【摘 要】 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》新增“四分位數(shù)與箱線圖”內(nèi)容，箱線圖是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的專(zhuān)用名詞，這便給教師的教學(xué)帶來(lái)新挑戰(zhàn).從大數(shù)據(jù)時(shí)代發(fā)展的需要與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容發(fā)展的需要兩方面分析增加該內(nèi)容的教育價(jià)值；介紹箱線圖的定義、畫(huà)法、應(yīng)用，通過(guò)實(shí)例說(shuō)明箱線圖在計(jì)算量較小與直觀展示數(shù)據(jù)分布情況的優(yōu)勢(shì)，并闡述新增“四分位數(shù)與箱線圖”給筆者帶來(lái)的教學(xué)啟示.

【關(guān)鍵詞】 新課標(biāo)；統(tǒng)計(jì)與概率；四分位數(shù)；箱線圖；數(shù)據(jù)觀念

1 研究緣起

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域新增“會(huì)計(jì)算四分位數(shù)，了解四分位數(shù)與箱線圖的關(guān)系，感悟百分位數(shù)的意義”^[1]，這與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域中“結(jié)合實(shí)例能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義”相銜接，由此可見(jiàn)，此次2022版新課標(biāo)非常重視初中、高中“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域內(nèi)容的銜接，學(xué)生在初中階段對(duì)四分位數(shù)、百分位數(shù)、箱線圖的理解會(huì)直接影響高中階段“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的學(xué)習(xí).下文將分析初中階段增加該內(nèi)容帶來(lái)的教育價(jià)值；介紹箱線圖的定義、畫(huà)法、應(yīng)用，并闡述新增“四分位數(shù)與箱線圖”內(nèi)容給筆者帶來(lái)的教學(xué)啟示.

2 “四分位數(shù)與箱線圖”的教育價(jià)值

2.1 大數(shù)據(jù)時(shí)代發(fā)展的需要

2012年7月，聯(lián)合國(guó)發(fā)布《大數(shù)據(jù)促發(fā)展：挑戰(zhàn)與機(jī)遇》白皮書(shū)，提及“大數(shù)據(jù)時(shí)代已然來(lái)臨，大數(shù)據(jù)的產(chǎn)生會(huì)給社會(huì)諸多領(lǐng)域帶來(lái)深遠(yuǎn)影響.隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的飛速發(fā)展，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)正悄無(wú)聲息成為現(xiàn)代公民社會(huì)生存的關(guān)鍵能力”.箱線圖是統(tǒng)計(jì)圖中的一種，應(yīng)用箱線圖能有效解決不同領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題，例如，楊帆^[2]等應(yīng)用箱線圖對(duì)大曲質(zhì)量進(jìn)行分析；吳九牛^[3]等應(yīng)用箱線圖提出一種插值方法檢測(cè)機(jī)動(dòng)車(chē)尾氣NO_x氣體的含量；魯俊^[4]等應(yīng)用箱線圖對(duì)新生兒出生缺陷的發(fā)病率進(jìn)行預(yù)測(cè)，等等.大數(shù)據(jù)已經(jīng)成為繼科學(xué)實(shí)驗(yàn)、理論科學(xué)與計(jì)算科學(xué)的第四范式^[5].

2.2 數(shù)學(xué)課程內(nèi)容發(fā)展的需要

2022版新課標(biāo)在“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域?qū)W業(yè)要求中新增“知道百分位數(shù)和四分位數(shù)，能計(jì)算一組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)，知道箱線圖可以直觀反映數(shù)據(jù)分布的信息”.首先，回顧兩個(gè)能刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的特征值——極差、方差，數(shù)據(jù)的離散程度是數(shù)據(jù)分布的特征之一，它反映的是每一個(gè)數(shù)值與“中心值”的偏離程度.極差在一定程度上刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的離散程度，但是它僅反映出這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍，不能反映中間數(shù)據(jù)的離散程度.比較兩組數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差都相等，此時(shí)就不能較好地區(qū)分兩組數(shù)據(jù)的離散程度，于是引入方差，方差是刻畫(huà)這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)值與“中心值”的離散程度，值得注意的是，方差的“中心值”是平均數(shù)，但是，平均數(shù)容易受到極端值的影響，所以有時(shí)用平均數(shù)作為“中心值”會(huì)出現(xiàn)“失真”現(xiàn)象.通常情況下，極差、方差能夠刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的離散程度.通過(guò)箱線圖也能夠觀察出一組數(shù)據(jù)的離散程度，既然義務(wù)教育階段有能夠刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的特征值，為何還要引入箱線圖呢？箱線圖是統(tǒng)計(jì)圖中的一種，通過(guò)箱線圖能夠直接觀察出這組數(shù)據(jù)中的異常值及數(shù)據(jù)的離散程度，且計(jì)算量較小，這樣就彌補(bǔ)了以往教學(xué)中從“形”上直觀感知數(shù)據(jù)離散程度的“遺憾”.箱線圖的“中心值”是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，相對(duì)而言，用箱線圖直觀描述這組數(shù)據(jù)的離散程度會(huì)比較合理；當(dāng)對(duì)比多組數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，應(yīng)用箱線圖會(huì)更方便，也會(huì)更加直觀.下面，介紹箱線圖的定義、四分位數(shù)與百分位數(shù)、箱線圖的作圖步驟，并以筆者兩個(gè)班級(jí)的期末考試成績(jī)?yōu)槔?，說(shuō)明箱線圖在實(shí)際中的應(yīng)用.

3 箱線圖、四分位數(shù)與百分位數(shù)

3.1 箱線圖的定義

1977年，美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家約翰·圖基提出一種用于顯示數(shù)據(jù)分布特征的統(tǒng)計(jì)方法——箱線圖，箱線圖的形狀形如箱子，因故得名.箱線圖是一種利用最小值、下四分位數(shù)、中位數(shù)、上四分位數(shù)和最大值來(lái)描述數(shù)據(jù)分布特征的統(tǒng)計(jì)圖^[6]，這也是四分位數(shù)與箱線圖的關(guān)系.

3.2 四分位數(shù)與百分位數(shù)

什么是四分位數(shù)呢？首先需要了解百分位數(shù)，因?yàn)樗姆治粩?shù)是在百分位數(shù)上建立起來(lái)的.百分位數(shù)又稱(chēng)百分位分?jǐn)?shù)，它是一類(lèi)統(tǒng)計(jì)量，把一列數(shù)從小到大排列，并計(jì)算相應(yīng)的累計(jì)百分位，則某一百分位所對(duì)應(yīng)的數(shù)就稱(chēng)為這一百分位的百分位數(shù).具體來(lái)說(shuō)，有一組數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列，用99個(gè)數(shù)值把這組數(shù)100等分，這99個(gè)數(shù)值就稱(chēng)為百分位數(shù)，為了表示方便，用P₁，P₂，…，P₉₉表示第1、第2、……、第99百分位數(shù)，顯而易見(jiàn)，P₅₀表示這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)，即中位數(shù)；中位數(shù)將這組數(shù)據(jù)分為兩個(gè)部分，將這兩組數(shù)據(jù)分別記作S，T，用P₂₅，P₇₅分別表示S，T的中位數(shù)，所有數(shù)據(jù)中，小于或等于P₂₅的數(shù)占25%，小于或等于P₅₀的數(shù)占50%，小于或等于P₇₅的數(shù)占75%，那么P₂₅，P₅₀，P₇₅就把這組數(shù)的個(gè)數(shù)平均分成四份，P₂₅，P₅₀，P₇₅這三個(gè)數(shù)值稱(chēng)為四分位數(shù)，特別地，P₂₅稱(chēng)為下四分位數(shù)，P₇₅稱(chēng)為上四分位數(shù)，這也是四分位數(shù)的計(jì)算方法.2022版新課標(biāo)在“統(tǒng)計(jì)與概率”的學(xué)業(yè)要求中指出，“知道百分位數(shù)和四分位數(shù)，能計(jì)算一組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)，知道箱線圖可以直觀反映數(shù)據(jù)分布的信息”，并且新課標(biāo)在附錄部分以一個(gè)實(shí)例（例86）讓學(xué)生感悟箱線圖的學(xué)習(xí)價(jià)值.在初中學(xué)段，對(duì)于百分位數(shù)的學(xué)業(yè)要求僅在“知道”層面，學(xué)生到高中學(xué)段，會(huì)詳細(xì)學(xué)習(xí)如何計(jì)算第幾百分位數(shù)，此文不再贅述第幾百分位數(shù)的計(jì)算方法，感興趣的讀者可查閱人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（2019年版）“9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)”.

3.3 箱線圖的作圖步驟

通過(guò)上文描述可知，箱線圖是一種利用最小值、下四分位數(shù)、中位數(shù)、上四分位數(shù)和最大值來(lái)描述數(shù)據(jù)分布特征的統(tǒng)計(jì)圖.箱線圖不僅需要計(jì)算四分位數(shù)，還需要計(jì)算下邊界（最小值）、上邊界（最大值）、異常值，但是這些特征值的計(jì)算量都比較小，箱線圖示例如圖1所示.上文介紹過(guò)四分位數(shù)的求法，這里不再贅述，下面介紹下邊界（最小值）、上邊界（最大值）、異常值的計(jì)算方法，計(jì)算這三個(gè)特征值時(shí)需要先計(jì)算四分位差（簡(jiǎn)稱(chēng)“IQR”），四分位差（IQR）＝上四分位數(shù)（P₇₅）－下四分位數(shù)（P₂₅），下邊界（最小值）＝P₂₅－1.5IQR，上邊界（最大值）＝P₇₅＋1.5IQR，規(guī)定大于上邊界（最大值）或小于下邊界（最小值）的值都稱(chēng)為異常值.箱線圖的作圖步驟如下：

1）將一組數(shù)據(jù)按照從小到大順序進(jìn)行排列；

2）找到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)將這組數(shù)據(jù)分為兩個(gè)部分，再繼續(xù)找出這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，于是得到下四分位數(shù)、中位數(shù)、上四分位數(shù)；

3）計(jì)算：四分位差（IQR）＝P₇₅－P₂₅，下邊界（最小值）＝P₂₅－1.5IQR，上邊界（最大值）＝P₇₅＋1.5IQR；

4）畫(huà)出數(shù)軸，畫(huà)出上邊界、上四分位數(shù)、中位數(shù)、下四分位數(shù)、下邊界、觸須線、箱體，標(biāo)出異常值（通常用空心圓表示）.

3.4 箱線圖的應(yīng)用

下面，以筆者任教的兩個(gè)班級(jí)某次期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)（表1、表2）為例，應(yīng)用箱線圖對(duì)兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析.

筆者所在學(xué)校是均衡分班，每個(gè)班級(jí)的平均水平相當(dāng).A班、B班本次期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分分別是77.98分、78.07分，從平均分的視角來(lái)看，兩個(gè)班級(jí)的平均水平相當(dāng)；但是從中位數(shù)的視角來(lái)看，能夠從箱線圖上直觀看出B班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)高于A班，B班平均水平略高一些.按照上述畫(huà)箱線圖的過(guò)程，繪制出A班、B班本次期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)箱線圖（圖2），不用計(jì)算A班、B班期末數(shù)學(xué)成績(jī)的方差，通過(guò)箱線圖可以直接觀察出A班的箱體高度比B班的箱體高度矮，說(shuō)明A班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)波動(dòng)性小，數(shù)據(jù)更聚集，大部分學(xué)生的成績(jī)相差不大；相比較而言，B班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)波動(dòng)性相對(duì)較大，數(shù)據(jù)也就相對(duì)較為分散，B班級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科上的發(fā)展有兩極分化的趨勢(shì).從箱線圖上顯示出A班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)有3個(gè)異常值，B班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)有2個(gè)異常值.通過(guò)上述對(duì)數(shù)據(jù)的分析，提示筆者需要關(guān)注B班級(jí)學(xué)生兩極分化的原因，尋找縮小B班級(jí)學(xué)生內(nèi)部差距的策略，后續(xù)教師要根據(jù)班級(jí)情況進(jìn)行差異化教學(xué)，避免出現(xiàn)“兩班一教案”現(xiàn)象，同時(shí)也需要關(guān)注異常值所對(duì)應(yīng)的學(xué)生，要給他們更有針對(duì)性的學(xué)習(xí)建議.

4 教學(xué)啟示

4.1 善用統(tǒng)計(jì)圖（表）描述數(shù)據(jù)，順應(yīng)時(shí)代變革

數(shù)據(jù)觀念包括數(shù)據(jù)感知力、數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)據(jù)的質(zhì)疑能力^[7]，其中，能夠運(yùn)用統(tǒng)計(jì)圖（表）整理、描述數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)處理能力的具體表征.初中數(shù)學(xué)教材中常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)圖（表）有條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、散點(diǎn)圖、頻數(shù)（率）分布表、頻數(shù)（率）分布直方圖，到高中學(xué)段學(xué)生還會(huì)學(xué)習(xí)莖葉圖，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中新增箱線圖內(nèi)容，這并非偶然，上文介紹可知，箱線圖對(duì)各個(gè)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)分析體現(xiàn)出重要的應(yīng)用價(jià)值，新增該內(nèi)容是順應(yīng)大數(shù)據(jù)時(shí)代變革的需要.箱線圖具有計(jì)算量較小與直觀展示數(shù)據(jù)分布情況的優(yōu)勢(shì)，還能夠快速發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)的異常值，尤其是對(duì)多組數(shù)據(jù)的分布特征進(jìn)行比較時(shí)，更能凸顯出箱線圖的優(yōu)勢(shì).但是，箱線圖也不是“萬(wàn)能圖”，箱線圖僅從宏觀層面展示數(shù)據(jù)的分布情況，如果要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行更精準(zhǔn)的分析，還需要借助其它統(tǒng)計(jì)圖（表），例如，上文應(yīng)用箱線圖分析兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，只是對(duì)數(shù)據(jù)的分布情況進(jìn)行了大致分析，如果還要更精確地分析兩個(gè)班級(jí)的成績(jī)，課堂上可以借助該實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合柱狀圖（圖3）進(jìn)行精確分析，從柱狀圖上能直觀看出B班級(jí)90分以上的學(xué)生比A班級(jí)多4人，提醒教師要注重A班級(jí)優(yōu)等生的培養(yǎng)，B班級(jí)50分以下的學(xué)生比A班級(jí)多2人，教師要關(guān)注B班級(jí)薄弱生的指導(dǎo)，結(jié)合柱狀圖能夠更進(jìn)一步對(duì)兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，能夠更精準(zhǔn)地找到本班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的增長(zhǎng)點(diǎn)，同時(shí)也有助于教學(xué)相長(zhǎng).通過(guò)這個(gè)實(shí)例可以發(fā)現(xiàn)，僅依靠一個(gè)統(tǒng)計(jì)圖（表）進(jìn)行分析成績(jī)往往是不夠精準(zhǔn)的，因此，教學(xué)中需要幫助學(xué)生厘清不同統(tǒng)計(jì)圖（表）的優(yōu)勢(shì)與不足，用統(tǒng)計(jì)圖（表）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行表達(dá)時(shí)做到有的放矢，培養(yǎng)學(xué)生能應(yīng)用不同統(tǒng)計(jì)圖（表）描述數(shù)據(jù)，為精準(zhǔn)分析數(shù)據(jù)提供支持，發(fā)揮統(tǒng)計(jì)圖（表）更大的價(jià)值.

4.2 善用數(shù)據(jù)“說(shuō)話”，培養(yǎng)數(shù)據(jù)觀念

4.2.1 遇到問(wèn)題能想到“數(shù)據(jù)”

2016年12月，工信部正式印發(fā)了《大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2016—2020）》，規(guī)劃指出數(shù)據(jù)是國(guó)家基礎(chǔ)性戰(zhàn)略資源，大數(shù)據(jù)將為新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)形態(tài)的發(fā)展提供機(jī)遇，是21世紀(jì)的“鉆石礦”.2022版新課標(biāo)前言部分指出，必須進(jìn)一步明確“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰(shuí)培養(yǎng)人”.當(dāng)今世界科技進(jìn)步日新月異，課程內(nèi)容也必須與時(shí)俱進(jìn)，教師的教學(xué)理念也需要不斷更新迭代，數(shù)據(jù)觀念的培養(yǎng)不能局限于課堂教學(xué)中，應(yīng)該要滲透在學(xué)生的日常生活中.例如，筆者班級(jí)有學(xué)生提出數(shù)學(xué)考試時(shí)間不夠用的煩惱，面對(duì)這樣一個(gè)問(wèn)題，部分學(xué)生就去盲目刷題，耗時(shí)耗力，效果也不理想，當(dāng)學(xué)生在生活中遇到不能解決的問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生積累一些數(shù)據(jù)去進(jìn)行改進(jìn).比如記錄每一次作業(yè)的所用時(shí)間，甚至可以記錄每一次作業(yè)每一道題目的所用時(shí)間，找出是哪些類(lèi)型的題目耗時(shí)較長(zhǎng)，再去尋找改進(jìn)策略，改進(jìn)后繼續(xù)跟蹤解決同類(lèi)型問(wèn)題的耗時(shí)是否有所改善，應(yīng)用學(xué)生真實(shí)面臨的困惑為載體，逐步讓學(xué)生想著用數(shù)據(jù)去解決日常生活中的問(wèn)題，在解決問(wèn)題過(guò)程中親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)的“收集、整理、描述、分析”過(guò)程，潛移默化培養(yǎng)數(shù)據(jù)觀念.同樣，教師遇見(jiàn)困惑后也應(yīng)該嘗試應(yīng)用數(shù)據(jù)去尋找策略，例如上文案例中筆者應(yīng)用不同的統(tǒng)計(jì)圖對(duì)學(xué)生期末考試成績(jī)進(jìn)行分析，并嘗試記錄應(yīng)用數(shù)據(jù)解決問(wèn)題的感悟，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念會(huì)更貼切，更能與時(shí)代接軌.換而言之，培養(yǎng)學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)能想到應(yīng)用“數(shù)據(jù)”進(jìn)行研究，教師首先需要有這樣的意識(shí).

4.2.2 能分析數(shù)據(jù)，進(jìn)行決策

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中新增“理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義”，由此可見(jiàn)，統(tǒng)計(jì)量的含義得到足夠的重視，打破了以往教學(xué)中“統(tǒng)計(jì)等同于數(shù)的運(yùn)算”的現(xiàn)象，能根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的含義看到數(shù)據(jù)背后的故事，這為人們研究微觀世界提供了一種手段.近兩年，根據(jù)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征解釋某一現(xiàn)象或進(jìn)行決策的中考試題越來(lái)越多.例如2023年廣東省中考試卷第21題，這道題目第1問(wèn)要求學(xué)生找出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，第2問(wèn)要求學(xué)生應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，幫助小紅分析如何選擇乘車(chē)線路.此題的背景貼近實(shí)際，是學(xué)生生活中的常見(jiàn)問(wèn)題，通過(guò)這樣的問(wèn)題能夠從真正意義上考察學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).與前兩年中考統(tǒng)計(jì)試題相比，類(lèi)似于這樣的試題在2023年中考試題中大幅度增加.例如廣西省中考試卷第21題、甘肅省白銀市中考試卷第23題、內(nèi)蒙古包頭市中考試卷第19題、浙江省溫州市中考試卷第19題等，感興趣的讀者可進(jìn)行查閱.四分位數(shù)與箱線圖是2022版新課標(biāo)中新增的內(nèi)容，各版本教材還沒(méi)有更新，但是教師的教學(xué)理念應(yīng)該順應(yīng)時(shí)代發(fā)展，建議教師在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模塊的教學(xué)時(shí)，依據(jù)2022版新課標(biāo)的要求對(duì)該部分內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)充.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介 高凱亮（1995—），男，貴州六盤(pán)水人，本科學(xué)歷，中學(xué)二級(jí)教師，南京市江北新區(qū)初中數(shù)學(xué)工作坊核心成員；主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，熱衷于研究教師如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與深度思考的方法探究，并在實(shí)踐中取得一定經(jīng)驗(yàn)與成果;在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)期刊發(fā)表論文近20篇;榮獲南京市江北新區(qū)第三屆“教育科研成果創(chuàng)新獎(jiǎng)”特等獎(jiǎng).