王佳敏　張維忠

摘要：以“祖暅原理與球體體積”為例，將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂，教師可以從劉徽的“牟合方蓋”出發(fā)，引入祖暅原理，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)球體體積公式，并繼續(xù)探索橢球體體積，讓學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維與民族自豪感，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的文化自信。

關(guān)鍵詞：中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化；高中數(shù)學(xué)；祖暅原理；球體體積

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)、歷久彌新，在當(dāng)今社會(huì)有著獨(dú)特的育人價(jià)值。而數(shù)學(xué)文化作為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分，對(duì)人的發(fā)展有著不可替代的作用。無(wú)論是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的數(shù)學(xué)成果、積累的思想方法還是其堅(jiān)持不懈的探究精神，都可以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。在數(shù)學(xué)學(xué)科教育教學(xué)過(guò)程中滲透中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，讓學(xué)生感悟前人智慧，可以培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信，對(duì)學(xué)生全面發(fā)展有著不可替代的作用。本文以祖暅原理為例，探究如何將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂。

祖暅原理作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)研究的重要成果，是伴隨著球體體積問(wèn)題而產(chǎn)生的，因此在球體體積公式推導(dǎo)過(guò)程中引入祖暅原理，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)公式的理解。在以往球體體積教學(xué)過(guò)程中，不少教師會(huì)直接給出公式，或把祖暅原理作為了解性閱讀材料，學(xué)生對(duì)公式死記硬背，沒(méi)有深層次的理解，課堂也顯得枯燥無(wú)味。因此，也有不少教師進(jìn)行探究，有探究祖暅原理從而推導(dǎo)球體體積公式的，還有深入探究祖暅原理并把球體體積公式作為課后探究作業(yè)的。但是，大部分研究都止步于球體體積公式。作為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的祖暅原理有著更深遠(yuǎn)的教育價(jià)值，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生深入了解其思想，再通過(guò)類比推理探索其他幾何體體積的計(jì)算方法。基于此，本文借助信息技術(shù)，從劉徽的“牟合方蓋”出發(fā)，引入祖暅原理，意在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)球體體積公式，并繼續(xù)探索橢球體體積，讓學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維與民族自豪感，增強(qiáng)文化自信。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

（一）教材分析

本節(jié)課是人教A版普通高中數(shù)學(xué)教材必修二中第8.3.2節(jié)“圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積”與“探索與發(fā)現(xiàn)”中“祖暅原理與柱體、錐體的體積”的整合。教材給出的祖暅原理僅作為閱讀性材料，學(xué)生難以真正理解背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)與原理，也難以進(jìn)行應(yīng)用拓展。為此，需要教師分析、補(bǔ)充教材內(nèi)容，并在教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行滲透。

（二）學(xué)情分析

授課對(duì)象是高一學(xué)生，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)旋轉(zhuǎn)體、棱錐、球體的概念和棱錐體積計(jì)算公式，為本節(jié)課學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。本節(jié)課內(nèi)容從劉徽的“牟合方蓋”出發(fā)，引入祖暅原理，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，進(jìn)而推導(dǎo)出球體體積公式，對(duì)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力都提出了要求。

（三）教學(xué)重難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：理解祖暅原理的涵義，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力。

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)球體體積公式，通過(guò)類比推導(dǎo)橢球體體積公式。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）回顧舊知，文化融入

師：同學(xué)們還記得棱錐與圓錐的體積公式嗎？

師：同學(xué)們是否感受到這兩個(gè)公式有相似之處？請(qǐng)帶著這個(gè)問(wèn)題一起來(lái)學(xué)習(xí)球體體積公式。今天，我們將和中國(guó)古代數(shù)學(xué)家一起探究球體體積公式。第一位中國(guó)古代數(shù)學(xué)家是劉徽，他對(duì)《九章算術(shù)》做注釋時(shí)發(fā)現(xiàn)球體體積公式有誤，從而開(kāi)始探求球體體積公式。為了解決這個(gè)問(wèn)題，他創(chuàng)造了“牟合方蓋”。什么是“牟合方蓋”呢？同學(xué)們看老師手里的兩根粉筆，如果一根粉筆能穿過(guò)另一根粉筆，這兩根粉筆交叉重合的部分就叫“牟合方蓋”，釋義為兩把對(duì)合的方傘。請(qǐng)動(dòng)手操作，并嘗試畫(huà)出“牟合方蓋”的圖象。

教師利用信息技術(shù)演示，并得到“牟合方蓋”的圖象（見(jiàn)圖1、圖2）。

師：我們可以觀察到圖1中的“牟合方蓋”并不是球體，但為什么能通過(guò)計(jì)算“牟合方蓋”體積得到球體體積呢？同學(xué)們先來(lái)找一找“牟合方蓋”中的球體。

生：圖2中兩個(gè)半徑相同的圓柱垂直交叉，可以找到內(nèi)切于“牟合方蓋”的球體。

教師利用信息技術(shù)演示，畫(huà)出“牟合方蓋”中的內(nèi)切球。

師：劉徽在球體的外切立方體中作兩個(gè)垂直相交的內(nèi)切圓柱得到“牟合方蓋”。假設(shè)球體半徑是r，如果在任意高度用水平面截“牟合方蓋”，會(huì)得到什么圖形？

生：正方形。因?yàn)閳A柱側(cè)面截圖是一個(gè)矩形，這個(gè)兩個(gè)圓柱半徑相同，所以是正方形（見(jiàn)圖3）。

師：那用水平面同時(shí)截“牟合方蓋”和內(nèi)切球是什么圖形？

生：正方形與內(nèi)切圓。

【設(shè)計(jì)意圖】首先，回顧已學(xué)習(xí)棱錐與圓錐的知識(shí)，再引入劉徽的“牟合方蓋”，為學(xué)生理解祖暅原理做鋪墊。其次，對(duì)于“牟合方蓋”，學(xué)生直接想象存在困難，因此教師讓學(xué)生動(dòng)手操作，觀察并嘗試畫(huà)圖，再適時(shí)借用信息技術(shù)演示，突破學(xué)生認(rèn)知障礙，加深學(xué)生印象。再次，內(nèi)切球和“牟合方蓋”體積通過(guò)推導(dǎo)計(jì)算得到而不是直接給出，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程。最后，教師介紹劉徽和祖暅的故事，展示中國(guó)古代數(shù)學(xué)家實(shí)事求是、堅(jiān)持不懈的精神。

（二）合作探究，文化理解

師：祖暅在推導(dǎo)球體體積時(shí)沿襲了劉徽的思想方法，把“牟合方蓋”分成了八個(gè)相同的圖形。他將“牟合方蓋”的部分稱為內(nèi)棋，外部稱為外棋，并將外棋劃分為三塊，同學(xué)們能否畫(huà)出三塊外棋？

教師給學(xué)生思考時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生畫(huà)出圖形（見(jiàn)圖4）。教師利用信息技術(shù)將外棋部分進(jìn)行演示（見(jiàn)圖5）。

師：在計(jì)算外棋體積時(shí)，祖暅提出一條很重要的原理“冪勢(shì)既同，則積不容異”，稱為祖暅原理。意思是夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。同學(xué)們能否依據(jù)今天所學(xué)的知識(shí)來(lái)理解祖暅原理？

師：利用祖暅原理能否解決一開(kāi)始棱錐與圓錐體積公式的問(wèn)題？

生：連接三條線段，形成的棱錐滿足條件（見(jiàn)圖6）。

【設(shè)計(jì)意圖】首先，教師從整體出發(fā)分析和解讀祖暅原理，再結(jié)合劉徽的內(nèi)切球和“牟合方蓋”體積比值推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)一步理解祖暅原理。其次，學(xué)生的空間觀念較為薄弱，教師讓學(xué)生動(dòng)手操作，再借助信息技術(shù)分割外棋，加深學(xué)生對(duì)外棋的理解，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。最后，教師利用祖暅原理推導(dǎo)出球體體積公式，讓學(xué)生掌握研究幾何體體積求解的基本思路，提高學(xué)生邏輯推理能力。

（三）類比推理，文化拓展

師：球體是圓繞直徑旋轉(zhuǎn)而得。現(xiàn)考慮橢圓，設(shè)較長(zhǎng)的軸為2a，較短的軸為2b，面積為πab，求繞較長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球體體積公式。請(qǐng)同學(xué)們對(duì)比圓與橢圓，先來(lái)猜測(cè)橢球體體積公式。

師：由此證明同學(xué)的猜想是正確的。我們可以大膽猜想，但猜想的結(jié)果是否正確還需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的論證。

【設(shè)計(jì)意圖】教師鼓勵(lì)學(xué)生從已有經(jīng)驗(yàn)去推理未曾經(jīng)歷過(guò)的東西，從而激發(fā)學(xué)生好奇心和深入學(xué)習(xí)的熱情，并啟發(fā)學(xué)生思考如何在知識(shí)間建立聯(lián)系，從而把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)。圓與橢圓有相似之處，學(xué)生先通過(guò)類比方法猜想橢球體體積，再嚴(yán)密推導(dǎo)計(jì)算驗(yàn)證答案，鞏固了劉徽的思想方法與祖暅原理的知識(shí)，不僅體驗(yàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，還培養(yǎng)了創(chuàng)造性思維。

（四）歸納總結(jié)，文化體悟

師：同學(xué)們通過(guò)今天這節(jié)課有什么收獲？

生：學(xué)習(xí)了祖暅原理，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截面面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體體積相等。還由祖暅原理推導(dǎo)出球體體積公式。

師：同學(xué)們從中國(guó)古代數(shù)學(xué)家身上學(xué)到了什么？

生：書(shū)本知識(shí)也會(huì)出錯(cuò)，劉徽發(fā)現(xiàn)了《九章算術(shù)》上的錯(cuò)誤。

生：任何時(shí)候都不能放棄探究，雖然劉徽沒(méi)有得到正確答案，但是正因?yàn)樗呐?，祖暅才能在其基礎(chǔ)上得到正確答案。

教師對(duì)學(xué)生的回答予以肯定，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑思辨，課后繼續(xù)探索。

教師布置課后作業(yè)：搜集整理祖暅原理還能解決哪些問(wèn)題，并嘗試推導(dǎo)和解決；思考還有什么方法可以推導(dǎo)出球體體積公式。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)討論，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課中用到的知識(shí)和思想方法。雖然學(xué)生的回答各不相同，但是答案合理即可，重在讓學(xué)生體驗(yàn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧與感受他們堅(jiān)持不懈的精神。

三、啟示與思考

（一）以數(shù)學(xué)文化育人，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最佳素材之一。一方面，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重構(gòu)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的探究過(guò)程，理解知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，并最終應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題，這也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的過(guò)程。無(wú)論是探究劉徽的“牟合方蓋”，還是應(yīng)用祖暅原理推導(dǎo)球體體積，都對(duì)學(xué)生的空間想象能力提出較高的要求，教師需要把握時(shí)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。另一方面，教師可以將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂，通過(guò)介紹劉徽的堅(jiān)持不懈探求，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家求真務(wù)實(shí)的科學(xué)精神與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。教師介紹祖暅原理是伴隨球體體積問(wèn)題而產(chǎn)生的，可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用與價(jià)值，感受中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧，培養(yǎng)積極的數(shù)學(xué)品格與數(shù)學(xué)價(jià)值觀念。

（二）用文化搭建橋梁，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化可以成為溝通學(xué)生經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)本質(zhì)之間的橋梁。教師如果沒(méi)有意識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)文化的基礎(chǔ)，并過(guò)多使用了解性閱讀材料，就不能使學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)本質(zhì)之間進(jìn)行有效溝通，學(xué)生就難以真正理解背后的數(shù)學(xué)知識(shí)，反而會(huì)讓數(shù)學(xué)教學(xué)陷入廣而不深的形式主義泥潭。為此，教師需要精選與課程內(nèi)容相匹配的素材，從整體出發(fā)分析、解讀素材，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，并有機(jī)融入數(shù)學(xué)學(xué)科教育教學(xué)。教師若把數(shù)學(xué)文化作為外殼，本質(zhì)上仍然是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育理念，將難以培養(yǎng)學(xué)生深層的數(shù)學(xué)思維。教師若僅將祖暅原理作為了解性閱讀材料，學(xué)生則難以體會(huì)到這是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期探索得到的寶貴知識(shí)財(cái)富。因此，筆者從劉徽的“牟合方蓋”出發(fā)，讓學(xué)生體驗(yàn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家艱難探索的過(guò)程。

（三）鼓勵(lì)歸納推理，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維

將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂，還應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散聯(lián)想，促使學(xué)生形成直覺(jué)，改變中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的刻板形象。教師可以鼓勵(lì)學(xué)生從自身已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，進(jìn)行歸納推理。歸納推理分為歸納方法和類比方法，歸納更多地依賴于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，類比則更多地依賴于跳躍的聯(lián)想，但都是從已有經(jīng)驗(yàn)去推理未曾經(jīng)歷過(guò)的東西，這與我國(guó)傳統(tǒng)重視知識(shí)授受的教學(xué)不同，可以讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

在求解橢球體體積的過(guò)程中，類比球體體積公式求解橢球體體積公式，能夠啟發(fā)學(xué)生思考如何在知識(shí)之間建立聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

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