兩條鄰邊也相等。（結(jié)論）所以正方形的4條邊都相等。

以上學(xué)生出現(xiàn)的3種驗證方法其實都蘊(yùn)含著“三段論”形式的演繹推理，即2個前提加1個結(jié)論。在說理時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用“首先，其次，由此”“因為，又因為，所以”等邏輯語言來完整地表述推理過程，感悟三段論推理的模型。

2.“繹”：抽出精髓——從對立走向統(tǒng)一

在演繹推理的過程中，不僅要讓學(xué)生明確“證據(jù)”的可靠性，更應(yīng)讓其關(guān)注到“證據(jù)”背后的關(guān)聯(lián)，從二元對立的思維中走出來，整體把握圖形之間的關(guān)系，使部分與整體的關(guān)系教學(xué)得以突破。

（1）沖突造勢，經(jīng)歷簡單判斷，培育推理的“幼芽”

推理能力的發(fā)展不是一蹴而就的，安排由淺入深的推理活動符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。為此，本課先由推理簡單的關(guān)系入手，借助“形”來引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，通過“理”助其走出固有的刻板印象，讓演繹自然發(fā)生。

【片段3】推論凹四邊形是不是四邊形

拋問：現(xiàn)在再來看看這個圖形（凹四邊形），你們的疑問消除了嗎？它到底是不是四邊形？

生：不是，它只有3個角。

生：不是，它的第4個角在外面。

生：是的，它有4個角和4條直邊。

方法引領(lǐng)：看來大家有疑問的就是這個是不是角。其實，從一個點(diǎn)引出兩條線，形成一個的大角，它也是角，我們數(shù)的是圖形里面的角。

小結(jié)：四邊形有4個角和4條直邊，這個圖形也有4個角、4條直邊，符合四邊形的所有特征，所以它也是四邊形。

以上3名學(xué)生的推理過程實際都是省略形式的演繹推理，推理時把“四邊形有4個角和4條直邊”這個大家一致認(rèn)可的大前提隱去了。盡管學(xué)生的表述并不屬于嚴(yán)謹(jǐn)形式的三段論，但他們的推理過程實際是嚴(yán)密且富有邏輯的。教師可以有意識地完整小結(jié)，為其進(jìn)行更復(fù)雜的演繹推理打下堅實基礎(chǔ)。

（2）動畫助力，目睹復(fù)雜轉(zhuǎn)變，舒展辯證的枝葉

直觀地展示圖形間的關(guān)聯(lián)是破除對立思維、展開深度推理的有效途徑。為此，本課改抽象為直觀，讓4個頂點(diǎn)動起來，呈現(xiàn)由普通凸四邊形到長方形，再到長邊縮短的長方形，乃至正方形的變化過程。借助這樣的動態(tài)演示，突破三者關(guān)系（見圖8）：

通過視覺，學(xué)生能夠直觀地看到“邊帶動角”“角帶動邊”的過程，初步感知三個圖形的關(guān)聯(lián)。此時，借助問題“長方形是不是四邊形”“正方形是不是長方形”，引發(fā)他們的思辨，在演繹推理中引領(lǐng)學(xué)生的思維從直觀過渡到抽象：因為四邊形有4條直邊和4個角，長方形也有4條直邊和4個角，所以長方形是四邊形；因為長方形的4個角都是直角且兩組對邊相等，正方形也有4個直角且對邊相等，所以正方形是長方形。每一次說清楚推理依據(jù)與結(jié)論的過程，都能加深學(xué)生對這三者本質(zhì)的認(rèn)識，助其搭建起關(guān)系結(jié)構(gòu)，形成“對立統(tǒng)一”的辯證思維。

（三）見微知著——擴(kuò)“證據(jù)”體系，伸展演繹推理

演繹推理的價值不僅僅在于得到一個科學(xué)的結(jié)論，還在于使學(xué)生掌握這種學(xué)習(xí)方法，并使其成為一種思維能力。恰當(dāng)?shù)臏贤ㄅc聯(lián)系，是凸顯不同事物之間相似性，使思想方法得以遷移的重要手段。

借力點(diǎn)1：課中串聯(lián) ，明“證據(jù)”提煉方法

提問：這些留下來的四邊形中，有你熟悉的“老朋友”嗎？

生：有，梯形、長方形、正方形、菱形、平行四邊形。

師：其實，這些有特殊名稱的四邊形，除了有4個角和4條直邊外，還有各自的特點(diǎn)，我們?nèi)匀豢梢詮慕呛瓦吶胧謱λ鼈冞M(jìn)行更深入的研究。

借力點(diǎn)2：收尾延伸，顯“關(guān)系”推理要領(lǐng)

總結(jié)引領(lǐng)：以后我們還會學(xué)習(xí)前面提到的平行四邊形、菱形和梯形，在研究它們時同樣可以從邊、角入手去觀察。這些圖形與我們今天學(xué)過的圖形可能也存在著密不可分的關(guān)系，同樣可以基于關(guān)聯(lián)視角去推理驗證。

平面圖形的特征提煉過程存在相似性，甚至圖形關(guān)系的推理過程也存在相似性，借助語言外顯圖形內(nèi)在的聯(lián)系，能為新知識與新結(jié)論的獲取指明方向和思路，能讓學(xué)生的思維完成從此類到彼類的跨越，進(jìn)而讓演繹推理的遷移有跡可循。

教師在日常教學(xué)中應(yīng)不斷挖掘教材背后的演繹推理，幫助學(xué)生養(yǎng)成抽象辯證的“數(shù)學(xué)眼光”，形成注重邏輯的“數(shù)學(xué)語言”，達(dá)成嚴(yán)謹(jǐn)審慎的“數(shù)學(xué)思維”，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地。

參考文獻(xiàn)：

［1］成婕妤. 小學(xué)生數(shù)學(xué)演繹推理能力發(fā)展研究［D］.上海：上海師范大學(xué)，2022.

［2］祁倩倩. 立足實踐操作，發(fā)展演繹推理能力：以“證明”的教學(xué)為例［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（5）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）