劉孝成 汪世敏

摘? 要：直觀想象是《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》要求的核心素養(yǎng)之一，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)是落實新時代“立德樹人”核心教育方針的有效措施。文章以“利用導(dǎo)數(shù)研究一元函數(shù)的零點問題”為例進行教學(xué)分析和教學(xué)設(shè)計，詳細闡述學(xué)生在直觀想象素養(yǎng)生成過程中遇到的瓶頸問題，引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終達到思維提質(zhì)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；直觀想象；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)本質(zhì)

相交關(guān)系是初等數(shù)學(xué)研究中的一種重要的位置關(guān)系，其帶給研究者的思維沖擊構(gòu)筑了一系列的知識點和能力點，函數(shù)的零點在人教高中數(shù)學(xué)A版必修一第三章已經(jīng)給出了明確定義，其幾何本質(zhì)是一種相交關(guān)系。本研究選取人教A版選修2-2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的習(xí)題進行教學(xué)分析和教學(xué)設(shè)計，立意在相交關(guān)系這種幾何本質(zhì)的體現(xiàn)，探求直觀想象素養(yǎng)生成的著力點。

一、教學(xué)內(nèi)容解析

（一）知識分析

本節(jié)課內(nèi)容上應(yīng)從學(xué)生熟悉的超越函數(shù)入手，變換視角分析，形成利用導(dǎo)數(shù)工具有效解決一元函數(shù)零點問題的方法。課程定位為思維品質(zhì)和解題能力提升課，圍繞“導(dǎo)數(shù)工具性”不斷提出問題并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、產(chǎn)生疑問，從不同角度尋求問題的解決，讓學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的極值、最值等問題后再去解決，整個過程應(yīng)注重學(xué)生的自主探究和思想方法的滲透，增強了研究意識，并對分類討論、數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想有了進一步的體會。

（二）數(shù)學(xué)思想和方法分析

函數(shù)的零點問題是數(shù)、形、式三位一體的集中體現(xiàn)，是函數(shù)的零點、方程的解、圖象的交點之間的轉(zhuǎn)化過程，其中蘊含著數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

（三）知識體系分析

學(xué)生具備知識網(wǎng)絡(luò)，如圖1。

（四）價值分析

通過利用導(dǎo)數(shù)研究一元函數(shù)零點，實現(xiàn)學(xué)生從感性認識到理性研究的思維轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)課堂不能只有抽象層面的代數(shù)推理，直觀想象在學(xué)科研究中是形成論證思路和數(shù)學(xué)推理的思維基礎(chǔ)，這正是本設(shè)計的學(xué)科價值之所在。本設(shè)計的教育價值在于運用觀察到的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，主動思考現(xiàn)象，尋求解決新情境中的數(shù)學(xué)問題，感悟情境問題中數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)。

（五）教學(xué)重點和難點

重點：感悟函數(shù)零點問題蘊含的數(shù)學(xué)思想，厘清函數(shù)零點問題的內(nèi)在聯(lián)系和知識邏輯，準確使用導(dǎo)數(shù)工具。

難點：構(gòu)建合適的思路解決零點問題，認清零點、方程的解、相交關(guān)系互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（六）目標分析

1. 多角度探究零點問題轉(zhuǎn)化出的相交關(guān)系，感知利用導(dǎo)數(shù)研究一元函數(shù)零點的問題實質(zhì)，形成知識的高通路遷移。

2. 對比各種轉(zhuǎn)化出的相交關(guān)系，厘清零點問題等價轉(zhuǎn)化的方式，體會數(shù)學(xué)思想（數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化）帶來的樂趣，提升關(guān)鍵思維品質(zhì)。

3. 感受直觀圖形帶來的美學(xué)特征，在圖形的變化中培養(yǎng)學(xué)生捕捉信息的能力，通過嚴謹?shù)乃季S和準確的表述，提升學(xué)科綜合素養(yǎng)。

二、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計

（一）回顧知識，筑牢零點問題基礎(chǔ)

問題一：什么是零點？

【設(shè)計意圖】 學(xué)生對知識要達到有深度的遷移和轉(zhuǎn)化，必須站在更高的角度對現(xiàn)有概念和定義有一定的理解，不能停留在表面。函數(shù)的零點本質(zhì)是思維的轉(zhuǎn)化，是相交關(guān)系的代數(shù)展現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧知識有利于認清研究問題的本質(zhì)：（1）不管哪類零點最終落腳到兩圖像的相交；（2）零點問題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識的相互轉(zhuǎn)化。在教學(xué)中應(yīng)大膽讓學(xué)生總結(jié)這種相交關(guān)系的常見形式（孤立零點、端點零點、極值零點、尖點零點和變號零點），感悟零點問題處理策略：（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）數(shù)形結(jié)合思想。

【教學(xué)預(yù)設(shè)】 在必修一第三章對函數(shù)的零點給出了明確的定義：對函數(shù)y=f（x）（x∈D），使f（x）=0的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）（x∈D）的零點。零點理解：方程f（x）=0的實數(shù)根x=x0?函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點橫坐標。（相當于兩曲線相交交點的橫坐標）所以零點不是點是方程的根或者是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，本質(zhì)上零點是一個實數(shù)。

（二）探究問題，發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)

問題二：求方程f（x）=lnx-x+1的零點個數(shù)？

【設(shè)計意圖】 學(xué)生轉(zhuǎn)化為方程lnx-x+1的解，易通過觀察得出方程的解是x=1，x=1是函數(shù)f（x）=lnx-x+1的一個零點，但對是否只有一個零點，部分學(xué)生是無法直接回答的，大多數(shù)學(xué)生知道還需研究函數(shù)的性質(zhì)，問題的設(shè)計具有可開發(fā)性，起到拋磚引玉的目的。

【教學(xué)預(yù)設(shè)】 本題還需探求函數(shù)f（x）=lnx-x+1的單調(diào)性。

f′（x）=當x∈（0，1），f（x）>0，f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，當x∈（1，+∞），f′（x）<0，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減。其發(fā)展趨勢如圖2：而f（1）=0，所以此時只有一個零點x=1，x=1是函數(shù)y=f（x）的極大值點，f（x）在x=1處取得極大值。

（三）逆向設(shè)問，升華思維品質(zhì)

研究了函數(shù)f（x）=lnx-x+1的零點個數(shù)后，下面做逆向思維引入?yún)?shù)a。

問題三：若函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a∈R）有兩個零點，則a的取值范圍是什么。（學(xué)生自己嘗試解題）

【設(shè)計意圖】 逆向構(gòu)造新問題情境是教學(xué)設(shè)問的常用方式，可以有效拓展學(xué)生思考問題和研究解決的方式，面對新問題情境的處理思路和方法是教學(xué)指揮棒高考的要求和導(dǎo)向，在總時間有限的情況下，不同學(xué)生選擇的方式不一樣其解決問題所耗費的時間和取得的效果也是不一樣的。本問題的設(shè)置具有一定的開放性，也是本課的教學(xué)主體，應(yīng)充分考慮學(xué)生認知特點，時間上可以適當延長，目的是留夠足夠的思考時間，力求讓學(xué)生感受到零點問題的本質(zhì)。（以下預(yù)設(shè)解答角度）

角度二：將函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a∈R）有兩個零點轉(zhuǎn)化為lnx=ax-1方程有兩個實根，進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx和過定點的直線系y=ax-1有兩個交點，作出圖像如圖5。

三、教學(xué)思考

（一）情境設(shè)置的合理性

熟悉情境、關(guān)聯(lián)情境和綜合情境是數(shù)學(xué)問題的常見呈現(xiàn)方式，學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的研究一般遵循從熟悉情境入手，探入關(guān)聯(lián)情境思考，深入綜合情境。不同學(xué)齡段、不同認知深度的學(xué)生對情境的理解層次是有差異的，在設(shè)計直觀想象情境時，應(yīng)充分考慮這種差異，面對不同教學(xué)對象、不同學(xué)歷階段時應(yīng)采用多樣化的情境設(shè)計，做到適合學(xué)情。

（二）問題設(shè)置的開放性

傳統(tǒng)教學(xué)中的問題設(shè)置，答案往往是單一的，存在問什么就答什么的教學(xué)現(xiàn)象，提問也比較單一；教師就題講題，沒有深入去挖掘問題的來源、本質(zhì)、去向等相關(guān)知識，在這種模式下學(xué)生的思維被禁錮。數(shù)學(xué)知識的生成過程是教師應(yīng)關(guān)注的問題，直觀想象為這個過程搭建了一個良好的平臺，教學(xué)設(shè)置問題的開放性體現(xiàn)在：（1）引入問題的多樣性?？梢圆捎庙槃菀?、逆向引入、生活情境引入等多樣引入方式。（2）答案的豐富性。問題的提出應(yīng)充分考慮不同學(xué)生對問題的不同切入點，其獲得答案或結(jié)果所耗的時間和精力也不相同，這樣才能使不同學(xué)生得到不同的發(fā)展。

（三）素養(yǎng)生成的關(guān)聯(lián)性

直觀想象是“看”出來的，由于問題的綜合性和復(fù)雜性，“看”已不再是單一的直接觀察而是多個素養(yǎng)作用下的合力表象，簡單來說就是考查直觀想象素養(yǎng)的題目中不光有直觀想象素養(yǎng)。以本研究中設(shè)計題目來說，研究函數(shù)f（x）=lnx-x+1的單調(diào)性需要數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為相交關(guān)系需要邏輯推理素養(yǎng)，計算出參數(shù)的值需要數(shù)學(xué)分析素養(yǎng)。在大概念的教學(xué)理念下，關(guān)注素養(yǎng)生成的關(guān)聯(lián)性，不只局限于學(xué)科本身，跨學(xué)科的知識遷移對綜合素養(yǎng)的提升也有較大的促進作用。

（四）拓展練習(xí)的針對性

基于圖形直觀解決數(shù)學(xué)問題是直觀想象素養(yǎng)的核心，而圖形關(guān)系琳瑯滿目，因此在對應(yīng)圖形關(guān)系的研究后，拓展練習(xí)應(yīng)遵循學(xué)生的認知特點和開放性思維方式進行有針對性的練習(xí)設(shè)計。這種針對性體現(xiàn)在兩方面，一是興于形、立于思、成于新是直觀想象課后習(xí)題設(shè)計的原則；二是適度遷移，學(xué)生知識體系的完整性是無法和教師進行對比的，因此設(shè)計的練習(xí)應(yīng)遵循學(xué)生認知發(fā)展的原則，不能過度遷移。

高中生正處在素養(yǎng)和能力發(fā)展的黃金期，大部分學(xué)生能夠理清自己解決問題的思路，對抽象性的幾何問題，繪圖、利用圖象分析、借助圖象解決問題、動態(tài)捕捉關(guān)鍵信息都有一定基本功，如果能夠在問題轉(zhuǎn)化、抽象概括方面提升自己，教師適當引導(dǎo)，學(xué)生自我總結(jié)，發(fā)現(xiàn)問題實質(zhì)，形成高通路的知識遷移，這樣直觀想象素養(yǎng)就能得到長久的發(fā)展。

參考文獻：

［1］人民教育出版社. 普通高中課程標準實驗教科書（選修2-2）［M］. 北京：人民教育出版社，2007.

［2］吳天添. 高中數(shù)學(xué)開放性課堂教學(xué)的幾點思考［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（15）：56-57.

［3］王娟. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境［J］. 中國校外教育，2017（05）：61.

（責(zé)任編輯：鄒宇銘）