王錦繡

【摘 ?要】 在高考數(shù)學中，解析幾何通常以壓軸題形式出現(xiàn)，有著極強的綜合性，既考查解析幾何自身方面的知識，還涉及其他方面的數(shù)學知識，計算量也比較大，對學生的做題方式、思維能力與綜合知識的掌握水平均要求較高.在高中數(shù)學教學中，教師需格外關(guān)注解析幾何方面的習題訓練，幫助學生掌握一些有效的解題技巧與策略，提高他們的解題水平.本文主要對高中數(shù)學教學中解析幾何的解題技巧及策略進行淺談，同時分享部分解題實例.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學;解析幾何;解題技巧

解析幾何是高中數(shù)學教學中的重要構(gòu)成部分，主要涉及到直線、圓、曲線、橢圓、雙曲線、拋物線及其方程等相關(guān)知識，雖然屬于平面幾何范疇，但是難度相對較大，尤其是在習題訓練中，對學生理論知識掌握、邏輯思維能力均有著較高要求，他們極易陷入困境之中.面對這一局面，高中數(shù)學教師應高度重視解析幾何解題訓練的開設(shè)，傳授給學生一些實用性極強的技巧與策略，引領(lǐng)他們從多個視角進行解析，使其解題思維得到開拓與強化.

1 ?中點弦問題——幾何與代數(shù)相結(jié)合

在高中數(shù)學解析幾何教學中，中點弦問題是一個比較常見的題目類型，也是各類考試中最為容易出現(xiàn)的題目形式之一，根據(jù)以往的解題經(jīng)驗能夠發(fā)現(xiàn)，在處理解析幾何中點弦問題時，通常要用到平面直角坐標系，通過數(shù)形轉(zhuǎn)化實現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的相互結(jié)合.對此，處理解析幾何中的中點弦問題時，高中數(shù)學教師可以提示學生基于數(shù)形結(jié)合視角切入，使其快速找準解題的突破口，利用數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)變確定解題思路與方法，促使他們準確解題^[1].

例1 已知、是拋物線上面的兩個點，弦的中點為，其坐標是（2，1），那么弦所在直線的方程是什么？

解析 ?這是一道典型的中點弦問題，如果純粹使用代數(shù)方法也能夠直線的方程，不過過程比較復雜，難度較大，教師可提醒學生運用數(shù)形結(jié)合思想，將幾何與代數(shù)結(jié)合起來，能夠有效提高他們解題的速度與正確率.

具體解題方式如下：設(shè)、兩點的坐標分別是（，），（，），

于是有，，

兩式相減得到，

整理以后變形為，

根據(jù)（2，1）是弦上面的中點可知，

直線的斜率，

由此得到，

所以弦所在直線的方程是，

化簡后為.

2 ??軌跡方程問題——直接法

軌跡方程問題即為同幾何軌跡相對應的代數(shù)問題，在高中數(shù)學解題幾何中也較為常見，通常來說，可滿足一定條件的動點所形成的圖形問題就屬于軌跡方程問題，或者是符合基礎(chǔ)條件的點的全體所組成集合的相關(guān)問題.處理高中數(shù)學解析幾何中規(guī)律方程問題時，教師可指導學生使用直接法來求解，就是假設(shè)動點的運動條件符合幾何的等量關(guān)系為基礎(chǔ)條件，且基礎(chǔ)條件比較明確，無需使用特殊的解題技巧，讓他們結(jié)合幾何關(guān)系直接得出軌跡方程^[2].

例2??已知在一個平面直角坐標系中，點的坐標是（2，0），圓的方程是，動點到圓的切線長度同之比等于常數(shù)，且，那么動點的軌跡方程是什么曲線？

解析 ?這是一道求解動點軌跡方程的問題，學生可以使用直接法，按照以下步驟進行：建立平面直角坐標系；設(shè)軌跡上動點的坐標；列出動點的相關(guān)關(guān)系式；結(jié)合已知條件選擇相應的距離公式或者斜率公式列出方程；證明所求方程就是符合條件的動點的軌跡方程.

具體解題方式如下：根據(jù)題意畫出如圖1所示的平面直角坐標系，設(shè)與圓相切于點，那么題目中的動點這時滿足，然后結(jié)合平面幾何知識，

分析后可以得到，

隨后可以把坐標代入其中，能夠得到，

最終能得出的結(jié)論是，如果，則動點的運動軌跡方程是一條直線；

如果，則動點的運動軌跡方程是一個圓.

圖 1

3 ?曲線問題——定義法

與上面介紹的兩種題型相比，在高中數(shù)學解析幾何解題訓練中，還有著一類比較特殊的題目，這些解析幾何類試題的基礎(chǔ)條件往往比較復雜，能夠被統(tǒng)稱為曲線問題，包括：橢圓問題、雙曲線問題與拋物線問題等.高中數(shù)學教師在帶領(lǐng)學生解答解析幾何中的曲線問題時，可以采用定義法進行解題，使其以分析或說明動點P的軌跡的確符合某種特殊曲線的基本特征為前提，求出特殊曲線的相關(guān)參量數(shù)值，最終讓他們順利得到題目中所求的軌跡方程^[3].

例3 ?已知，兩點的坐標分別是，，且是三角形的兩個頂點，與兩邊的中線長的和是30，那么的重心軌跡方程是什么？

解析 ?在本道題目中，所求的是一個三角形的重心軌跡方程，屬于曲線類問題，學生解答時可以使用定義法，即為先判斷出三角形重心這一動點的運動情況符合哪種特殊曲線的定義，再結(jié)合題干中提供的已知條件求出這一特殊曲線的方程.

具體解題方式如下：首先可以假設(shè)的重心點的坐標是，因為與兩邊的中線長的和是30，

所以能夠得到，

由于、兩點的坐標分別是，，且是兩個定點，那么三角形重心點的運動軌跡就是一個以，兩點為焦點的橢圓，

根據(jù)，能夠得到，，

所以三角形的重心點的軌跡方程為

，且（）.

4 ?運用逆向思維

針對高中數(shù)學解析幾何解題教學來說，學生往往會遇到部分與眾不同的題目，處理這些問題時從正向視角切入難度較大，或者解題步驟復雜、繁多，如果不加小心就容易出現(xiàn)錯誤情況，影響他們的解題自信，甚至關(guān)系到學習整個數(shù)學課程的態(tài)度.這時高中數(shù)學教師可引導學生運用逆向思維，也就是從題目中的一些已知條件或者結(jié)論著手，對相應的條件展開轉(zhuǎn)化，使其通過逆向思考逐步往回有序推理，讓他們從中找到更為簡潔的解題思路與技巧^[4].

例4 ?已知橢圓：的右焦點為，右頂點為，離心率為，點的坐標是，且，滿足條件，（1）的值是什么？（2）假設(shè)過點的直線和橢圓相交于點、，與的面積分別為、，請證明：.

解析 ?處理本道題目時，教師應當指引學生使用逆向思維，對題目內(nèi)容展開逆向分析，如圖2所示，假如，而，所以，則直角與Rt是相似關(guān)系，所以，.

圖 2

具體解題方式如下：第（1）問比較簡單，學生能夠輕松求出的值是8，這里不再詳加贅述；

（2）假如直線的斜率不存在，那么與是相等關(guān)系，，符合題意；

假如直線的斜率存在，那么假設(shè)直線的方程是

，，，

因為，，

所以，

則恒成立，

而且，，

又因為＝

＝

＝

＝＝0，

故，

因為與的面積分別是，

，

由此證明.

5 ?化曲線為直線

在高中數(shù)學解析幾何解題教學實踐中，由于遇到的大部分題目都是同曲線有關(guān)的問題，教師需要教導學生學會化曲為直的解題方法，這一解題技巧的本質(zhì)就是利用線段或者直線來解題問題，減低解題的難度，減少他們出現(xiàn)錯誤的概率，使其做起題來更為高效.具體來說，高中數(shù)學教師在指引學生解決解析幾何題目時應把握好化曲為直的方法與技巧，將曲線問題轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€問題，使其在最短時間內(nèi)確定解題思路與計算方式，幫助他們準確求出結(jié)果^[5].

例5 ?在一個圓錐當中，底面的面積大小為，母線為，點是的中點，當一個動點到底面圓周上的點時，側(cè)面就會移動至點，那么此時點與點之間最短的距離為多少？

解析 ?在解答這一題目過程中，教師可以提示學生基于圓錐曲線的基本性質(zhì)視角切入，明確解題思路與方法，靈活使用相關(guān)公式，并結(jié)合題意畫出相應的圖形，直觀呈現(xiàn)軌跡的動態(tài)化形成過程，且把曲線轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€，達到化曲為直的效果，使其發(fā)現(xiàn)會受到變量的限制，所以他們在畫圖過程中要注意參數(shù)的正確選擇.

具體解題方式如下：根據(jù)題目中的描述可以畫出如圖3所示的圓錐圖，把母線剪開后形成一個平面圖像，這就能夠發(fā)現(xiàn)其中是距離最短的情況，而且的大小是120°，結(jié)合余弦定理可以計算出，即點與點之間最短的距離是.

圖3

6 ?化陌生為熟悉

對于高中數(shù)學解析幾何解題教學而言，學生經(jīng)常會遇到一些比較陌生或者提前沒有預判到的題目，他們在短時間內(nèi)很難找到解題的切入點，有時甚至不知道從何處著手，容易陷入思維障礙之中，如果不加以疏導很難順利求解.此時，高中數(shù)學教師可以滲透轉(zhuǎn)化思想，引領(lǐng)學生把這些陌生或者沒有預判到的題目轉(zhuǎn)變成熟悉的問題，符合解析幾何試題的一般特征，使其精準找到解題的突破口，采用簡單明了的解題步驟，從而提高他們的解題效率^[6].

例6 ?已知一個動圓經(jīng)過點（0，1），而且同直線是相切關(guān)系，假如直線同這個動圓存在有公共點，那么圓的面積（ ??）

（A）有最大值是.

（B）有最小值是.

（C）有最大值是.

（D）有最小值是.

解析 ?結(jié)合拋物線的定義來看，題干中提供的已知條件是動圓經(jīng)過點（0，1），而且同直線是相切關(guān)系，那么點到圓圓心之間的距離和圓心到直線之間的距離一樣，這表明圓心的運動軌跡就是一個拋物線，以此確定解題思路，而且使用圓錐曲線定義進行解題時，教師要引領(lǐng)學生用到轉(zhuǎn)化思想，對相關(guān)定義進行適當轉(zhuǎn)化，目的是把題目中包含的條件變得更為明確，讓他們找到更為恰當?shù)慕忸}方法.

具體解題方式如下：根據(jù)拋物線的定義可知點的運動軌跡方程為，

假設(shè)點的坐標是（，），

因為圓心過點，

所以半徑，

由于直線同這個動圓存在有公共點，

那么可以轉(zhuǎn)化為點（，），

到直線的距離

，

解之得或者，則圓的半徑是，

所以說圓有最小面積是，即為正確答案是選項（D）.

7 ?結(jié)語

綜上所述，解析幾何既是高中數(shù)學教學中的重點內(nèi)容，還是一大難點，教師在平常教學中應給予格外關(guān)注，以詳細、透徹地講解理論知識為前提，科學合理地組織專題解題訓練，為學生提供更多親自動手解答解析幾何試題的機會，幫助他們掌握多種多樣的解題技巧與策略，有效降低題目的難度，使其形成清晰、明了且簡潔的解題思路，最終高效的解答題目.

參考文獻：

[1]王德忠.高中數(shù)學解析幾何解題研究——基于數(shù)形結(jié)合思想[J].中學數(shù)學，2021（23）：56-57.

[2]楊冬梅.試論高中數(shù)學解析幾何問題的教學方法[J].理科愛好者（教育教學），2021（05）：100-101.

[3]徐海棠.高中數(shù)學解析幾何問題的解題技巧[J].數(shù)理化解題研究，2020（25）：40-41.

[4]凌彬.高中數(shù)學解析幾何高考試題與教學策略分析[J].課程教育研究，2020（13）：153-154.

[5]黃志熇.高中數(shù)學解析幾何問題的解題技巧探究[J].試題與研究，2020（02）：31.