張琳玲，冉勝利，張轉(zhuǎn)周

（1.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州 遵義 563006）

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的深入，學(xué)科的交叉與融合成為一個必然的趨勢。通過數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的融合，創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科情境，發(fā)展跨學(xué)科思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”。[1]可見，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境與提出數(shù)學(xué)問題對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著不可或缺的作用。但是實(shí)際課堂中存在情境不夠真實(shí)、有時浮于表面、問題不深刻、流于形式等現(xiàn)象，不能有效促進(jìn)學(xué)生理解性學(xué)習(xí)和激發(fā)學(xué)生解決問題的熱情。為此，以“指數(shù)函數(shù)的概念”內(nèi)容為例，談?wù)剬﹂_展跨學(xué)科“情境―問題”教學(xué)的幾點(diǎn)認(rèn)識與思考。

一、“三教”理念與跨學(xué)科“情境―問題”教學(xué)

呂傳漢教授[2]提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中教思考、教體驗、教表達(dá)（簡稱“三教”）的教育理念，嘗試用“三教”引領(lǐng)“情境―問題”教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！敖趟伎肌保础跋霐?shù)學(xué)”，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動，促進(jìn)學(xué)生思辨能力的發(fā)展；“教體驗”，即“做數(shù)學(xué)”，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)活動體驗，促進(jìn)學(xué)生個體經(jīng)驗的獲得；“教表達(dá)”，即“說數(shù)學(xué)”，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，促進(jìn)學(xué)生的思維活動。[2]

跨學(xué)科“情境―問題”教學(xué)是在“情境―問題”教學(xué)模式的基礎(chǔ)上，對情境外延做拓展，即基于其他學(xué)科背景進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)并提出問題，情境內(nèi)容蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)本質(zhì)，需要學(xué)生轉(zhuǎn)換思維方式和分析視角，建立起跨學(xué)科情境與數(shù)學(xué)問題之間的橋梁，從而打破學(xué)科之間的壁壘，豐富學(xué)生的直接體驗和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

跨學(xué)科“情境―問題”教學(xué)是“三教”理念的重要載體，而“三教”理念引領(lǐng)跨學(xué)科情境的創(chuàng)設(shè)。所以，基于“三教”理念的跨學(xué)科“情境―問題”教學(xué)旨在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和參與度[3]，幫助學(xué)生運(yùn)用多個學(xué)科觀念思考和解決問題，使學(xué)生深入思考、深刻體驗、精準(zhǔn)表達(dá)，進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)科理解，達(dá)到“活知識”與“活技能”。

二、教學(xué)案例分析

立足雙新課程，根據(jù)人教版新教材關(guān)于函數(shù)主題的編排順序和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》[1]關(guān)于指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)要求，基于“三教”理念創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科情境開展“指數(shù)函數(shù)的概念”的教學(xué)，更新教育觀念，促使學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式。

（一）創(chuàng)設(shè)情境——深入思考，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

創(chuàng)設(shè)情境旨在激發(fā)學(xué)生興趣和確定問題解決的方向。因此，跨學(xué)科情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)當(dāng)緊扣數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，其難點(diǎn)在于如何從其他學(xué)科中汲取合適的情境，并引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考和解讀情境，將跨學(xué)科情境問題轉(zhuǎn)化為與數(shù)學(xué)知識本質(zhì)相契合的數(shù)學(xué)問題。

典故 少年：“讀書有什么妙法？”

陶淵明：“學(xué)習(xí)并沒有什么妙法，只有笨法子，必須下苦功，勤學(xué)則進(jìn)，輟學(xué)則退！”

名言 勤學(xué)如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學(xué)如磨刀之石，不見其損，日有所虧?！諟Y明

設(shè)計意圖：教師以講述陶淵明勸學(xué)典故創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科情境，此情境與該年齡段學(xué)生的實(shí)際想法相吻合，能激發(fā)學(xué)生的思維活力，主動參與學(xué)習(xí)并融入情境中去，讓學(xué)生置身于“少年”角色，使學(xué)習(xí)者角色化，深入思考“讀書妙法”的問題，理解情境的內(nèi)涵。

思考1 你能從數(shù)學(xué)的角度解讀陶淵明先生的勸學(xué)名言嗎？

問題1 如果每天進(jìn)步1%，進(jìn)步結(jié)果y 與天數(shù)x 的關(guān)系是什么？

問題2 如果每天退步1%，退步結(jié)果y 與天數(shù)x 的關(guān)系是什么？

請同學(xué)們思考并填入表1：

表1

設(shè)計意圖：學(xué)生在初步感知了情境的內(nèi)涵和名言警句的含義之后，教師再拋出問題，引導(dǎo)學(xué)生變化思路，從數(shù)學(xué)的角度思考問題，能更好地把握其數(shù)學(xué)本質(zhì)，抽象數(shù)學(xué)關(guān)系式，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。學(xué)生通過問題1 和問題2 的指引，嘗試完成表格，在填寫表格的過程中感受進(jìn)步結(jié)果與退步結(jié)果的變化趨勢。同時，兩句名言的內(nèi)涵也正好與指數(shù)函數(shù)的變化相呼應(yīng)，反映出不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)變化趨勢，為后續(xù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí)做鋪墊。學(xué)生從語文和數(shù)學(xué)的學(xué)科角度思考問題并表述自己的想法，發(fā)展跨學(xué)科思維。

（二）形成概念——類比討論，抽象本質(zhì)屬性

概念的形成需要學(xué)生對情境充分體驗后再對問題進(jìn)行辨別，接著類化共同屬性和抽象本質(zhì)屬性，最后概括形成概念并符號化。這是知識的發(fā)生發(fā)展過程，學(xué)生需要基于已有的知識經(jīng)驗不斷反復(fù)地對問題進(jìn)行分析與判斷，類比推理，從而建構(gòu)新舊知識的聯(lián)系。

討論1 上述兩個關(guān)系式中，變量y是變量x的函數(shù)嗎？

討論2 它們與冪函數(shù)的區(qū)別是什么？它們在結(jié)構(gòu)上有什么共同特征？

設(shè)計意圖：學(xué)生經(jīng)歷了“填表”之后，組織學(xué)生小組討論，教師稍加提示，便能得出關(guān)于“勤學(xué)”與“輟學(xué)”的兩個數(shù)學(xué)關(guān)系式并清晰快速地確定兩者皆為函數(shù)。此時學(xué)生已經(jīng)將晦澀的古詩詞抽象為數(shù)學(xué)關(guān)系式，鑒于冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)在知識點(diǎn)和結(jié)構(gòu)上有一定的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生將二者作比較，得出關(guān)系式的異同，再對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析并得出結(jié)構(gòu)的共同特征。

思考2 為使函數(shù)應(yīng)用更廣泛，當(dāng)x 取全體實(shí)數(shù)時，底數(shù)的取值范圍有限制嗎？

思考3 你能類比冪函數(shù)的定義，歸納概括指數(shù)函數(shù)的概念嗎？

設(shè)計意圖：“討論”與“思考”環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)、不斷深入。指數(shù)函數(shù)底數(shù)的取值范圍的討論是教學(xué)難點(diǎn)之一，對定義域的范圍進(jìn)行擴(kuò)充，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其限制范圍，為完善定義做好鋪墊，加深對分類討論思想方法的理解。學(xué)生通過類比的方法自主概括出指數(shù)函數(shù)的概念，在類比的過程中組織和規(guī)范語言，進(jìn)而讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)。

（三）回歸情境——嘗試表達(dá)，提升文化素養(yǎng)

情境的作用并不只是簡單地引入課題，學(xué)生應(yīng)當(dāng)是在情境中學(xué)有所悟，悟有所得。學(xué)生基于情境得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識與模型后，應(yīng)再次回歸于情境之中加以應(yīng)用，即強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)。學(xué)生在表達(dá)中思辨、深化理解，以思考推動自己主觀體驗與感受。

問題3 當(dāng)x=365 時，請分別求出兩個函數(shù)的函數(shù)值。

設(shè)計意圖：學(xué)生嘗試計算結(jié)果，在具體的計算中比對表格發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)的變化趨勢，一個函數(shù)值是在不斷地增大，另一個在不斷地減小，從而確定“進(jìn)步”與“退步”兩者之間的巨大差異，在具體操作中感受數(shù)學(xué)所刻畫的客觀事實(shí)。

問題4 結(jié)合你的計算結(jié)果，談一談你對陶淵明勸學(xué)名言的理解。

設(shè)計意圖：學(xué)生將具體的函數(shù)值與晦澀的古詩詞相對應(yīng)起來，即用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，可以更加深刻地理解其含義，并結(jié)合數(shù)學(xué)與語文的學(xué)科特征表達(dá)自己的觀點(diǎn)，增強(qiáng)孜孜不倦的學(xué)習(xí)信念，豐富文化素養(yǎng)。

（四）動手實(shí)踐——加深體驗，鞏固概念理解

根據(jù)教材“閱讀與思考”欄目中“放射性物質(zhì)的衰減”這一閱讀材料設(shè)計跨學(xué)科相關(guān)的典型例題，學(xué)生用跨學(xué)科思維解決問題，進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。通過數(shù)學(xué)活動進(jìn)行猜想與操作，體驗從具體到抽象的過程，感悟其中蘊(yùn)含的思想方法和知識本質(zhì)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感受數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義。同時引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行應(yīng)用，自主構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，加深對概念的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

例1 生物死亡后機(jī)體內(nèi)原有的碳14 含量會按比例衰減，大約每經(jīng)過5730 年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”。按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14 含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

設(shè)計意圖：放射性物質(zhì)碳14 含量的衰減是物理現(xiàn)象，其含量變化是指數(shù)函數(shù)的典型例題，題目中信息量較大，概念較多，當(dāng)學(xué)生初步形成了對指數(shù)函數(shù)概念的理解之后再進(jìn)行探究，能較為清晰地分析出該題目的問題結(jié)構(gòu)和抽象出數(shù)學(xué)模型，感受指數(shù)函數(shù)的科學(xué)價值。

活動與猜想 一張紙，將之對折，厚度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，假設(shè)一張紙的厚度約為0.1 毫米，不斷對折后其厚度會發(fā)生什么變化？（教師播放視頻：紙張對折103 次，厚度將超過宇宙；同時展示相關(guān)數(shù)據(jù)：對折次數(shù)、紙的層數(shù)）

問題5 在折紙活動中，蘊(yùn)含著函數(shù)模型，同學(xué)們能不能從中提煉出函數(shù)關(guān)系呢？

問題6 觀看視頻，這個函數(shù)值有什么特征呢？

問題7 在折紙活動中，折疊后紙的面積也會隨之變化，其中蘊(yùn)含的函數(shù)模型同學(xué)們知道是什么嗎？

設(shè)計意圖：指數(shù)函數(shù)的變化速率也是指數(shù)函數(shù)的一大特征，純粹的數(shù)字并不能給學(xué)生帶來直觀的感受與體驗，學(xué)生通過折紙實(shí)驗和觀看視頻感受指數(shù)函數(shù)的變化速率，再次經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的過程，加深對指數(shù)函數(shù)特征的體驗和理解。

（五）升華理解——落實(shí)三教，浸潤思想德育

跨學(xué)科情境的創(chuàng)設(shè)融入了其他的學(xué)科觀念，讓學(xué)生在充分思考、深刻體驗過后感受問題的多面性以及學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)性。學(xué)生的感悟并不僅限于數(shù)學(xué)感悟，更應(yīng)該是多學(xué)科理念與思維方式的獲得以及思維品質(zhì)的提升。

問題8 本節(jié)課我們是怎樣學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念？從中你悟到了什么道理？

名言 勤學(xué)則進(jìn)，輟學(xué)則退?！簳x陶淵明

不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海。

——戰(zhàn)國荀子《勸學(xué)》

設(shè)計意圖：在鞏固指數(shù)函數(shù)的概念和數(shù)學(xué)思想方法的同時，讓學(xué)生回顧學(xué)習(xí)方式并抒發(fā)從中感悟到的道理，談一談自己的學(xué)習(xí)心得。最后，教師借助《勸學(xué)》名言警句寄語學(xué)生，升華理解，浸潤德育教育，幫助學(xué)生感悟“勤學(xué)”與“輟學(xué)”的區(qū)別，端正學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，樹立正確的學(xué)習(xí)信念，感悟腳踏實(shí)地、勤奮刻苦才是學(xué)習(xí)的唯一途徑，提升學(xué)生文化素養(yǎng)。

三、結(jié)語

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)問題情境的一個重要任務(wù)就是促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維參與。教師應(yīng)注重角色由“主導(dǎo)”到“支架”的轉(zhuǎn)變，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生真實(shí)性參與[3-5]。以陶淵明勸學(xué)典故創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科情境開展教學(xué)，讓學(xué)生基于兩種學(xué)科觀念分析問題，不僅幫助學(xué)生建構(gòu)了兩個形象具體的指數(shù)函數(shù)模型，為后續(xù)圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，也讓學(xué)生真正地融入情境中進(jìn)行體驗、思考和表達(dá)，既傳遞了正確的學(xué)習(xí)觀念，又讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的文化價值以及學(xué)科之間的聯(lián)系?；凇叭獭崩砟畹目鐚W(xué)科“情境―問題”教學(xué)強(qiáng)調(diào)多學(xué)科理念的同步滲透，問題情境的創(chuàng)設(shè)關(guān)鍵在于找到學(xué)生在情境中的落腳點(diǎn)，將情境與學(xué)生關(guān)聯(lián)起來，讓學(xué)生在情境中體驗，在問題中思考，在感悟中表達(dá)。