劉池樓

【摘 ?要】??一題多解是數(shù)學教師在解題教學中常用一種教學方式.其有利于拓寬學生的思維視野，發(fā)展學生的思維品質，提升學生的核心素養(yǎng).教學中，教師應立足例題的典型性，引導學生多維思考，開闊學生的思路，促進學生深刻理解與考題相關聯(lián)的不同知識點，進而提升處理此類問題的解題能力，發(fā)展學生的核心素養(yǎng).

【關鍵詞】 平面向量；高中數(shù)學；解題技巧

由于平面向量具有“形”和“數(shù)”兩種形態(tài)^[1]，所以求解數(shù)量積問題時，可關注平面向量的幾何意義的應用，獲取求解思路；亦可關注平面向量的坐標運算的應用，獲取求解思路.請結合如下問題的多解探究，認真領會，以便迅速提升處理此類問題的解題能力^[2].

好題采擷如圖1，在凸四邊形中，為的中點，為△的重心，且滿足，，，求的值.

多解探究因為，所以可得三點共線，且為的中點.

根據(jù)三角形重心的定義以及題意“為的中點，為的重心”可得三點共線.從而，必有四點共線，且.

解法一 ?連接，則根據(jù)為的中點，為的中點可得，且，所以.

因為為的重心，所以，

所以可得

.

于是，可知.

又，

所以

.

因為，所以平方得，

所以代值得，

即.

綜上，所求.

點評 該解法的切入點是選擇一組基底（向量），解題關鍵是將目標問題轉化為關于的運算問題，顯然對向量形式的化簡、運算要求較高.

解法二 ?如圖2，建立平面直角坐標系，則由題設知點.

設點，則△的重心的坐標為.

設點，則由，

得，

所以，

所以，所以點.

于是，.

所以.

因為，

所以由，

得，

即.

綜上，所求.

點評 該解法選取點作為坐標原點，通過設出點的坐標，有利于借助平面向量的坐標運算，順利求解目標問題.

解法三 ?根據(jù)題意，可建立如圖3所示的平面直角坐標系，則.

設點，則由，可得.

從而，，所以點，

所以，.

于是，由，

可得，即.

又，

故所求.

點評該解法選取點作為坐標原點，通過設出點的坐標，有利于優(yōu)化解法二的解題思路.一般地，建系方式不同，設點坐標的方式不同，往往會影響解題過程的繁與簡.

結語

綜上，處理平面向量中的求值問題，往往有兩個常用思路：一是向量形式的運算求值，對解題技能要求較高^[3]；二是借助向量的坐標運算，達到化簡求值之目的，實施方便一些^[4].

參考文獻：

[1]呂松濤，曹廣福.高中向量教學中數(shù)學思想的滲透[J].數(shù)學教育學報，2021，30（04）：19-24.

[2]張瑾.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學單元教學設計研究[D].西安：陜西師范大學，2019.

[3]高琴.構造向量 優(yōu)化思維[J].高考（綜合版），2014（02）：92-93.

[4]朱書莉.基于SOLO分類理論對高中生向量學習的研究[D].重慶：西南大學，2020.