陳磊

摘 要：幾何模型及其二級結(jié)論在中高考中屢次出現(xiàn)．本文通過在七年級期末復(fù)習(xí)時一個壓軸填空的研究，借助幾何畫板探索了共直角頂點的兩個相似直角三角形的結(jié)構(gòu)及其拓展結(jié)論，并在探索過程中分享了一些對幾何模型的教學(xué)思考．

關(guān)鍵詞：幾何模型；相似直角三角形；拓展

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將幾何直觀作為數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)眼光”的重要組成部分，在初中數(shù)學(xué)中，幾何直觀不再是一種“行為”，而是“意識與習(xí)慣”，是核心素養(yǎng)的一種具體表現(xiàn)^［1］．而初中數(shù)學(xué)的平面幾何知識正是將幾何直觀的培養(yǎng)與具體教學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系的重要載體．通過圖形的運動感受圖形之間的關(guān)系，從動態(tài)的角度理解圖形．平面幾何是極為重要的構(gòu)成部分，幾何模型是幫助學(xué)生進行平面幾何學(xué)習(xí)的有效載體，能促進學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的高效化．近年來，幾何模型及其二級結(jié)論在中高考中屢次出現(xiàn)．因此對一些經(jīng)典的幾何模型進行積累和教學(xué)是極其重要的．

筆者在七年級期末復(fù)習(xí)階段的復(fù)習(xí)試卷上遇到了一個幾何問題，學(xué)生的作答情況很不理想，因而通過幾何畫板進行了相關(guān)的研究并記錄．

1 引子：遇見好題

1.1 題根

如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠FAB=∠GAC=90°，AF=AB，AG=AC，連接FG，交DA的延長線于點E，連接BG，CF（如圖2）.則下列結(jié)論：① BG=CF；② BG⊥CF；③ ∠EAF=∠ABD；④ EF=EG.其中正確的有_____（填序號）.

簡答：結(jié)論①②屬于“手拉手”模型中的常規(guī)題型，由△AFC≌△ABG（SAS）即可證明得到結(jié)論①．結(jié)論②找“8字模型”即可證得．結(jié)論③中∠EAF和∠ABD都是∠BAD的余角，也易得它們相等．結(jié)論④簡證如下：過F作FN⊥DE，垂足為N，過G作GM⊥DE，交DE的延長線于M（如圖3）．在直線DE左側(cè)可證得△FAN≌△ABD（AAS），進而得到FN=AD，同理，在直線DE右側(cè)可證得△AMG≌△CDA（AAS），進而得到GM=AD，因此FN=GM，這為新的三角形全等提供了條件，即可證得△FEN≌△GEM（AAS），從而順利得到EF=EG，即E為線段FG的中點．故本題正確答案為①②③④．

1.2 學(xué)生作答分析

學(xué)生對結(jié)論①②的掌握還是可以的，但有一部分學(xué)生沒有選③，當(dāng)筆者評講完后學(xué)生又覺得十分簡單，后悔自己沒有看出來，這說明復(fù)雜圖形讓很多學(xué)生產(chǎn)生了困擾，學(xué)生難以從復(fù)雜圖形中抽絲剝繭篩選出需要的條件．幾乎所有學(xué)生對結(jié)論④都有疑惑，一些學(xué)生通過直尺的測量也得到了正確的結(jié)論，不失為解小題目的一種方法．本學(xué)期因教學(xué)進度緊張，關(guān)于全等的知識沒有補充詳盡，如本題結(jié)論④出現(xiàn)的聯(lián)想構(gòu)造一線三等角的幾何模型，學(xué)生對此并不敏感，因此出現(xiàn)了沒有找到輔助線導(dǎo)致不會證明的情況，這也在情理之中．筆者在幾何畫板中通過改變條件對這個問題繼續(xù)研究，發(fā)現(xiàn)本模型中還存在著一些很好的結(jié)論．將一個問題擴展到一類問題并把它們研究清楚更有利于我們對問題本質(zhì)的認(rèn)識和理解．

1.3 題根的新結(jié)論

求證：△FAG的面積和△ABC的面積相等，即S_△FAG=S_△ABC

2 拓展：圖形深化

在上面的問題中兩個直角三角形是相似的等腰直角三角形，當(dāng)我們把條件改成相似的非等腰直角三角形，在順相似和逆相似兩種情況下，上述四個結(jié)論是否仍然成立？又或者是否有類似的結(jié)論成立呢？

4 思考

4.1 幾何模型的積累是模式識別的前提

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們通過對所積累的知識經(jīng)驗進行必要的加工，得出具有長久保存價值的相對固定的題型結(jié)構(gòu)和解題策略，可以成為引領(lǐng)我們進行解題分析的基本模式，當(dāng)我們遇到一個新問題時，先辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個已經(jīng)解決的問題，檢索相應(yīng)的方法來加以解決^［2］．

模式識別這一解題策略體現(xiàn)了化歸思想，有時遵循化陌生為熟悉的情形，有時遵循將問題分解為若干基本問題后再解決的策略．無論是何種策略，模型積累重要性都是顯而易見的．我們只有在積累了幾何模型之后，才會在遇到新問題時有想法和思路．

4.2 幾何模型需要探索精神

我們上面討論的圖形都是共頂點的兩個相似的直角三角形的結(jié)構(gòu)，如果我們把直角三角形去掉，換成其他的特殊三角形（如等腰三角形、等邊三角形），又會有什么類似的結(jié)論呢？這些都是值得思考的．進一步地，如果僅僅是兩個相似的普通三角形又如何呢？其實宿遷的這個中考題已經(jīng)給了我們答案．在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們需要這種從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，去猜想一些結(jié)論進而去求證．

眾所周知，近年以來，一些情境化的問題考查越來越熱門，這些問題往往要求學(xué)生在考場上現(xiàn)場讀懂題意，學(xué)習(xí)新知識，進而運用到接下來的問題解決中，探索的意味十分濃厚．在培養(yǎng)學(xué)生的探索精神之前，教師應(yīng)在平時的解題中發(fā)揮探索精神，進而將探索精神滲透給學(xué)生，逐步培養(yǎng)學(xué)生探索的意識并教會他們探索的方式方法．

參考文獻：

［1］ 中國教育科學(xué)研究院基礎(chǔ)教育課程教材研究中心．義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）課例式解讀［M］．北京：教育科學(xué)出版社，2022：63.

［2］ 王懷學(xué).從一種數(shù)學(xué)模型的探究談模式識別的“立”與“破”［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（5）：1214.