鄭雋

摘 要： 利用圖形計(jì)算器的便攜性以及數(shù)學(xué)學(xué)科的專業(yè)功能，在“教師引導(dǎo)——學(xué)生主體”的教學(xué)模式下，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初中數(shù)學(xué)的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)，發(fā)展學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的能力，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀察生活，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述生活現(xiàn)象的能力.

關(guān)鍵詞： 項(xiàng)目化學(xué)習(xí)；圖形計(jì)算器；學(xué)生主體

所謂項(xiàng)目式學(xué)習(xí)主要是指教師在基于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情的背景下，設(shè)立來源真實(shí)問題情境并具有一定探究?jī)r(jià)值的探究項(xiàng)目，并根據(jù)項(xiàng)目主題，創(chuàng)設(shè)問題情境，學(xué)生采取計(jì)算機(jī)等技術(shù)工具，綜合運(yùn)用各學(xué)科知識(shí)與方法，自主、合作地進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)，解決問題的探究活動(dòng)，在活動(dòng)過程或結(jié)束的時(shí)候，學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知，發(fā)展能力，養(yǎng)成學(xué)科核心素養(yǎng).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2022 年版） 》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）提倡項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，教師在課堂教學(xué)中以用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)問題為主，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決現(xiàn)實(shí)問題的關(guān)鍵要素，用數(shù)學(xué)的思維分析要素之間的關(guān)系并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)模型觀念，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)將探究活動(dòng)限制在機(jī)房，而圖形計(jì)算器的小巧便攜性，使得學(xué)生可以隨時(shí)攜帶，隨時(shí)使用，被譽(yù)為“口袋中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，從而將項(xiàng)目式學(xué)習(xí)可以延伸到課堂和學(xué)習(xí)課余時(shí)間.圖形計(jì)算器內(nèi)置有18種應(yīng)用，包括函數(shù)、數(shù)列、參數(shù)、幾何、極坐標(biāo)、求解器、探索器、電子表格、矩陣、列表、程序等功能，可分別對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行探索.內(nèi)置的高級(jí)繪圖功能幾乎可繪制X-Y平面的任何關(guān)系圖，包括X和Y的不等式和圓錐曲線.可以說，圖形計(jì)算器使用的便攜性、內(nèi)置功能的專業(yè)性、拓展性和交互性為數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)提供了有力保障.

1 ?在數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中，圖形計(jì)算器提供的技術(shù)支持

1.1 驗(yàn)證數(shù)學(xué)，加深數(shù)學(xué)理解

利用圖形計(jì)算器可以將數(shù)學(xué)知識(shí)直觀呈現(xiàn)在學(xué)生面前，特別是其中的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)有更深的理解.如：在幾何項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中，帶領(lǐng)學(xué)生熟悉點(diǎn)、線的生成過程中，使其再認(rèn)識(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行”等基本事實(shí).在統(tǒng)計(jì)概率學(xué)習(xí)中，可進(jìn)行隨機(jī)事件對(duì)模擬.類似的進(jìn)行，學(xué)生可以探索圓周率的取值、正切函數(shù)值的變化、制作三角函數(shù)表等.

1.2 探索數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)探究能力

圖形計(jì)算器可以幫助學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、驗(yàn)證等活動(dòng)過程，讓學(xué)生從“紙筆”運(yùn)算中解放出來，更多關(guān)注數(shù)學(xué)思維.如“探索二次函數(shù)圖象的性質(zhì)”的教學(xué)中，首先可以借圖形計(jì)算器快速作圖功能，讓學(xué)生快速看見“數(shù)學(xué)形狀”；從“列表—描點(diǎn)—連線”中解放出來，節(jié)約時(shí)間，為學(xué)生留下更多的時(shí)間去觀察思考圖象背后的數(shù)學(xué)意義.多個(gè)函數(shù)圖象快速呈現(xiàn)在同一平面直角坐標(biāo)系中，觀察共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，歸納二次函數(shù)圖象的特征.

其次借助圖形計(jì)算器對(duì)函數(shù)處理的不同方式：符號(hào)、圖象、數(shù)值，數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生多角度看見數(shù)學(xué)，助力數(shù)學(xué)思考.

最后，圖形計(jì)算器中的動(dòng)態(tài)作圖功能，將函數(shù)圖象分別進(jìn)行上下平移、左右平移，使得數(shù)學(xué)變換更容易呈現(xiàn).在動(dòng)態(tài)變化中，讓學(xué)生更加深入理解二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)對(duì)函數(shù)圖象特征的影響.圖形計(jì)算器的使用，讓二次函數(shù)圖像性質(zhì)的學(xué)習(xí)可以放手讓學(xué)生自主進(jìn)行，提高學(xué)生的探究數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)、運(yùn)用技術(shù)的能力.類似的，如讓學(xué)生探索圓冪定理、角平分線交于一點(diǎn)的四邊形、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)……

1.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力

利用數(shù)據(jù)采集器，圖形計(jì)算器與物理、化學(xué)等自然科學(xué)試驗(yàn)的探頭相連接，成為了一個(gè)小型理科實(shí)驗(yàn)室（ STEM 實(shí)驗(yàn)室）.讓學(xué)生經(jīng)歷采集數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)處理、建立數(shù)學(xué)模型的過程，從中體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的意義和價(jià)值.

如利用圖形計(jì)算器探索房間周圍溫度、聲音、光照與距離的關(guān)系.利用數(shù)據(jù)采集器，將溫度傳感器與圖形計(jì)算器連接.讓學(xué)生探究加熱中的水溫變化與加熱時(shí)間之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)采集開始→導(dǎo)出→雙變量統(tǒng)計(jì)→線性擬合出兩者之間的一次函數(shù)關(guān)系.通過水溫變化的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)體驗(yàn)用數(shù)學(xué)去觀察、描述現(xiàn)實(shí)，尋找現(xiàn)實(shí)世界的規(guī)律，進(jìn)而去對(duì)現(xiàn)實(shí)世界做相關(guān)預(yù)測(cè).類似的，學(xué)生可以進(jìn)行下列項(xiàng)目化學(xué)習(xí)：北京環(huán)線長(zhǎng)度的預(yù)測(cè)、電動(dòng)汽車速度的測(cè)量、圖形的規(guī)劃與設(shè)計(jì)、初中生閱讀情況的調(diào)查……

2 數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的過程監(jiān)控

為了使項(xiàng)目式學(xué)習(xí)更具可操作性，我們可以借助理化實(shí)驗(yàn)記錄單的形式，設(shè)計(jì)《數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)記錄單》詳細(xì)記錄數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程：

3 “教師引導(dǎo)—學(xué)生主體”的教學(xué)模式

圖形計(jì)算器作為學(xué)生參與項(xiàng)目式活動(dòng)的學(xué)習(xí)工具，使學(xué)生從旁觀者變成實(shí)踐者，教師從幾何畫板操作的表演者變成學(xué)生操作圖形計(jì)算器的指導(dǎo)者.這樣學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，教師從知識(shí)傳授者變成學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者和組織者.

案例 ?：樹葉形狀的探究

我們知道世界上沒有相同的兩片樹葉，但是我們也可以輕松地區(qū)別桂花葉和梧桐的不同.甚至現(xiàn)代科技的發(fā)展，讓我們可以通過對(duì)樹葉拍照上傳到互聯(lián)網(wǎng)，然后快速反饋出是什么樹葉.對(duì)于初中生來說，我們?nèi)绾蝸砝斫膺@個(gè)過程.考慮到小學(xué)曾經(jīng)進(jìn)行過簡(jiǎn)單的樹葉長(zhǎng)寬比的測(cè)量，如今在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，我們可以做些什么來解釋呢？為此我們進(jìn)行了《樹葉形狀的探究》.

1. 問題導(dǎo)入：有一款神奇的 APP ——形色，可以通過樹葉照片快速識(shí)別它是什么樹木！但我們知道世上沒有相同的樹葉，那么它是如何實(shí)現(xiàn)識(shí)別功能的呢？請(qǐng)你選擇一棵的樹葉進(jìn)行分析研究.

桂樹，為木樨科木樨屬的一種常綠闊葉喬木.高可達(dá)15米，樹冠可覆蓋400平方米，桂樹實(shí)生苗有明顯的主根，根系發(fā)達(dá)深長(zhǎng).桂樹分枝性強(qiáng)且分枝點(diǎn)低，特別在幼年尤為明顯，因此常呈灌木狀.密植或修剪后，則可成明顯主干.樹皮粗糙，灰褐色或灰白色，有時(shí)顯出皮孔.

桂樹的葉面光滑，革質(zhì)，近軸面暗亮綠色，遠(yuǎn)軸面色較淡，形狀固定.這便引起了我和同學(xué)們的思考，難道這一片片葉的形狀是固定的嗎？既然如此，我們組成了數(shù)學(xué)小組，對(duì)此也做出了最初的粗略猜想：一片葉的長(zhǎng)和寬是存在一定數(shù)量關(guān)系的.（王潤(rùn)秋、曾梓暄）

分析： ?通過活動(dòng)，學(xué)生對(duì)研究的樹木進(jìn)行了資料調(diào)查，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)生活觀察能力，同時(shí)面對(duì)現(xiàn)實(shí)問題，鼓勵(lì)學(xué)生大膽地猜想，然后進(jìn)行科學(xué)的探究去驗(yàn)證猜想.

2. 活動(dòng)過程：與傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式不同，項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的過程是開放性的，解決問題的過程需要學(xué)生自主獲得各種資源.

首先，各個(gè)學(xué)習(xí)小組針對(duì)所選的樹種，進(jìn)行數(shù)據(jù)收集.

我們?cè)谛@中撿了幾片桂花樹的樹葉，對(duì)其長(zhǎng)和寬分別進(jìn)行了測(cè)量，得到以下數(shù)據(jù)：

為了驗(yàn)證結(jié)論，我們小組繼續(xù)采集了十片同一棵樹的桂花樹葉，整理成表格：

不同樹葉的形狀千姿百態(tài)，這次我主要用榕樹葉作為研究對(duì)象，探究榕樹葉長(zhǎng)與寬的關(guān)系，并進(jìn)行拓展研究.我主要對(duì)樣本進(jìn)行長(zhǎng)與寬的測(cè)量，我量取了10片榕樹葉的長(zhǎng)與寬，并列表記錄所得數(shù)據(jù).（王泉荃）

其次，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析.

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，樹葉的長(zhǎng)隨其寬的增大而增大.所以，可以大致猜測(cè)兩個(gè)數(shù)據(jù)存在一次函數(shù)關(guān)系.于是我們利用 Hp 惠普?qǐng)D形計(jì)算器對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行一次函數(shù)的擬合，以樹葉寬為橫坐標(biāo)，長(zhǎng)為縱坐標(biāo)，繪制平面直角坐標(biāo)系，得到如下的圖像：

如圖，這五個(gè)點(diǎn)近似地，可以看作在一條直線上，它的表達(dá)式為y=3.58x-0.18.

……（繼續(xù)驗(yàn)證）對(duì)于上述結(jié)論，我們依然持有一定的懷疑態(tài)度，故對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證.我們組隨機(jī)的撿到三片同類樹葉，對(duì)長(zhǎng)和寬測(cè)量后代入，其數(shù)據(jù)為（寬在前長(zhǎng)在后，單位/ cm ）2.05、7.3；2.5、9；1.7、5.7，基本符合y=3.6x-0.2的關(guān)系.

因此，我們可以得出結(jié)論，桂花樹葉的長(zhǎng)和寬成一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)表達(dá)式約為y=3.6x-0.2.（王潤(rùn)秋、曾梓暄）

量取長(zhǎng)寬 （mm） 進(jìn)行驗(yàn)證，列表數(shù)據(jù)如下：

如表可見近似表達(dá)式所計(jì)算出的數(shù)據(jù)并不完全符合實(shí)際長(zhǎng)度，如，長(zhǎng)度為40 ?mm 的榕樹葉實(shí)際寬度17 ?mm ，但計(jì)算所得寬度為了24 ?mm ，有一定差距.又如長(zhǎng)度為71 ?mm 的榕樹葉實(shí)際寬度為35 ?mm ，而計(jì)算所得寬度約為35 ?mm ，非常準(zhǔn)確.（王泉荃）

總結(jié)： ?在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中，為了驗(yàn)證假設(shè)，學(xué)生經(jīng)歷了運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)，進(jìn)行抽樣調(diào)查，數(shù)據(jù)整理，數(shù)據(jù)分析的過程，最終形成一個(gè)屬于自己的數(shù)學(xué)模型.在這個(gè)過程數(shù)學(xué)建模幫助學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.而數(shù)學(xué)工具——圖形計(jì)算器則讓學(xué)生更方便進(jìn)行數(shù)據(jù)的分析，建立模型，讓學(xué)生的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)更加快捷.

4 數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)

此次探究讓我們領(lǐng)略了大自然的鬼斧神工，令人驚嘆不已.可見大自然中的樹葉的生長(zhǎng)由于多重因素的影響，長(zhǎng)與寬的關(guān)系并不完全等同于嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)據(jù)得出的嚴(yán)格規(guī)律，但都在近似直線上下浮動(dòng)，有一定的趨勢(shì).

這個(gè)發(fā)現(xiàn)可以讓我們更好地了解與識(shí)別每種樹的樹葉.

與同學(xué)們的結(jié)論比較后我又發(fā)現(xiàn)，樹葉的長(zhǎng)與寬的比值越大，樹葉就越趨于瘦狹狀.這與矩形長(zhǎng)與寬的關(guān)系相類似.

在實(shí)際探究中，我們可以將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的我們所熟悉的圖形進(jìn)行研究，以謀求更加實(shí)用的自然規(guī)律.（王泉荃）

分析： ?對(duì)于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，要注意定性描述與定量評(píng)價(jià)相結(jié)合；學(xué)生自評(píng)與組評(píng)相結(jié)合；注重過程性評(píng)價(jià)的多樣與有效.

在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中，學(xué)生在對(duì)學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)中，獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).活動(dòng)中，教師只是不斷通過提出“為什么”促進(jìn)學(xué)生不斷地去思考，從數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性上考慮對(duì)結(jié)論進(jìn)行數(shù)學(xué)化的證明，形成結(jié)論.為了便于大家的交流，最后以數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)模型等形式的成果，從而讓項(xiàng)目化學(xué)習(xí)更加具有儀式感.

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