王偉杰

【摘 ?要】圓錐曲線具有獨(dú)特性質(zhì)，因此解決定點(diǎn)及存在性問(wèn)題可以通過(guò)假設(shè)存在特殊點(diǎn)或特殊情況，以特殊來(lái)證實(shí)給出結(jié)論，再由特殊到一般去論證求解；還可以將所要證明的點(diǎn)或量表示為其他參變量的函數(shù)方程，通過(guò)化簡(jiǎn)變形證明結(jié)果與參變量無(wú)關(guān).本文以存在性問(wèn)題解析為例，通過(guò)假設(shè)情況存在為前提，倒推出求解問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;高中數(shù)學(xué);定點(diǎn)問(wèn)題

1 ?解題方法探究

1.1 ?直接法

圓錐曲線問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)碰到直線和曲線過(guò)一未知坐標(biāo)的定點(diǎn).這時(shí)只需要應(yīng)用直接法根據(jù)直線和曲線方程聯(lián)立，直接就可求得定點(diǎn)或存在性問(wèn)題.

1.2 ?逆推法

與直接法對(duì)應(yīng)的逆推法則用于題目給出確定點(diǎn)，或是一些特殊關(guān)系，來(lái)證明一般規(guī)律的確定性.若只給出條件，且題干中包含求“是否存在”等表述語(yǔ)句時(shí)，要先結(jié)合結(jié)論，假設(shè)存在這類關(guān)系，進(jìn)行逆推.此時(shí)可將要證明的結(jié)論假設(shè)為條件逆推回去，若得到使條件成立的結(jié)論，則能證明存在這類關(guān)系.

1.3 ?參數(shù)法

首先要分清題中哪些是變動(dòng)的關(guān)系，哪些是固定的關(guān)系；然后時(shí)刻記住“設(shè)而不求”、“參數(shù)必消”，引入?yún)?shù)，看看是否能將參變量消除.先猜想，后證明，即利用考慮特殊情況的點(diǎn)先驗(yàn)證，這樣就可以基本確定關(guān)系式，再來(lái)由一般情況去證明關(guān)系式.

解題步驟如下：第一步解題步驟設(shè)方程、聯(lián)立方程、化簡(jiǎn)并根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和、之積；第二步則是要進(jìn)一步和條件對(duì)接，將題目中提供的條件轉(zhuǎn)化為可以用x₁、x₂來(lái)表達(dá)的式子，通過(guò)代入化簡(jiǎn)得到雙參數(shù)關(guān)系式，然后將雙參數(shù)轉(zhuǎn)化為僅含一個(gè)參數(shù)的表達(dá)式.

2 ?存在性問(wèn)題例題解析

例題已知橢圓的離心率為，焦距為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).是否存在常數(shù)，使得直線與直線的交點(diǎn)在，之間，且總有？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

解析 （1）解題思路：由橢圓的基本性質(zhì)可得關(guān)系式為：求出，再根據(jù)求出，可得結(jié)果.

由題意可知，，

解得，

所以，

所以橢圓的方程為.

（2）解題思路：先假設(shè)t存在，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，

由韋達(dá)定理得到與，

將化為，

即，

再結(jié)合韋達(dá)定理可得對(duì)恒成立，從而可得.

直線的方程為，

聯(lián)立，

消去并整理得，

則，

得，

設(shè)，，

則，

，

依題意可得，

因?yàn)樵?，之間，所以，

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以 得，

得，

得，

將，代入上式并整理，

得，對(duì)恒成立，

所以，即，

故存在常數(shù)，使得直線與直線的交點(diǎn)在，之間，且總有.

解題點(diǎn)睛利用平面集合知識(shí)將化為后，再結(jié)合韋達(dá)定理求解是解題關(guān)鍵.

3 ?結(jié)語(yǔ)

從本題中我們可以看出，解析幾何存在性問(wèn)題的解法是基于其存在的情況下進(jìn)行推理和計(jì)算的，在根據(jù)得出的結(jié)果看是否合理，確定其是否存在.定點(diǎn)問(wèn)題也同樣，假設(shè)定點(diǎn)存在，再利用特殊情況推導(dǎo)出特殊關(guān)系，再有特殊轉(zhuǎn)化為一般.