王智宇　張維忠

【摘 要】以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的高考評價(jià)體系為數(shù)學(xué)情境化試題的設(shè)計(jì)提供了廣闊的空間。研究者從“背景呈現(xiàn)”“數(shù)學(xué)表征”“任務(wù)要求”三個(gè)維度對數(shù)學(xué)情境化試題的水平進(jìn)行分析和說明，并給出科學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)情境、強(qiáng)化數(shù)學(xué)表征能力以及深化對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解與遷移等教學(xué)啟示。

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué)；情境化試題；水平分析

以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的高考評價(jià)體系為高考數(shù)學(xué)情境化試題的設(shè)計(jì)提出了較高的要求?！吨袊呖荚u價(jià)體系說明》提出要發(fā)揮問題情境在考查學(xué)生在必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價(jià)值四個(gè)層面的重要價(jià)值。其中，情境分為生活實(shí)踐情境和學(xué)習(xí)探索情境兩種類別，情境活動(dòng)將分為簡單的情境活動(dòng)和復(fù)雜的情境活動(dòng)兩個(gè)層次［1］?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》也對高考命題進(jìn)行了說明：選擇合適的問題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體。情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，每種情境可以分為熟悉的、關(guān)聯(lián)性、綜合的。數(shù)學(xué)問題分為簡單問題、較復(fù)雜問題和復(fù)雜問題。［2］然而，上述兩種劃分辦法割裂了情境與問題的關(guān)聯(lián)，同時(shí)尚未明確各個(gè)層次的邊界，不能全面地分析情境化試題的特點(diǎn)。因此，本文將更細(xì)致地對數(shù)學(xué)情境化試題進(jìn)行水平劃分和說明，并結(jié)合2022—2023年部分全國高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析，從而形成對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的若干啟示。

一、數(shù)學(xué)情境化試題的水平分析框架

結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特征以及我國高考數(shù)學(xué)試題的命制特點(diǎn)，本文嘗試從“背景呈現(xiàn)”“數(shù)學(xué)表征”“任務(wù)要求”三個(gè)維度對數(shù)學(xué)情境化試題的水平進(jìn)行分析，具體劃分辦法如下。

（一）背景呈現(xiàn)

“背景呈現(xiàn)”指學(xué)生對試題中情境與問題的背景的親近感知程度，由近到遠(yuǎn)分為“熟悉”“關(guān)聯(lián)”“綜合”三個(gè)層次。其中，“熟悉”是指學(xué)生在先前的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中接觸過的、感興趣的、現(xiàn)實(shí)生活環(huán)境中常見的背景；“關(guān)聯(lián)”是指學(xué)生不太熟悉的、先前沒有接觸過的情境，可以是數(shù)學(xué)內(nèi)部不同知識模塊的關(guān)聯(lián)背景，也可以是數(shù)學(xué)與生活實(shí)踐、歷史文化、其他學(xué)科以及科技應(yīng)用等之間的關(guān)聯(lián)背景；“綜合”是指學(xué)生感到陌生的情境，需要學(xué)生開展探究與創(chuàng)新的情境，是數(shù)學(xué)知識內(nèi)部與外部之間更廣泛的、更深層的、更隱蔽的關(guān)聯(lián)背景。

（二）數(shù)學(xué)表征

“數(shù)學(xué)表征”指學(xué)生在情境中提取數(shù)學(xué)信息并轉(zhuǎn)化為有利于問題解決的數(shù)學(xué)表征方式的能力，從低到高分為“解釋”“選擇”“設(shè)計(jì)”三個(gè)層次。其中，“解釋”是指學(xué)生能夠識別試題呈現(xiàn)的表征和直接利用文字、符號、操作性模型、圖形或圖表等表征進(jìn)行解釋；“選擇”是指學(xué)生能夠?yàn)榍榫撑c問題的理解或問題解決選擇恰當(dāng)?shù)谋碚鞣绞揭约澳軌蛟诓煌谋碚髦g進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換；“設(shè)計(jì)”是指學(xué)生在能夠熟練運(yùn)用各種數(shù)學(xué)表征方式的基礎(chǔ)上，為情境的理解或問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)計(jì)特定的表征方式。

（三）任務(wù)要求

“任務(wù)要求”指學(xué)生分析情境與問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系以及完成解題任務(wù)所需要達(dá)到的認(rèn)知水平和動(dòng)作水平，從低到高分為“理解”“分析”“創(chuàng)造”三個(gè)層次。“理解”是指學(xué)生能夠理解情境與問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、定理和公理等的基本含義與特征，運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本規(guī)則和基本方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題等；“分析”是指學(xué)生能夠進(jìn)行類比數(shù)學(xué)推理，區(qū)分和識別數(shù)學(xué)情境與問題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性，將統(tǒng)一整體下的各部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容分類和建構(gòu)聯(lián)系，綜合運(yùn)用各種知識和方法解決常規(guī)性的較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題；“創(chuàng)造”是指學(xué)生在復(fù)雜的情境與問題中將源于不同整體下的關(guān)聯(lián)度更低的數(shù)學(xué)要素整合在一起形成內(nèi)在一致的功能整體，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和思想方法創(chuàng)造性地通過猜想、驗(yàn)證來解決非常規(guī)性的復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

將“背景呈現(xiàn)”“數(shù)學(xué)表征”“任務(wù)要求”分別用字母X，Y，Z來表示，“背景呈現(xiàn)”的“熟悉”“關(guān)聯(lián)”“綜合”三個(gè)層次依次表示為X1，X2，X3，以此類推表示另外兩個(gè)維度，則每一道情境化試題的水平層次都可以表示為（Xi，Yj，Zk），其中i，j，k∈{1，2，3}。需要說明的是，三個(gè)維度之間不是相互獨(dú)立的，是彼此關(guān)聯(lián)的，共同構(gòu)成了情境化試題的水平空間。

二、高考數(shù)學(xué)情境化試題分析

根據(jù)上述的劃分辦法，下面結(jié)合2022—2023年部分高考數(shù)學(xué)試卷中的典型試題進(jìn)行分析和說明。

三、對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的若干啟示

結(jié)合上述分析發(fā)現(xiàn)：第一，刻畫試題情境化水平的三個(gè)維度之間存在關(guān)聯(lián)性，即改變一個(gè)維度的水平會(huì)影響另外兩個(gè)維度的水平；第二，同一學(xué)習(xí)者對于試題的理解會(huì)受到試題的情境化水平的梯度設(shè)置方式的影響；第三，擁有不同學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)者對試題的情境化水平的理解會(huì)存在差異。這也為課堂教學(xué)提供了更多的可能性。教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“綜合情境”到“關(guān)聯(lián)情境”，再到“熟悉情境”的感知轉(zhuǎn)變，以及運(yùn)用和設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)表征解釋和闡明情境中的數(shù)學(xué)問題，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學(xué)問題，并逐步建立關(guān)于數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，實(shí)現(xiàn)知識遷移與創(chuàng)新，培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，在教學(xué)中，我們可以得出以下啟示。

（一）科學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)情境

情境學(xué)習(xí)和認(rèn)知理論強(qiáng)調(diào)知識是主觀的，動(dòng)態(tài)發(fā)展的，無法直接傳遞的，需要學(xué)習(xí)者在特定的情境脈絡(luò)中不斷地理解和建構(gòu)中產(chǎn)生［3］。知識的遷移性孕育著素養(yǎng)的遷移性。這意味著促進(jìn)素養(yǎng)發(fā)展的知識學(xué)習(xí)需要與多樣化的情境相聯(lián)系，使其遷移性獲得最大化［4］。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)情境是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，直接影響著學(xué)生的知識建構(gòu)和思維發(fā)展，具有不可或缺性。教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)情境時(shí)需考慮三個(gè)方面：第一，把握情境設(shè)計(jì)的原則和方法，即聚焦于教學(xué)目標(biāo)，符合學(xué)生認(rèn)知和思維發(fā)展規(guī)律，體現(xiàn)出科學(xué)性、探究性和發(fā)展性等?；跀?shù)學(xué)知識內(nèi)部的發(fā)展與社會(huì)生產(chǎn)生活的需要，從生活、社會(huì)、數(shù)學(xué)史料和其他學(xué)科中提取真實(shí)情境的原型，通過觀察生活現(xiàn)象和實(shí)物、實(shí)驗(yàn)操作、利用信息技術(shù)資源、聚焦疑難問題等方式逆向設(shè)計(jì)教學(xué)情境。第二，把握情境創(chuàng)設(shè)的目的，即通過設(shè)計(jì)真實(shí)的情境，引導(dǎo)學(xué)生溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活以及數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的探究和挑戰(zhàn)的欲望，完整地經(jīng)歷問題解決的過程，建立關(guān)于數(shù)學(xué)知識理解的記憶，逐漸學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)展“四基”“四能”。因此，教師在情境設(shè)計(jì)時(shí)要避開那些提不出問題或不具備研究價(jià)值的情境、平淡無奇或一目了然的情境、復(fù)雜古怪或晦澀難懂的以至于學(xué)生運(yùn)用熟悉的知識與技能難以理解的情境。第三，把握情境設(shè)計(jì)的層次性。弗賴登塔爾提出數(shù)學(xué)教育的任務(wù)就在于確定各類學(xué)生不同階段必須達(dá)到的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，將客觀現(xiàn)實(shí)材料與數(shù)學(xué)知識體系融為一體［5］。因此，情境設(shè)計(jì)的層次性應(yīng)當(dāng)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平發(fā)展的層次性對應(yīng)起來，并體現(xiàn)循序漸進(jìn)的原則。比如在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的原型以促進(jìn)知識理解，在關(guān)聯(lián)的情境中將不熟悉的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題以促進(jìn)知識遷移，在綜合的情境中感悟到問題變形、拓展和延伸的脈絡(luò)以促進(jìn)知識創(chuàng)新［6］。

（二）強(qiáng)化數(shù)學(xué)表征能力

數(shù)學(xué)試題是問題情境化和情境問題化的綜合體現(xiàn)。情境指向背景中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，問題指向問題解決所需要經(jīng)歷的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等過程。情境與問題之間存在理解和建構(gòu)的不確定性，蘊(yùn)含召喚結(jié)構(gòu)［7］。數(shù)學(xué)表征有助于建立一種映射關(guān)系，為“從情境中抽象出數(shù)學(xué)問題”“將一個(gè)數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)更容易理解的數(shù)學(xué)問題”“基于情境與問題的解決生成新的情境與問題”等環(huán)節(jié)提供支持。教師可以從以下三個(gè)方面強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力：第一，為學(xué)生識別與簡單運(yùn)用熟悉的數(shù)學(xué)表征提供支持。教師要充分借助恰當(dāng)?shù)默F(xiàn)代信息技術(shù)手段以及數(shù)學(xué)教學(xué)工具，增強(qiáng)學(xué)生的直觀認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生從情境中抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系，能夠發(fā)現(xiàn)、提出以及用數(shù)學(xué)文字語言、符號語言和圖象語言表征數(shù)學(xué)問題，積累重要的數(shù)學(xué)模型的表征方法，比如用三種語言表征“基本立體圖形與立體圖形的關(guān)系、初等函數(shù)的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”等。第二，為提高學(xué)生的表征轉(zhuǎn)換能力提供支持。教師首先要拓寬素材的來源，比如人教A版高中數(shù)學(xué)教科書編排函數(shù)的概念、函數(shù)模型的應(yīng)用、建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題、隨機(jī)變量的分布、樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、裴波那契數(shù)列、楊輝三角、割線的斜率變化等內(nèi)容運(yùn)用了豐富的多元表征形式，研究表明使用多元表征比單一表征更容易理解數(shù)學(xué)［8］。此外，教師要鼓勵(lì)學(xué)生以小組合作的形式分析比較不同的數(shù)學(xué)表征對數(shù)學(xué)問題的遷移和解決的影響，提高學(xué)生靈活地選擇數(shù)學(xué)表征解釋和轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題的能力。第三，為學(xué)生創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)表征提供支持。首先，教師所設(shè)計(jì)的情境的結(jié)構(gòu)是不良的，情境與問題之間蘊(yùn)含著召喚結(jié)構(gòu)，從而使問題解決的方案是不明確的、多樣化的以及可持續(xù)優(yōu)化的，幫助學(xué)生自己形成問題解決的辦法。此外，教師在實(shí)施教學(xué)過程中要多鼓勵(lì)學(xué)生提出多元表征以及共同協(xié)作考察各種方案的可行性從而形成解決路徑。

（三）深化對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解與遷移

數(shù)學(xué)情境化試題是以情境與問題為載體，數(shù)學(xué)表征為手段，數(shù)學(xué)認(rèn)知為核心建構(gòu)的數(shù)學(xué)知識內(nèi)部與外部關(guān)聯(lián)的一個(gè)整體。高考數(shù)學(xué)試題以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價(jià)為導(dǎo)向考查學(xué)生知識學(xué)習(xí)的水平。因此，教師可以從以下三個(gè)方面展開教學(xué)：第一，挖掘數(shù)學(xué)原始概念的關(guān)聯(lián)，拓寬認(rèn)知的渠道。比如教師可以依托“向量內(nèi)容”的教學(xué)讓學(xué)生認(rèn)識到“點(diǎn)的直角坐標(biāo)，向量的坐標(biāo)分解，直角三角形的正弦、余弦，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部四位一體，它們的原始概念彼此相通，只是形式上的不同”，從而更好地理解高考命題往往在知識點(diǎn)的交匯處這一特點(diǎn)。第二，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)，明確解題路徑。近年來，高考試題中出現(xiàn)的諸如“求解三角形邊角及其關(guān)系的最值”“求立體圖形中的某個(gè)幾何量的最值”“證明與函數(shù)的零點(diǎn)與極值點(diǎn)有關(guān)的不等關(guān)系”“數(shù)列不等式的證明”等問題的本質(zhì)是考查學(xué)生對函數(shù)思想的掌握與應(yīng)用。解決此類問題的核心策略是基于各個(gè)知識模塊中的相等關(guān)系或不等關(guān)系，通過推理實(shí)現(xiàn)多個(gè)變量到單一變量的轉(zhuǎn)化，再選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)最值求解方法進(jìn)行解題。第三，重視反思對于實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量學(xué)習(xí)的重要意義。教師要給予學(xué)生足夠多的機(jī)會(huì)反思他們的學(xué)習(xí)行為，包括為什么這么做，如何做，以及如何評價(jià)學(xué)習(xí)的效果。通過反思，學(xué)生進(jìn)一步對舊的情境與問題進(jìn)行變式，從而拓展和推廣生成新的情境與問題等，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

參考文獻(xiàn)：

［1］中國高考評價(jià)體系說明. 教育部考試中心［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］BROWN J S，COLLINS A，DUGUID P. Situated cognition and the culture of learning［J］. Educational researcher，1989（1）：32-42.

［4］張華. 論核心素養(yǎng)的內(nèi)涵［J］. 全球教育展望，2016（4）：10-24.

［5］弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［6］喻平. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價(jià)的一個(gè)框架［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（2）：19-23，59.

［7］丁福軍，張維忠. 學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)視角下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的情境任務(wù)教學(xué)質(zhì)量分析［J］. 浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2023（2）：219-226.

［8］沈陽，張晉宇，鮑建生. 表征在數(shù)學(xué)教育中的研究現(xiàn)狀［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022（2）：82-89.

（責(zé)任編輯：陸順演）

【作者簡介】王智宇，一級教師，浙江師范大學(xué)教育學(xué)院在讀博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究；張維忠，浙江師范大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究。

【基金項(xiàng)目】全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題“指向深度理解的問題鏈教學(xué)研究”（DHA200318）