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【摘 要】 為突破幾何圖形分點(diǎn)問題的探究教學(xué)中，折紙數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)操作和尺規(guī)作圖的工具特征所具有的局限性，合理利用網(wǎng)絡(luò)畫板為課堂賦能.通過網(wǎng)絡(luò)畫板演示線段N等分點(diǎn)、圓內(nèi)接正N邊形迭代、圓內(nèi)接黃金矩形展開構(gòu)造等操作，展現(xiàn)分點(diǎn)問題中的精準(zhǔn)作圖和極限思想，實(shí)現(xiàn)直線型和曲線型分點(diǎn)問題的初步探索，幫助學(xué)生找到一條值得推廣的研究思路.

【關(guān)鍵詞】 分點(diǎn)問題；網(wǎng)絡(luò)畫板；有效教學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；尺規(guī)作圖

1 緣起

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的融合，合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，提供豐富的學(xué)習(xí)資源，設(shè)計(jì)生動的教學(xué)活動，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方式方法的變革^[1].由數(shù)學(xué)內(nèi)部出發(fā)，探究幾何圖形分“點(diǎn)”問題，從直線型分點(diǎn)問題（以線段為例）；到曲線型分點(diǎn)問題（以圓為例）.通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和尺規(guī)作圖進(jìn)行探究時(shí)，紙張大小和作圖工具的限制，導(dǎo)致分點(diǎn)問題難以深入.因此，借助網(wǎng)絡(luò)畫板實(shí)現(xiàn)圖形變換可視化，推動深層目標(biāo)的達(dá)成，使學(xué)生綜合運(yùn)用已有知識及思維經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)操作—尺規(guī)作圖—邏輯推理—類比遷移—特殊極限—鞏固應(yīng)用”的完整過程，促進(jìn)問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)育人方式變革與數(shù)學(xué)素養(yǎng)涵育.

2 教學(xué)案例

2.1 操作·初探

師：最愛幾何的人柏拉圖在學(xué)園門口寫了什么？

生：“不懂幾何者，不得入內(nèi).”

師：可見幾何的魅力之大，本課一起探索幾何圖形中的分點(diǎn)問題.先考慮直線型，以線段?AB為例，你能找到線段上哪些特殊點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖 用數(shù)學(xué)文化引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

活動一：中點(diǎn)

師：如何作出線段?AB的中點(diǎn)？

生：用尺量.

度量的精度會隨著工具而改變，所以只能估測.

生：用絲帶折.

當(dāng)兩端重合時(shí)剩余部分也完全重合，但動手操作需有依據(jù).

生：用尺規(guī)作圖.以A，B為圓心，大于12AB長為半徑畫弧，連接交點(diǎn)C，D，CD與AB的交點(diǎn)即為中點(diǎn).

師尺規(guī)教具演示如圖1.

追問：為什么要“大于12AB”？

生：保證有兩個(gè)交點(diǎn).

師：思路很清晰.其他同學(xué)能說出這樣作圖的依據(jù)嗎？

生：（法1）利用全等和等腰三角形三線合一可證.（法2）同半徑畫弧得CA=CB，DA=DB，所以點(diǎn)C，D在線段AB的中垂線上，即CD是AB的中垂線.（法3）菱形對角線互相垂直平分.

師：很棒！重復(fù)此操作，還能類似地找到哪些線段的特殊點(diǎn)？

生：四等分點(diǎn)，八等分點(diǎn)，十六等分點(diǎn)，……，2ⁿ等分點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生熟悉的線段中點(diǎn)問題開啟，動手操作、嚴(yán)謹(jǐn)說理到尺規(guī)作圖、建模推理.重復(fù)操作，由特殊到一般，初步找到一條探索分點(diǎn)問題的綜合性、實(shí)踐性途徑.

2.2 類比·深化

活動二：三等分點(diǎn)

師：還能找到線段的其他特殊點(diǎn)嗎？小組交流合作.

生：通過折紙構(gòu)造三等分點(diǎn).如圖2，將一張紙對折兩次得三條折痕l₁，l₂，l₃，翻折使點(diǎn)B落在折痕l₃上，則AB′與折痕l₁，l₂的交點(diǎn)M，N即為AB′的三等分點(diǎn).

師演示折紙過程并引導(dǎo)學(xué)生闡述依據(jù).

師尺規(guī)教具演示并標(biāo)注推理過程.

設(shè)計(jì)意圖 解釋折紙實(shí)驗(yàn)步驟及操作前后圖形的關(guān)系，探討幾何圖形存在性和結(jié)構(gòu)特征.用尺規(guī)作基本圖形，感悟其合理性和幾何特征，逐步過渡到演繹推理，有效培養(yǎng)思維品質(zhì).

師：易加學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)堂里布置了前學(xué)任務(wù)“用尺規(guī)作圖找線段的三等分點(diǎn)”.老師用網(wǎng)絡(luò)畫板整理了部分同學(xué)的成果，請認(rèn)領(lǐng)并分享你的思路.

設(shè)計(jì)意圖 利用園區(qū)互動教育平臺收集與分享，影響面更大，區(qū)域內(nèi)的學(xué)生能分享研究成果，課前進(jìn)行討論、引發(fā)思考.

生：（法1）如圖4，利用⊙B構(gòu)造△ACD重心.（法2）如圖5，利用⊙A和菱形性質(zhì)構(gòu)造△BCD重心.（法3）如圖6，利用△ACF∽△BEF.

網(wǎng)絡(luò)畫板能節(jié)省課堂時(shí)間，分步呈現(xiàn)作圖思路，強(qiáng)化學(xué)生對邏輯推理的闡述.

師：在三等分點(diǎn)的基礎(chǔ)上還能類似地找到哪些線段的特殊點(diǎn)？

生：六等分點(diǎn)，十二等分點(diǎn)，……，3×2ⁿ等分點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 尺規(guī)作圖是理解幾何對象，啟發(fā)幾何證明的重要工具^[2].利用網(wǎng)絡(luò)畫板動態(tài)演示提高課堂效率，增強(qiáng)互動性和展示性，促進(jìn)有效教學(xué).

活動三：N等分點(diǎn)

師：將上述方法推廣，還能找到哪些特殊點(diǎn)？請同學(xué)來說說想法.

生：推廣折紙實(shí)驗(yàn)，若在三等分點(diǎn)的基礎(chǔ)上取半得6條折痕，將直角頂點(diǎn)翻折到第6條折痕上，線段AB′與前5條折痕的交點(diǎn)即為線段的五等分點(diǎn).

師：還有補(bǔ)充嗎？

生：理論上如圖7，將線段N+1等分會產(chǎn)生N條折痕，直角翻折到第N條折痕上，AB′與前N條折痕的交點(diǎn)即為線段的N等分點(diǎn).

生：理論上利用尺規(guī)作圖和平行線等分原理也能構(gòu)造出線段的N等分點(diǎn).

師：大家的數(shù)學(xué)思維都很嚴(yán)謹(jǐn).那理論上找線段N等分點(diǎn)的方法大家覺得可行嗎？

生：不可行.

受限于紙張大小和工具的精度.借助網(wǎng)絡(luò)畫板向?qū)W生展示線段N等分點(diǎn)的作法，如圖8，9.

師：信息技術(shù)的力量強(qiáng)大嗎？生感嘆：厲害！

用網(wǎng)絡(luò)畫板輔助教學(xué)克服現(xiàn)有工具的弊端，一定范圍內(nèi)能實(shí)現(xiàn)反復(fù)迭代且更為精準(zhǔn).

設(shè)計(jì)意圖 如數(shù)學(xué)中一切的發(fā)生都源自實(shí)際需要，學(xué)生自然在推廣過程中感受紙張大小和作圖工具的限制無法支持多次操作，使得探究分點(diǎn)問題必須引入信息技術(shù)來促進(jìn)有效教學(xué).

2.3 鞏固·延伸

活動四：特殊點(diǎn)

師：在生活生產(chǎn)中不僅等分點(diǎn)具有價(jià)值，還有大家熟悉的特殊點(diǎn)嗎？

生：黃金分割點(diǎn)、白銀分割點(diǎn).

師：請根據(jù)定義，利用素材進(jìn)行嘗試.

生：

用正方形紙片折黃金分割點(diǎn)，如圖10.對折正方形紙片，折痕與AB交于點(diǎn)E.翻折使點(diǎn)C落在DE上，則折痕與BC的交點(diǎn)F即為線段BC的黃金分割點(diǎn).

師：網(wǎng)絡(luò)畫板動態(tài)展示折紙過程并請學(xué)生說出依據(jù).

生：（法1）Rt△FEG和Rt△FBE建立勾股定理方程組.（法2）延長DF交AB延長線于點(diǎn)H，用△DCF∽△HBF可證.

師：還有別的想法嗎？

生：尺規(guī)作圖如圖11，關(guān)鍵在于構(gòu)造黃金比中的√?5，聯(lián)想到勾股定理.設(shè)AB=2，作線段AB的中點(diǎn)C，再過點(diǎn)B的垂線上截取BD=BC=1.連接AD則AD=√?5.以D為圓心，BD長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)E，則DE=BD=1，AE=√?5-1.再以A為圓心，AE長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為AB的黃金分割點(diǎn).以B圓心，AF長為半徑畫弧與AB的交點(diǎn)即為另一個(gè)黃金分割點(diǎn)G.

師：尺規(guī)教具演示并標(biāo)注相關(guān)量.

師：有理有據(jù).在解決幾何問題時(shí)要找到敲開問題的關(guān)鍵.

師：類似地構(gòu)造線段的白銀分割點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)畫板的演示如圖12，請大家課后實(shí)踐.

設(shè)計(jì)意圖 本模塊與前面有唇齒相依的聯(lián)系以及“源”與“流”層面的區(qū)別.聯(lián)系是線段等分問題的思維延續(xù)，又是后續(xù)曲線型問題的猜想依托；區(qū)別是實(shí)現(xiàn)由特殊到一般的歸納、加工與提煉，達(dá)成經(jīng)歷問題解決積淀活動經(jīng)驗(yàn)的目標(biāo)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階.

2.4 拓展·再識

師：類比探究曲線型的分點(diǎn)問題，以圓為例，能找到圓上哪些特殊點(diǎn)？

活動五：圓的等分點(diǎn)

生：對折，任意一條直徑所在直線與圓周交點(diǎn)即為二等分點(diǎn)，對折兩次得四等分點(diǎn)，以此類推.

生：作角平分線.

生：尺規(guī)作圖如圖13，構(gòu)造六等分點(diǎn)，間隔取點(diǎn)得三等分點(diǎn).

師：大家的思路都很開闊，那有沒有不能等分的情況呢？小組交流討論.

生：能等分圓心角就能找到圓的等分點(diǎn)，但尺規(guī)作圖和折紙實(shí)驗(yàn)的精度有限，都不能任意等分圓心角.

師：大家有什么想法嗎？生齊答：網(wǎng)絡(luò)畫板.

活動六：圓的

N等分點(diǎn)

師：看來信息技術(shù)提供了探索數(shù)學(xué)的新途徑.

如圖14，將圓心角任意等分構(gòu)造圓內(nèi)接正N邊形，圓上的點(diǎn)即為N等分點(diǎn).如圖15，16，通過將半徑這條線段等分，也能近似找到圓的N等分點(diǎn).

師：雖然信息技術(shù)也無法將操作無限次地進(jìn)行下去，但某種意義上拓寬了數(shù)學(xué)研究范疇.

設(shè)計(jì)意圖 憑感覺尺規(guī)作圖未必能提供理論依據(jù)；不成熟的折紙操作未必能解釋合理性.但從線段到圓的探究，使理性思維不斷生長，一些天然留白能延伸學(xué)生思維的時(shí)空.

2.5 應(yīng)用·思考

活動七：圓的特殊點(diǎn)

師：分析問題、解決問題很重要，但發(fā)現(xiàn)問題、提出問題同樣重要，還能研究什么呢？

生：仿照線段研究圓的內(nèi)接黃金矩形.

師：大家覺得這個(gè)問題怎么樣？生齊答：好！小組討論.

生：圓是曲線比較困難，但把圓周拉直，線段的黃金分割點(diǎn)很容易.

網(wǎng)絡(luò)畫板如圖17將圓周展開，如圖18，用尺規(guī)作圖的原理作出拉直后圓周的黃金分割點(diǎn)，如圖19，拖動圓心將圓周繞回，當(dāng)與線段黃金分割點(diǎn)重合時(shí)，近似得到圓內(nèi)接黃金矩形.

師：圓內(nèi)接白銀矩形的探索留做課后學(xué)習(xí)資源.

設(shè)計(jì)意圖 在變式視角下，經(jīng)歷問題的細(xì)化—分離—變換，從而達(dá)成問題的生長解決、提煉解釋、再次解決，實(shí)質(zhì)性地獲取探究分點(diǎn)問題的方法經(jīng)驗(yàn)，提升內(nèi)在意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.6 小結(jié)·展望

分享數(shù)學(xué)家高斯用尺規(guī)作圖作圓的十七等分點(diǎn)的python語言作圖視頻.

師：本節(jié)課有什么收獲和疑惑？

生：尺規(guī)作圖和折紙實(shí)驗(yàn)都要需要邏輯推理來支撐.

生：從紙筆到工具再到網(wǎng)絡(luò)畫板，研究數(shù)學(xué)的方式不斷變革，研究的壁壘不斷突破，在挑戰(zhàn)未知極限時(shí)感受到數(shù)學(xué)的魅力.

設(shè)計(jì)意圖 幾何圖形分點(diǎn)問題的探究過程的關(guān)鍵：活動必須是一個(gè)過程且是一個(gè)緩慢的過程，需要耗時(shí)耗力和足夠的期待^[3]，“慢”讓學(xué)生學(xué)得踏實(shí)，學(xué)得實(shí)在.

2.7 板書設(shè)計(jì)

3 教學(xué)感悟

3.1 信息技術(shù)是促進(jìn)有效教學(xué)的必然選擇

利用可視化軟件網(wǎng)絡(luò)畫板完成線段

N等分點(diǎn)、圓內(nèi)接正N

邊形迭代、圓內(nèi)接黃金矩形展開構(gòu)造等操作，這樣的精準(zhǔn)作圖和極限思想，是傳統(tǒng)的黑板粉筆、直尺圓規(guī)難以呈現(xiàn)的.用動態(tài)幾何軟件除了便捷的作圖方式和強(qiáng)大的變換功能外，還能提供高度的互動性，課中將圖形作圖的過程分步驟解析，按照所需目標(biāo)和想法操作幾何對象，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)證明.節(jié)約幾何作圖時(shí)間，更能推進(jìn)對幾何性質(zhì)的猜想、討論、證明的深入學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.同時(shí)，加深學(xué)生對幾何圖形及其創(chuàng)生規(guī)律的理解，為學(xué)習(xí)幾何概念和結(jié)構(gòu)創(chuàng)造環(huán)境.

3.2 有效教學(xué)是信息技術(shù)融合的應(yīng)然追求

信息技術(shù)的教學(xué)融合應(yīng)對各個(gè)環(huán)節(jié)起優(yōu)化作用^[4]，把學(xué)習(xí)空間還給學(xué)生，有效地促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，主動發(fā)展，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.通過網(wǎng)絡(luò)畫板動態(tài)演示折紙實(shí)驗(yàn)和尺規(guī)作圖，讓學(xué)生把握圖形的運(yùn)動變化規(guī)律，經(jīng)歷將問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程.信息技術(shù)融入教學(xué)能激活數(shù)學(xué)教學(xué)，化靜態(tài)為動態(tài)，化抽象為具體，化被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，真正達(dá)到教學(xué)過程的最優(yōu)化.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不再是單點(diǎn)的知識發(fā)展，而是知識、能力和經(jīng)驗(yàn)的面狀發(fā)展，在積累知識和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，有效提升數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，突破幾何學(xué)習(xí)的抽象壁壘.

參考文獻(xiàn)

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[2]李正輝.有趣的尺規(guī)作圖：求作給定線段的三等分點(diǎn)[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（Z2）：50-52.

[3]朱桂鳳，孫朝仁.數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課的設(shè)計(jì)與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（06）：23-25.

[4]邱廷建.淺談信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的有效融合[J].小學(xué)教學(xué)研究，2016（01）：15-18.

作者簡介 蔣余希（1996—），女，江蘇蘇州人，中學(xué)二級教師，李明樹（初中數(shù)學(xué)）名師工作坊成員.

李明樹（1977—），男，江蘇蘇州人，中學(xué)高級教師，蘇州工業(yè)園區(qū)初中數(shù)學(xué)兼職教研員，李明樹（初中數(shù)學(xué)）名師工作坊主持人;榮獲蘇州市教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)，主持或參與各級規(guī)劃（重點(diǎn)）課題14項(xiàng)；發(fā)表文章近40篇，其中3篇被中國人民大學(xué)《復(fù)印報(bào)刊資料·初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.