林樂

摘 要：以《反比例函數(shù)》的一節(jié)課例的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，通過具體的教學(xué)步驟，從實(shí)際生活到數(shù)學(xué)理論，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)積極性，讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得容易起來.

關(guān)鍵詞：參與學(xué)習(xí)；建模思想；具體到抽象

近期在反比例函數(shù)的公開課教學(xué)中，筆者有一些實(shí)踐和思考.現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)整理出來，談一談“如何讓數(shù)學(xué)容易起來”的教學(xué)感受.

1 案例背景

這節(jié)課是章節(jié)的起始課，有著舉足輕重的作用.學(xué)生在此之前學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，對(duì)函數(shù)已有了一定的理解.而本章考查的重點(diǎn)是反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，往往有學(xué)生會(huì)覺得比較難，主要是因?yàn)楹瘮?shù)考查的知識(shí)面比較廣，綜合程度比較高.

基于反比例函數(shù)的特點(diǎn)，可以在教學(xué)過程中，從學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活中碰到的一些鮮活問題出發(fā)，由事例推導(dǎo)出理論知識(shí)，幫助學(xué)生解決問題，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，讓他們積極參與課堂互動(dòng)，加深對(duì)反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的理解.在教學(xué)過程中，可以適當(dāng)?shù)貙?duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生在解決實(shí)際生活問題的同時(shí)，也理解了數(shù)學(xué)理論知識(shí).這樣由具體到抽象，由事例到理論，讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)也不是那么難學(xué).

2 案例描述

下面是《反比例函數(shù)》的教學(xué)設(shè)計(jì)：

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

（1） 南京與上海相距約300 km，一輛汽車從南京出發(fā)，以速度80 km/h開往上海，汽車行駛的時(shí)間為t（h），行駛的路程為s₁（km），汽車距離上海的路程為s₂（km）.寫出s₁與t、s₂與t的函數(shù)關(guān)系式.

（2） 南京與上海相距約300 km，一輛汽車從南京出發(fā)，以速度v（km/h）開往上海，全程所用時(shí)間為t（h）.寫出t與v的函數(shù)關(guān)系式.

（3） 用函數(shù)表達(dá)式表示下列問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系：

① 游泳池的容積為5000 m³，向池內(nèi)注水，注滿水池所需時(shí)間t（h）隨注水速度v（m³/h）的變化而變化.

② 計(jì)劃修建一條長(zhǎng)為500 km的高速公路，完成該項(xiàng)目的天數(shù)y（天）隨日完成量x（km）的變化而變化.

③ 一家銀行為某社會(huì)福利廠提供了20萬元的無息貸款，該廠的平均年還款額y（萬元）隨還款年限x（年）的變化而變化.

④ 實(shí)數(shù)m與n的積是-200，m 隨n的變化而變化.

活動(dòng)預(yù)設(shè)：教師用PPT展示問題情境，學(xué)生自主探究問題中變量之間的關(guān)系，學(xué)生小組內(nèi)交流后進(jìn)行全班交流.

設(shè)計(jì)意圖：以探索實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律為背景，由第（1）題讓學(xué)生回憶起上學(xué)期學(xué)習(xí)的函數(shù)和一次函數(shù)，并能找出常量與變量，建立起一次函數(shù)的模型.而第（2）題中出現(xiàn)了不同于一次函數(shù)的模型，再由第（3）題建立并表示反比例函數(shù)的模型.在此過程中，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)新知的必要性，了解數(shù)學(xué)知識(shí)來源于實(shí)際生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決實(shí)際問題的興趣.

2.2 合作交流，探究新知

將上面學(xué)生列出的四個(gè)函數(shù)關(guān)系式排列在一起：

問題1：請(qǐng)思考這四個(gè)函數(shù)關(guān)系式有什么共同點(diǎn).

問題2：怎樣求反比例函數(shù)的自變量的取值范圍.

活動(dòng)預(yù)設(shè)：由PPT呈現(xiàn)所得的四個(gè)函數(shù)關(guān)系式，學(xué)生通過觀察、思考、議論，類比一次函數(shù)或正比例函數(shù)，給出反比例函數(shù)的概念及自變量的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力，為給出反比例函數(shù)的定義做好鋪墊.抓住學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，將原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移到新的學(xué)習(xí)中，感悟從特殊到一般的思想方法.反比例函數(shù)的自變量的取值范圍是對(duì)分式有意義的條件的深入，學(xué)生比較容易理解.

2.3 概念辨析，理解新知

給出一組習(xí)題，通過練習(xí)讓學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的概念進(jìn)行辨析.

下列關(guān)系式中的y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，指出k的值.

講評(píng)預(yù)設(shè)：學(xué)生回答后，追問：（3）（5）是什么函數(shù)？并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出反比例函數(shù)的三種等價(jià)形式：（其中k≠0）① y=k/x；② xy=k；③ y=kx^-1.

設(shè)計(jì)意圖：給出一組辨析題，旨在讓學(xué)生體會(huì)解決這類問題的關(guān)鍵是緊扣反比例函數(shù)的概念，即采用回歸定義法.③是把反比例函數(shù)的一般形式根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義進(jìn)行變形，在后續(xù)的有關(guān)題目中會(huì)有應(yīng)用.②是把反比例函數(shù)的一般形式兩邊同乘x得到的，可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出反比例函數(shù)的本質(zhì)：兩個(gè)變量的乘積為定值.這樣，學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了：聽懂了—理解了—學(xué)會(huì)了—會(huì)學(xué)了，真正做到舉一反三、觸類旁通.學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)自己容易出錯(cuò)的地方，相互提醒該注意的問題，這往往是對(duì)思維的一種提升.

2.4 例題教學(xué)，運(yùn)用新知

例1 若y=（m+1）x^m2-2是反比例函數(shù)， 求此反比例函數(shù)的表達(dá)式.

例2 寫出下列問題中兩個(gè)變量之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式，并判斷它們是否為反比例函數(shù).如果是，寫出常數(shù)k的值.

（1） 面積是50 cm²的矩形，一邊長(zhǎng)y（cm）隨另一邊長(zhǎng)x（cm）的變化而變化.

（2） 一邊長(zhǎng)為5 cm的三角形，面積y（cm²）隨這條邊上的高x（cm）的變化而變化.

（3） 汽車行駛了1000 m，車輪旋轉(zhuǎn)的周數(shù)n隨車輪的直徑D（m）的變化而變化.

（4） 體積是100 cm³的圓錐，高h(yuǎn)（cm）隨底面面積S（cm²）的變化而變化.

活動(dòng)預(yù)設(shè)：先由學(xué)生自主解答例1，再全班交流，展示學(xué)生的解題過程.再由小組討論例2，選派代表回答，教師即時(shí)點(diǎn)評(píng).最后，在運(yùn)用反比例函數(shù)概念的過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)表他們的收獲與感悟.

設(shè)計(jì)意圖：例1旨在完善學(xué)生反比例函數(shù)概念的構(gòu)建，讓學(xué)生準(zhǔn)確把握定義，體會(huì)概念中常數(shù)k≠ 0；例2引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出函數(shù)關(guān)系式，識(shí)別一個(gè)函數(shù)是否為反比例函數(shù)，關(guān)鍵是理解反比例函數(shù)的本質(zhì).此外，學(xué)生通過板演或講解展示自己，勇于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，鍛煉自己的表達(dá)能力，培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式；學(xué)生參與到數(shù)學(xué)問題的討論中，讓數(shù)學(xué)課堂“鮮活”了起來，通過傾聽他人的見解，在交流中獲益；學(xué)生學(xué)會(huì)了用函數(shù)思想去解決實(shí)際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想，也實(shí)現(xiàn)了知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化.

2.5 生活中的數(shù)學(xué)

對(duì)于y=300/x，你能否賦予它一個(gè)實(shí)際情境？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：由小組討論，選派代表回答，引導(dǎo)學(xué)生理解：同一個(gè)反比例函數(shù)表達(dá)式可以表示不同類型的實(shí)際問題.

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課是由t=300/v引入的，再由y=300/x結(jié)束，體現(xiàn)了首尾呼應(yīng).通過討論，讓學(xué)生在各小組內(nèi)各抒己見.有些文靜內(nèi)向的學(xué)生在全班面前也許不愛發(fā)言，但在小組內(nèi)可以放松下來，說出自己的想法；有的思維不太活躍的學(xué)生，在實(shí)際問題中也能說一說自己的見解，這充分體現(xiàn)了人人都參與到了課堂中，并讓數(shù)學(xué)課堂“靈動(dòng)”起來.重要的是，這和前面的教學(xué)從特殊到一般正好相反，這是從一般到特殊的思想方法.另外，學(xué)生在此過程中，要學(xué)會(huì)如何將實(shí)際生活中的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決，進(jìn)一步體現(xiàn)了建模思想.

2.6 回顧小結(jié)，布置作業(yè)

學(xué)生討論本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)、注意點(diǎn)及研究方法，教師完善本課的知識(shí)框架.

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧反思，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生梳理所學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生善于反思的良好習(xí)慣.特別是通過板書的呈現(xiàn)，使學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)上得到完善，在整體認(rèn)識(shí)上得到升華.

3 案例反思

3.1 建立生活中的反比例函數(shù)模型，由事及理，讓數(shù)學(xué)容易起來

反比例函數(shù)在生活中有很多現(xiàn)實(shí)模型，本課例從開課階段就選取了教材及相關(guān)資料上的生活現(xiàn)實(shí)事例，讓學(xué)生提煉出反比例函數(shù)的一般形式，從而滲透建模思想.在學(xué)生原有認(rèn)知（函數(shù)概念、一次函數(shù)概念）的基礎(chǔ)上，通過問題情境，讓學(xué)生自主感知概念；通過觀察討論，讓學(xué)生類比一次函數(shù)構(gòu)建出反比例函數(shù)的概念；通過一組辨析題，使學(xué)生強(qiáng)化概念；通過例題分析，讓學(xué)生運(yùn)用概念；通過編織實(shí)際情境，讓學(xué)生鞏固、升華概念.

建模思想實(shí)際上就是從實(shí)際問題中建立起數(shù)學(xué)問題，再通過解決數(shù)學(xué)問題達(dá)到解決實(shí)際問題的目的.數(shù)學(xué)源于生活，又為生活服務(wù).學(xué)生體驗(yàn)了從生活中的具體事例到數(shù)學(xué)理論，從特殊到一般的研究過程，體會(huì)了反比例函數(shù)是解決實(shí)際問題的又一數(shù)學(xué)模型.同時(shí)學(xué)生也感悟了從特殊到一般，從具體到抽象的數(shù)學(xué)思想.

3.2 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，讓數(shù)學(xué)容易起來

德國著名教育家卡爾·威特曾說過：“教育的秘訣在于喚起孩子的興趣和熱情.”興趣是最好的老師，一旦學(xué)生專注于問題探索的興趣，就會(huì)主動(dòng)投入學(xué)習(xí)之中.

教師要營(yíng)造輕松活潑的學(xué)習(xí)氛圍，開拓學(xué)生活躍的思維，引導(dǎo)學(xué)生在課堂活動(dòng)中感悟知識(shí)的生成、發(fā)展與變化，充分調(diào)動(dòng)起學(xué)生的積極性，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人.

學(xué)生在課堂中興趣盎然，熱情高漲，以一種輕松愉快的心態(tài)投入學(xué)習(xí)中，效果是不言而喻的.在課堂中評(píng)價(jià)方式也是多元的，生生之間、師生之間、小組之間的交流作用各不相同.這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的個(gè)人學(xué)習(xí)能力、語言表達(dá)能力、思考問題能力，也培養(yǎng)了學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作的能力.教師的鼓勵(lì)、同學(xué)間的贊許都會(huì)成為學(xué)生前進(jìn)的動(dòng)力.

在先進(jìn)的教育理念指導(dǎo)下，教師要讓學(xué)生在“樂中學(xué)”，讓他們覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其實(shí)也是一件愉快的事情，慢慢也會(huì)更容易喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).當(dāng)然，這就對(duì)教師教育工作者提出了更高的要求，教師對(duì)教材和學(xué)生要充分了解和熟悉，以不變應(yīng)萬變，做到張弛有度，收放自如.

學(xué)無止境，教無止境，教師要讓數(shù)學(xué)容易起來，這不僅僅要訓(xùn)練學(xué)生的思維，教會(huì)他們考試的技巧，還要讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，讓他們對(duì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用更加深刻，讓他們的思維更加敏銳，從而進(jìn)一步提升他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.