曾萬強

摘 ?要：“積的乘方”是人教版教材八年級上冊第十四章“整式的乘法與因式分解”的第一節(jié)內(nèi)容，學(xué)生在此前已有“整式的加減”作為知識支撐。該課時作為第一節(jié)的一個知識點，教師在教學(xué)上，習(xí)慣將該課時與“同底數(shù)冪的乘法”以及“冪的乘方”作為整式乘法的三大基礎(chǔ)運算進行依次處理。作為“整式乘法”的最后一個運算法則，該課時在章節(jié)學(xué)習(xí)中起到了承上啟下的作用，其重要性不言而喻。文章結(jié)合了“積的乘方”教學(xué)設(shè)計和實際的課堂反饋，以及相關(guān)文獻，思考更適合發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的教學(xué)方案，以促進教育教學(xué)工作的共同進步。

關(guān)鍵詞：“積的乘方”；公式逆用；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

一、“積的乘方”教學(xué)方法分析

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)十分強調(diào)“過程”二字，教師既要重視學(xué)生的參與過程，又要重視知識的再現(xiàn)過程。因此在教授本課時既要強調(diào)公式法則，還要關(guān)心學(xué)生對公式法則探究過程的理解。從長遠來看，學(xué)生的探究過程可能比公式法則本身更重要。

教學(xué)是為了發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，就核心素養(yǎng)目標的達成而言，課時教學(xué)是組成教學(xué)實施的基本單位，每一節(jié)課都應(yīng)該為學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展做出可能的貢獻。

“積的乘方”作為整式乘法基礎(chǔ)運算的三個課時之一，對學(xué)生數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)有一定的促進作用。本節(jié)教學(xué)既要考慮整體的統(tǒng)一，又要注意與其他課時的差異。從素養(yǎng)發(fā)展來看，需要學(xué)生在課堂和課后體驗到獲得感，以提升在后續(xù)運算時的信心和決心。

二、“積的乘方”學(xué)習(xí)目標

第一，經(jīng)歷、探索“積的乘方”的活動過程，理解“積的乘方”的意義，并能推導(dǎo)“積的乘方”公式，感受數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)邏輯的緊密結(jié)合。

第二，理解“積的乘方”的運算法則，能夠準確選擇法則的正用和逆用，能夠利用法則，計算和解決一些實際問題。

三、“積的乘方”學(xué)習(xí)重難點

重點：“積的乘方”法則生成過程及其應(yīng)用和逆用。

難點：“積的乘方”法則的逆用和靈活運用。

四、“積的乘方”教學(xué)過程

（一）情境引入

教師展示PPT，課件上會顯示一個較大的an，教師提出問題：

情境一：教師提問：“同學(xué)們，看到屏幕，你們能想到什么？”

設(shè)計意圖：本課時作為與冪相關(guān)的三大基礎(chǔ)運算之一，需要學(xué)生對冪相當(dāng)熟悉，包含冪的底數(shù)、指數(shù)和冪本身的意義等。通過此問題與PPT，教師依次呈現(xiàn)并引導(dǎo)學(xué)生說出冪的概念、冪的意義、同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方運算法則，然后學(xué)生做一些簡單的運算題。

情境二：試計算以下式子，并說明做法及依據(jù)：

（1）a5·a3=________ ? ?（2）（a5）3=________

（3）（5a）3=________=________=________

設(shè)計意圖：通過類比發(fā)現(xiàn)矛盾的方法，設(shè)計了三個小題，前兩個題，可以直接運用“同底數(shù)冪的乘法”“冪的乘方”運算法則算出；第三個題，既不是“同底數(shù)冪的乘法”，又不是“冪的乘方”，即題型由易到難，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，能夠產(chǎn)生認知沖突，會進一步猜測，激發(fā)學(xué)生的求知欲。為避免學(xué)生答得不規(guī)范，教師在第三小題上設(shè)計了三個空，意在讓學(xué)生運用乘方的定義、乘法交換律、結(jié)合律以及乘方概念分步完成。然后教師進一步提出下列問題：

“請問（5a）3與（a5）3的底數(shù)有何不同？可以叫作什么運算？”

（1）（a5）3的底數(shù)a5是冪，叫作_____。

（2）（5a）3的底數(shù)是因式5a和的積，可以叫作_____。

設(shè)計意圖：前兩個運算是讓學(xué)生復(fù)習(xí)前兩課時學(xué)過的“同底數(shù)冪乘法”和“冪的乘方運算”，后面是“積的乘方”運算，由此可見無論是名字還是形式，都顯示出“積的乘方”和“冪的乘方”運算具有較強的相似性。為避免混淆，限定在（5a）3與（a5）3這兩個運算中進行對比，旨在促進學(xué)生進行類比分析，得到“積的乘方”這個課題，并盡快進入本節(jié)概念和公式的推導(dǎo)。在學(xué)生回答出“積的乘方”時，教師同步將板書課題寫在黑板上，以提醒本節(jié)課的課題。

（二）新知探究

情境三：計算并說明做法、依據(jù)：

（1）（ab）3=________ ? ?（2）（mn）5=________

設(shè)計意圖：通過兩個相似性極強的例子，引導(dǎo)學(xué)生用乘方的定義和乘法定律分別計算，設(shè)計時，教師有意將兩個問題并排放在一起，PPT課件呈現(xiàn)時，將結(jié)果著重化，旨在學(xué)生在算出答案的同時，能依據(jù)上述兩個答案聯(lián)想并猜測到“積的乘方”的公式。為后面更直接地引出運算法則，教師提出以下問題：

“你能猜想、總結(jié)出一般結(jié)論嗎？請嘗試將其推導(dǎo)出來。”

一般結(jié)論：________________________________。

積的乘方法則：積的乘方，等于_______________。

設(shè)計意圖：處理完情境三的例子后，學(xué)生會得出一般性結(jié)論：（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）。關(guān)于法則的文字敘述，更大程度上是為了部分學(xué)生在無法理解并掌握知識的情況下，教師提供的幫助其理解和記憶的方式。在選擇文字定義時，教師有意識地選擇了更簡潔、學(xué)生更易接受的北師大教材的文字定義：積的乘方，等于每個因式乘方的積。同時PPT上有意地突出了每個因式，用以強調(diào)這是本課時的易錯點之一。然后教師引導(dǎo)提出以下問題：

“該公式對三個因式是否成立？請說明理由。”

這時，由學(xué)生推廣并證明三個，以及三個以上式子的“積的乘方”法則：（abc…）n=anbncn…（n是正整數(shù)）。這表明學(xué)生已經(jīng)考慮了證明方法，提出了整體思想。

情境四：口算下列各題

（1）（2x）2=________ （2）（-5b）3=________

（3）（2xyz）4=________ （4）（-xy2）2=________

（5）（x3y）n=________ （6）（-2x3）5=________

設(shè)計意圖：教師共設(shè)計了六個口算題，分別包括含正負兩個字母的偶數(shù)次方、含正負兩個字母的奇數(shù)次方、含正負號多個字母的奇數(shù)和偶數(shù)次方等不同類型，題型由易到難，教師現(xiàn)場抽問，學(xué)生直接進行口算。學(xué)生可能存在問題的是含負號的第（2）（4）（6）小題，如果有學(xué)生算錯，教師需要直接點明易錯點；如果無學(xué)生出錯，則進入后續(xù)的例題解析。在做題時，教師需要觀察做錯題目學(xué)生的情況，適時投屏展示并提醒，引導(dǎo)學(xué)生自主對易錯點進行分析。

（三）例題探究（公式運用）

例1計算：

（1）（-2x2y3）4 （2）-（-3ma3bn）3

練習(xí)1計算：

（1）（2a2b3c4）3 （2）（-2xmyn）3

（3）［3（m+n）5］2 （4）

-x2nyn+1

設(shè)計意圖：例1設(shè)計的兩個小題均為含負號次數(shù)不全為1，且項數(shù)多于兩項的“積的乘方”問題，學(xué)生相對易錯。作為例題，教師需要重點進行板書書寫和步驟示范。練習(xí)1由學(xué)生獨立完成，然后教師邀請兩位學(xué)生在黑板上展示。展示是為了呈現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、與課本對話、合作學(xué)習(xí)的成果和困惑點，更重要的是，在對話、探究的基礎(chǔ)上，教師通過追問，將學(xué)生的“困惑點”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的“探究點”，進而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識的易錯點、能夠進一步總結(jié)出以下注意事項：第一，負號一開始，就要確定好處理方式；第二，括號內(nèi)每一個因式都要乘方（尤其是系數(shù)）；第三，計算“積的乘方”后，還要計算“冪的乘方”，結(jié)果化到最簡。

例2計算：2（a2b2）3-（3a3b3）2

練習(xí)2計算：（2a5）2·a2-（-3a3）4+（4a6）2

設(shè)計意圖：與例1本質(zhì)相同，教師引入了整式的加減運算，該題綜合性較強，這是為了避免學(xué)生在計算中忘記合并同類項、沒有把整式化到最簡。該過程注重在教師講完知識點后，學(xué)生馬上進行鞏固。待這個例題和練習(xí)完成時，學(xué)生已經(jīng)基本熟悉了公式法則，并能夠相對熟練地應(yīng)用。

（四）拓展探究（間接用公式和公式逆用）

例3已知xn=2，yn=3，求（x2y）n的值。

練習(xí)3已知x2n=2，求（3x3n）2的值。

設(shè)計意圖：此例和對應(yīng)練習(xí)，從所求結(jié)論來看，均是在考查“積的乘方”。然而，在計算的過程中，學(xué)生單純地利用公式，將無法直接計算出結(jié)果，還需要根據(jù)已知條件調(diào)整化簡的結(jié)果，屬于間接求解問題。本題需用到“冪的乘方”運算法則的逆運算，也就是常說的公式逆用。教師設(shè)計此例的另一個用意，是希望引入下一個重要拓展——“積的乘方”公式逆用，以此進行銜接，具體如下：

例4計算：

（1）24×54 ? ?（2）（-2）6061×（0.125）2020

練習(xí)4計算：

（1）

-

×

（2）［8×（-0.5）］2021×41010×（-0.125）2020

設(shè)計意圖：在前面的例題設(shè)計中，教師已經(jīng)提出公式逆用這個基本思路，學(xué)生也進行了運用。作為對“積的乘方”運算法則的公式逆用［an·bn=（ab）n］的應(yīng)用，其涉及了冪的運算的簡便算法。在學(xué)習(xí)例題之后，學(xué)生能夠知道，冪的運算需要滿足的條件是——底數(shù)、指數(shù)相同，或者能夠?qū)⒌讛?shù)、指數(shù)簡化成一樣，即學(xué)生能夠?qū)绲倪\算問題有較系統(tǒng)的理解。在回答第一問時，學(xué)生都會認為較容易，但也存在個別學(xué)生直接硬算的現(xiàn)象。如果后續(xù)抽問中，還有學(xué)生直接硬算，教師無須點出，可以引導(dǎo)其計算第二問，這會引發(fā)學(xué)生的認知沖突，這樣公式逆用會引入得更加自然且記憶深刻。如果一開始學(xué)生就回答得較好，教師只需要引導(dǎo)該生說出具體過程采用的思路即可。在這兩問中，第一問較簡單，第二問需要學(xué)生先用“冪的乘方”法則的公式逆用，將指數(shù)化為相同，在這里，教師可以適當(dāng)發(fā)散學(xué)生的思維，著眼于學(xué)生解決問題的方式。第二問，教師讓學(xué)生自主解決，可以由兩個學(xué)生同時在黑板上書寫，其他學(xué)生觀察異同。

（五）課堂小結(jié)

1. 積的乘方法則：積的乘方，等于每個因數(shù)乘方的積。

其公式：（ab）n（n是正整數(shù)），推廣：（abc）n=anbncn。

2. “積的乘方”法則公式逆用：anbn=（ab）n（n是正整數(shù)）。

推廣：（abc…）n=anbncn…（n是正整數(shù)）。

3. 核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析。

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)由學(xué)生自行回顧總結(jié)，這樣做，一是有利于學(xué)生自主梳理出本節(jié)的知識——“積的乘方”法則對應(yīng)公式及推廣的正用和逆用；二是促進了學(xué)生在解決問題的過程中，分析出題目中的指數(shù)和底數(shù)。教師在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)的過程中，可以順帶引導(dǎo)、回顧本課時主要涉及的核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析，并讓學(xué)生實實在在地感受到這些要點。

五、教學(xué)反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》明確指出，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。課堂設(shè)計的初衷，是讓學(xué)生成為課堂的主人，讓學(xué)生在課堂上，探究、思考、獲得知識，并學(xué)會應(yīng)用。結(jié)合初中生的心理狀態(tài)，本堂課的脈絡(luò)比較清晰，每個問題的后面，都設(shè)計了銜接練習(xí)。在幾個不同的班級進行了實踐后，上課效果與預(yù)期基本一致，整體很流暢，學(xué)生的課后作業(yè)完成得較好，整體掌握情況不錯。由此可見，流暢的課堂設(shè)計、及時引導(dǎo)學(xué)生思考并解決問題，是一個很適合初中生的方式。

本節(jié)課的設(shè)計也存在一些不足：由于時間的限制，課堂上只是將幾個基礎(chǔ)的點讓學(xué)生梳理清晰，并進一步強化，設(shè)計問題的高度可能不夠；學(xué)生的基礎(chǔ)有差異，在本節(jié)課中，基礎(chǔ)較差的學(xué)生在完成相應(yīng)練習(xí)和知識掌握上，可能感覺有點吃力，而基礎(chǔ)較好的學(xué)生，又可能會認為課堂問題的難度不夠。

在實際操作中，教師需要仔細分析學(xué)生的學(xué)業(yè)水平、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)心理和認知特點等，針對不同的學(xué)生群體，找到不同的研究坡度、設(shè)計不同的問題，做到因材施教。在后續(xù)教學(xué)設(shè)計及課堂教學(xué)中，教師還可以針對性地進行更多的嘗試，讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的同時，又能夠提升知識深度，給予學(xué)生發(fā)散思維的空間，引發(fā)學(xué)生更多的思考。

參考文獻：

［1］黎棟材，王尚志. 平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計［J］. 數(shù)學(xué)通報，2015，54（01）：29-31+37.

［2］渠東劍. 核心素養(yǎng)：教學(xué)的第三條主線［J］. 數(shù)學(xué)通報，2020，59（03）：20-24.

［3］何繼剛. 談促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)的“四步循環(huán)”教學(xué)——平面向量基本定理的“四步循環(huán)”教學(xué)與反思［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（09）：5-7+30.

（責(zé)任編輯：鄒宇銘）