魏迎萍

【摘要】基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革中，幾何學(xué)作為數(shù)學(xué)的重要組成部分，成為人們備受關(guān)注的問題之一.文章主要是以近五年成都市中考試卷幾何證明題為例，結(jié)合學(xué)生目前對于幾何證明所遇到的問題，就幾何證明題的解題思路進(jìn)行研究.回看近五年來成都市中考試卷，其中平面幾何每年都會以選擇、填空、解答或證明題形式出現(xiàn)，題型靈活多變.文章歸納總結(jié)了幾何證明題的一般解題思路和解題技巧，將“理論用于實踐”，從未知到已知，進(jìn)一步提升學(xué)生解決幾何證明題的能力.

【關(guān)鍵詞】平面幾何；幾何證明題；解題思路；成都市中考試題

引 言

一直以來，幾何學(xué)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要部分，在課程改革中，幾何學(xué)的改革早已成為人們非常關(guān)注的問題.幾何證明題難度較大，很多學(xué)生會因為“節(jié)約時間”“合理利用時間”等原因在未認(rèn)真閱讀題目的情況下放棄該題目，因此幾何證明題也就成為拉開學(xué)生差距的題目.但幾何證明題并不是非常高深的題型，如果學(xué)生能夠掌握正確的解題思路，使用行之有效的解題技巧，不僅可以降低幾何證明題的難度，也能夠提高幾何證明題的準(zhǔn)確率.此外，學(xué)生對自己能夠解決幾何證明題的信心不足，也容易產(chǎn)生放棄的念頭，如果教師在講解幾何證明題時能幫助學(xué)生整理解題思路，歸納解題技巧，長而久之，學(xué)生的解題能力自然會得到提升.下面筆者以成都市近五年中考真題為例，對幾何證明題解題思路進(jìn)行梳理.

一、讀已知信息，從題目中提取有效信息

想要解幾何證明題，審題非常重要.很多學(xué)生在拿到題目以后，沒有標(biāo)記的習(xí)慣，也沒有分析所給已知信息的目的，這樣不僅可能會導(dǎo)致審題錯誤，而且可能會導(dǎo)致無效審題.因此，學(xué)生在拿到一道題目后，首先要做的就是根據(jù)已知信息盡可能多地推測出與其相關(guān)的知識點.

例如，題目中給出“Rt△ABC繞某點旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′”，學(xué)生便可以推測出：△ABC≌△A′B′C′，△ABC中有一角等于90°等信息，同時要考慮到初中所學(xué)過的所有與三角形有關(guān)的知識，如全等、相似、三角形外角和定理、中位線、等腰三角形的三線合一等，這些都是常考的知識點.

因此，有效讀題，并不僅是讀題目中的已知信息，而是要盡量根據(jù)已知信息，快速推測出相關(guān)知識點.

二、讀題干，從題干中獲取有效信息

題干中的信息是學(xué)生最容易忽略的地方，很多學(xué)生在閱讀題目時更在乎需要解決的問題.而很多難度比較大的題目，關(guān)鍵條件都隱藏在題干之中，需要結(jié)合已知信息進(jìn)行延伸，找到解題思路.學(xué)會引申最有效的方法就是學(xué)生平時多多積累，需要對定理、知識點非常熟悉.對于特殊的圖形，學(xué)生在平時要記憶，在讀題干、審題時也一定要加以標(biāo)注，要做到從隱藏條件中提取相關(guān)知識點.在圖形中進(jìn)行標(biāo)注，不僅可以幫助學(xué)生區(qū)分已知和未知信息，也可以幫助學(xué)生進(jìn)一步思考，獲取有效信息.

總之，讀題時要做到以下幾點，其一，細(xì)心讀題，不要被陷阱給迷惑；其二，讀題時要標(biāo)記和記憶；其三，讀題時要注意深度思考，很多信息不是題干直接給出的.

下面以成都市中考真題進(jìn)行說明：

例1 （成都市2021年中考A卷第20題）如圖1，AB為☉O的直徑，C為☉O上的一點，連接AC，BC，D為AB延長線上的一點，連接CD，且∠BCD=∠A.

（1）求證：CD是☉O的切線；

（2）若☉O的半徑為5，△ABC的面積為25，求CD的長；

幾何證明題中的任何一個已知信息都不是孤立的.把握基本圖形的組合，掌握知識點間的常見聯(lián)系，積累解題經(jīng)驗是很重要的.

三、合理利用輔助線，降低題目難度

作輔助線是解決近五年來成都市數(shù)學(xué)中考試卷B卷幾何證明題必不可少的一步，也是學(xué)生在解幾何證明題時最難的一步.幾何證明題常常涉及比較復(fù)雜的圖形，但其實再復(fù)雜的圖形，也是用常見的基本圖形通過一定的組合得到的.基本圖形的定義、公理、定理和推論是我們必須熟悉和掌握的內(nèi)容，另外還有一些常見組合形式：如角平分線形、八字形、雙垂直圖形等.

在近五年成都市中考試卷中的幾何證明題中，所做的輔助線主要有兩種類型，即作某直線的平行線或者垂線.在作平行線時，會涉及平行線的性質(zhì)，再利用與平行線相關(guān)的性質(zhì)去證明某些圖形的相似或者是三角形的全等，從而解決線段之間的關(guān)系；在作垂線時，會涉及三線合一或者與角度有關(guān)的知識，從而證明線段之間的關(guān)系.能否正確作出輔助線，實際上也在于平時的積累，教師在教授幾何相關(guān)的知識時，可以側(cè)重于使學(xué)生感受輔助線的自然生成.

在幾何證明題中，輔助線的添加也具有一定的規(guī)律.在三角形中，遇到中點，添加中位線或中線；遇到角平分線，過角平分線上的點，添線構(gòu)造全等三角形；遇到中線，延長中線至原長的二倍，構(gòu)造全等三角形；截長補短構(gòu)造等長直線等；添加平行線構(gòu)造全等或相似三角形.在梯形中，作平行線，構(gòu)造平行四邊形；連接對角線，構(gòu)造三角形；作垂線，構(gòu)造直角三角形或矩形；遇到中點，作中位線或構(gòu)造全等三角形.在平行四邊形中，有平行線構(gòu)造平行四邊形；有中點構(gòu)造全等三角形；過交點作垂線；有垂線時，構(gòu)造矩形或作平行線.

四、理出思路，正確運用數(shù)學(xué)幾何語言

數(shù)學(xué)學(xué)科具有精準(zhǔn)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)學(xué)語言的合理利用是數(shù)學(xué)中考著重考查的部分，學(xué)生正式接觸數(shù)學(xué)語言便是從幾何開始的.教師在教授數(shù)學(xué)語言時，應(yīng)促使學(xué)生養(yǎng)成正確運用數(shù)學(xué)語言的習(xí)慣.數(shù)學(xué)語言的正確表達(dá)，有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維.幾何語言有連接實驗幾何和論證幾何的橋梁作用，教師通過對幾何語言例題的示范和訓(xùn)練來加強(qiáng)學(xué)生對幾何知識的使用，真正意義上提升學(xué)生運用幾何知識的能力，能夠幫助學(xué)生理解復(fù)雜晦澀的數(shù)學(xué)知識，幫助學(xué)生進(jìn)行清晰、有條理的思考，從而引導(dǎo)學(xué)生合理、正確地解決數(shù)學(xué)問題，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識，不斷激發(fā)學(xué)生的思維能力.

五、回顧檢查，是否有不符題意信息

回顧檢查是解題的最后一步，也是較為重要的一步，但是很多學(xué)生在完成幾何證明題以后，并沒有檢查的習(xí)慣，認(rèn)為只要思路正確，便不會出錯.事實恰恰相反.在幾何證明題中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)看錯題目所給角度、所給直線，導(dǎo)致在理解錯誤的基礎(chǔ)上反復(fù)解題，卻一直沒有收獲，不僅浪費時間，而且影響做題進(jìn)度、解題思路.因此，學(xué)生在解題的過程中，沒有思路時，也應(yīng)該注意回顧，檢查是否有漏讀、錯讀的信息.在近五年成都市中考數(shù)學(xué)試卷中，關(guān)于幾何證明題，如果題目中沒有涉及動點問題，所給出的圖形一般來說是比較標(biāo)準(zhǔn)的.例如，學(xué)生可以根據(jù)對比已知直線的長度和所求解出來的直線的長度，判斷最終結(jié)果是否符合題意信息.

六、解題思路的應(yīng)用

下面以成都市2020年A卷第20題為例，對解題思路的五個步驟進(jìn)行應(yīng)用.

（3）若F是AB的中點，試探究BD+CE與AF的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

解題思路 根據(jù)上述所提供的的解題思路步驟，我們在拿到這道題后，先閱讀題干的已知信息，整理有效信息，并且在已知信息的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖形，引申出相關(guān)知識點，推測所給已知信息的目的.從題干中我們可以知道，所給的已知信息有：OC是☉O的半徑、☉O與AB相切于點D、AC=AD，同時，我們可以利用已知信息結(jié)合圖形推測出OC=OE、∠ODA=90°.第二步是讀問題，前文已經(jīng)提到，幾何證明中，如題目是要求證明某一知識，我們可以直接將該問題看做已知，進(jìn)行逆向思考.若AC就是☉O的切線，那么過C點的半徑一定是和AC垂直的，結(jié)合上段所提取的信息，可以推測出∠ODA=∠OCA，進(jìn)行到此時時，便可以看出△AOC≌△AOD，利用SSS定理便可以輕易得證.整理思路以后，再利用幾何數(shù)學(xué)語言將解題過程表達(dá)出來即可.

第三小問中給出了一個新的信息，F(xiàn)是AB的中點，要求探究BD+CE與AF的關(guān)系，這三條線段初看似乎沒有任何聯(lián)系，因此我們要結(jié)合已知信息進(jìn)行分析，OC是☉O的半徑，☉O與AB相切于點D，AC=AC，F(xiàn)是AB的中點，將信息盡量套到同一個圖形之中.當(dāng)我們在圖中標(biāo)注了這三條直線以后，會發(fā)現(xiàn)，由于F是AB的中點，且B，D，A三點在同一條直線上，此時最主要的就是解決CE和這兩條線段的聯(lián)系.連接ED，我們可以觀察到，ED和FD之間似乎是相等的關(guān)系，如果可以證明他們兩者相等，便把題目中一開始看似毫無關(guān)聯(lián)的三條線段，放在了同一條直線AB上，題目也就得到了解決.

結(jié) 語

總之，對學(xué)生幾何證明的思路及思維進(jìn)行訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯能力以及核心素養(yǎng).幾何證明雖然是初中生普遍認(rèn)為的難點，但是也仍然有可以破解的方法.作為教師，在教授幾何相關(guān)知識時，要注意有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，在平時訓(xùn)練時要重視實踐.實踐是初中數(shù)學(xué)證明的基本出發(fā)點，貫穿于證明教學(xué)的全過程.同時，教師應(yīng)該注意及時對學(xué)生進(jìn)行糾錯，特別是數(shù)學(xué)幾何語言，促使學(xué)生養(yǎng)成好的數(shù)學(xué)習(xí)慣，端正對于幾何證明題的學(xué)習(xí)態(tài)度.

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