王蜜　卜驥

［摘 要］數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。概念教學(xué)前，教師不僅要圍繞舊知建構(gòu)概念，還要順應(yīng)學(xué)情教學(xué)。以“小數(shù)的意義”教學(xué)為例，利用概念本質(zhì)設(shè)計(jì)學(xué)案讓學(xué)生練習(xí)，讓學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上自主探索，弄清知識(shí)之間的聯(lián)系，慢慢接近概念本質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］整體建構(gòu)；概念教學(xué)；小數(shù)的意義

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）20-0075-03

數(shù)學(xué)教師要上好數(shù)學(xué)課，就要“吃透”教材，用“高位”的視角理解教材，知道所教知識(shí)的“前情”和“后續(xù)”，具有整體眼光、邏輯體系和結(jié)構(gòu)思維，才能了解所教知識(shí)的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”。小學(xué)生正處于認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的初期，需要直觀顯性的學(xué)習(xí)內(nèi)容來增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。因此，教師要在整體把握教材的基礎(chǔ)上巧設(shè)學(xué)習(xí)情境和問題，讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)去經(jīng)歷和感受，著力體現(xiàn)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，使學(xué)生在充分的探究活動(dòng)中感悟概念本質(zhì)，主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)。下面以蘇教版教材五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)的意義”一課的教學(xué)為例，結(jié)合課堂教學(xué)談一談筆者的思考和主張。

一、溯源遷移——基于元認(rèn)知設(shè)計(jì)概念生長(zhǎng)基點(diǎn)

在設(shè)計(jì)這節(jié)課前，筆者將小學(xué)階段“數(shù)的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容進(jìn)行了整理（如圖1）。學(xué)生在前期的學(xué)習(xí)中已經(jīng)理解了整數(shù)、分?jǐn)?shù)的意義，初步認(rèn)識(shí)了小數(shù)，在生活中也經(jīng)常用小數(shù)來表示一些數(shù)，但對(duì)小數(shù)的意義還沒有深刻的理解，要讓學(xué)生深刻理解小數(shù)的價(jià)值及意義，概念的建構(gòu)過程尤為重要。教師需要借助學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，緊抓小數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，從數(shù)的本源性出發(fā)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感悟數(shù)的統(tǒng)一性。顯然，將小數(shù)置于生活化的情境中有助于激發(fā)學(xué)生探究的興趣。筆者以學(xué)生身邊的跳高比賽創(chuàng)設(shè)情境。

【教學(xué)片段1】巧設(shè)情境，激發(fā)興趣

師：同學(xué)們喜歡運(yùn)動(dòng)嗎？喜歡什么項(xiàng)目？（出示跳高圖片）這是跳高比賽，跳得越高說明成績(jī)?cè)胶?。我們來看看某次比賽的成?jī)。

師（出示比賽第一名和第三名的跳高成績(jī)）：認(rèn)識(shí)這兩個(gè)數(shù)嗎？這是我們?nèi)昙?jí)學(xué)習(xí)的小數(shù)，讀一讀。

生1：一點(diǎn)四，一點(diǎn)三。

師：李珊是第二名，猜一猜，她的成績(jī)是多少？

（學(xué)生猜1.35米、1.36米等）

師（出示李珊成績(jī)：1.38米）：這個(gè)小數(shù)和之前的兩個(gè)小數(shù)有什么不同？

生2：之前的兩個(gè)小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后面有一個(gè)數(shù)字，這個(gè)小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后面有兩個(gè)數(shù)字。

師：像這樣，小數(shù)部分有兩位的小數(shù)叫兩位小數(shù)，你會(huì)讀這個(gè)兩位小數(shù)嗎？一起讀一讀。

生（齊）：一點(diǎn)三八。

師：是的，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法，小數(shù)部分要一位一位地讀出來。小數(shù)部分有一位的小數(shù)叫什么？

生3：一位小數(shù)。

師：既然有一位小數(shù)、兩位小數(shù)，還會(huì)有什么？

生4：三位小數(shù)、四位小數(shù)……

師（出示1.030）：你會(huì)讀這個(gè)小數(shù)嗎？

……

師：所有的小數(shù)都是整數(shù)部分按整數(shù)的讀法，小數(shù)部分要一位一位地讀。會(huì)讀小數(shù)了，那它表示什么意義呢？我們今天這節(jié)課就來研究小數(shù)的意義。

從現(xiàn)實(shí)情境引入概念有兩個(gè)目的。第一是將數(shù)學(xué)問題置于生活情境中，讓學(xué)生在熟悉的情境中產(chǎn)生探究小數(shù)意義的需求。第二是基于這個(gè)情境的特殊性讓學(xué)生感受到小數(shù)產(chǎn)生的必要性。因?yàn)橛谜麛?shù)來表示生活里的一些數(shù)量時(shí)，往往不能滿足現(xiàn)實(shí)需求，所以產(chǎn)生了小數(shù)，而當(dāng)一位小數(shù)也不足以解決問題時(shí)，便要用兩位小數(shù)。情境中，第二名的成績(jī)介于1.3米和1.4米之間，再根據(jù)跳高測(cè)量數(shù)據(jù)一般可能會(huì)是一個(gè)兩位小數(shù)的現(xiàn)實(shí)性，這樣從實(shí)際生活入手，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，激發(fā)學(xué)生探索動(dòng)力。

二、順學(xué)而教——設(shè)計(jì)學(xué)案引導(dǎo)學(xué)生觸摸概念表象

小學(xué)教材的編排有著循序漸進(jìn)、由易到難的特點(diǎn)。從數(shù)的組成來看，小數(shù)和整數(shù)一樣，都是基于計(jì)數(shù)單位建構(gòu)的，是十進(jìn)制的反向延伸。因此教師在建構(gòu)小數(shù)的意義概念時(shí)，應(yīng)抓住它和整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)化”的活動(dòng)中建構(gòu)概念。

【教學(xué)片段2】類比遷移，感知本質(zhì)

師：以前學(xué)習(xí)了1米、10米和100米之間的關(guān)系，那你知道1米和1分米有什么關(guān)系嗎？可以借助米尺和同學(xué)交流。請(qǐng)拿出練習(xí)紙，根據(jù)學(xué)案一的要求自主探索。

學(xué)案一：

（1）分一分。拿出米尺，試著將1米平均分成10份，找到1分米。

（2）想一想。1米和1分米有什么關(guān)系？你是怎么想的？

（3）說一說。和同學(xué)說一說你的想法。

生1：1米里有10個(gè)1分米，也就是把10個(gè)1分米加在一起，滿十進(jìn)1，進(jìn)1后是1米。0.1米的“0”在個(gè)位上，表示 0米，“1”在比個(gè)位低的那一位上，為了區(qū)分，用小數(shù)點(diǎn)隔開，因此1分米就是0.1米。

師：你聯(lián)想到了學(xué)過的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的進(jìn)位原理，找到了一個(gè)新的數(shù)位。

師：確實(shí)如大家所說，1米=10分米，把 1米平均

生2：3分米是0.3米，8分米是0.8米，道理是一樣的。

師：請(qǐng)根據(jù)學(xué)案二的要求自主探究。

學(xué)案二：

（1）你還想將1米平均分成多少份？

（2）1米和1厘米、1毫米有什么關(guān)系？

（3）12厘米是多少米？

生3：將1米平均分成100份，此時(shí)已經(jīng)不滿0.1米了，所以“1”要再往下寫一個(gè)數(shù)位，每一份就是0.01米，也就是1厘米。

師：剛才我們把1米平均分成了10份、100份，還能再分嗎？

生4：可以，把1米平均分成1000份。

……

本課的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生理解小數(shù)的意義。引出新知之前，筆者首先利用學(xué)案指導(dǎo)學(xué)生自主探究1米和1分米的關(guān)系。通過思考與交流，學(xué)生初步感悟了十分之幾的分?jǐn)?shù)與一位小數(shù)之間的聯(lián)系；接著讓學(xué)生探討1米與1厘米、1米與1毫米關(guān)系，學(xué)生通過將舊知類比遷移，主動(dòng)思考、合作交流，開始研究性學(xué)習(xí)：將1米不斷地細(xì)分，依次得到了兩位小數(shù)、三位小數(shù)。在這過程中，學(xué)生能深刻體會(huì)到小數(shù)表示數(shù)量的合理性，也不難發(fā)現(xiàn)小數(shù)和整數(shù)一樣，都有著“十進(jìn)制”關(guān)系，從整體上感知用小數(shù)表示數(shù)與用整數(shù)、分?jǐn)?shù)表示數(shù)方法上的一致性。

三、聚焦本質(zhì)——在抽象比較中深化概念建構(gòu)

在蘇教版教材體系中，小數(shù)的認(rèn)識(shí)在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)之后，因此學(xué)習(xí)此課前，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的意義已經(jīng)有所了解。對(duì)此，教學(xué)小數(shù)的意義本質(zhì)時(shí)，可以讓分?jǐn)?shù)作為學(xué)生理解小數(shù)意義的橋梁。

【教學(xué)片段3】抽象概括，觸及本質(zhì)

師（出示不帶單位的分?jǐn)?shù)和小數(shù)）：比較這些分?jǐn)?shù)與小數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：有的分母是10，有的分母是100、1000。小數(shù)也是，有的是一位小數(shù)，有的是兩位小數(shù)，還有的是三位小數(shù)。

師：這些分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間有什么聯(lián)系嗎？

生2：分母是10的分?jǐn)?shù)，可以寫成一位小數(shù)；分母是100的分?jǐn)?shù)，可以寫成兩位小數(shù)；分母是1000的分?jǐn)?shù)，可以寫成三位小數(shù)。

師：說得很好，這些分?jǐn)?shù)都可以寫成小數(shù)。那一位小數(shù)表示什么？

生3：表示十分之幾。

師：兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾，四位小數(shù)、五位小數(shù)呢？

……

從具體到抽象，是通向數(shù)學(xué)本質(zhì)的必經(jīng)之路。從情境中得到的一個(gè)個(gè)具有實(shí)際意義的分?jǐn)?shù)和小數(shù)，分離它們量的屬性，它們就成了一個(gè)個(gè)的數(shù)。學(xué)生先在觀察、比較、發(fā)現(xiàn)的過程中，發(fā)現(xiàn)這些分?jǐn)?shù)都是十分之幾、百分之幾、千分之幾，而這些小數(shù)都是一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)；再通過比較一位小數(shù)和十分之幾的分?jǐn)?shù)的關(guān)系，就能歸納出一位小數(shù)的意義。學(xué)生在概括中逐步剔除了小數(shù)的非本質(zhì)屬性，感受到其“十進(jìn)制數(shù)”的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)遷移、類比發(fā)現(xiàn)兩位、三位小數(shù)表示的是百分之幾、千分之幾，甚至四位、五位小數(shù)……表示的是萬分之幾、十萬分之幾……順利地從直觀思維過渡到抽象思維。

四、練習(xí)固學(xué)——再度利用研探內(nèi)化概念本質(zhì)

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，更是一種思想。而多式、變化、有趣的練習(xí)形式，既能激活學(xué)生所學(xué)知識(shí)，又能助力學(xué)生建構(gòu)基本的數(shù)學(xué)模型。

【教學(xué)片段4】變式練習(xí)，回歸本質(zhì)

師（出示數(shù)軸）：如果把數(shù)軸上“0～1”這一段平均分成10份，每一份是多少？

生1：0.1。

師：你能在數(shù)軸上找到零點(diǎn)幾的小數(shù)嗎？想一想，如果把1～2這一段也平均分成10份，在數(shù)軸上又可以找到幾點(diǎn)幾的小數(shù)？

生2：1.1～1.9。

師：看來，一點(diǎn)幾的小數(shù)都在1～2之間。你們找到的怎么都是一位小數(shù)？

生3：因?yàn)槎际前选?”平均分成了10份。

師：只要把“1”平均分成10份，其中的幾份表示十分之幾，都可以寫成一位小數(shù)。

師：如果把0～0.1這一段繼續(xù)分成10份，每一份又是多少？為什么？

生4：0.01，相當(dāng)于把“1”平均分成100份。

師：只要把“1”平均分成100份，其中的幾份表示百分之幾，都可以寫成兩位小數(shù)。

師：想一想，如果把0～0.01這一段繼續(xù)分成10份，每一份又是多少？

生5：0.001。

師：把“1”平均分成1000份，其中的幾份表示千分之幾，都可以寫成三位小數(shù)。

師（出示3個(gè)小數(shù)：0.9、0.09、0.009）：讀一讀這3個(gè)小數(shù)，并在數(shù)軸上找到它們對(duì)應(yīng)的位置。它們分別表示幾分之幾呢？為什么都有“9”，但表示的分?jǐn)?shù)和小數(shù)都不同？

生6：分?jǐn)?shù)和小數(shù)的意義不同。

師：是的，將“1”平均分的份數(shù)不同，表示的小數(shù)的意義是不同的。

在學(xué)生不斷感受細(xì)分?jǐn)?shù)軸的過程中，數(shù)軸充分發(fā)揮“模型圖”的作用，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生看到0.1、0.01、0.001馬上能想到其對(duì)應(yīng)的模型圖。

五、順逆互動(dòng)——通過逆向思維助力學(xué)生建構(gòu)

針對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納和反思，適時(shí)“回頭望”，多逆向思考，多反思學(xué)習(xí)過程，是提升學(xué)習(xí)品質(zhì)的一種好辦法。在課后總結(jié)回顧時(shí)，教師可以先從“1”出發(fā)，通過均分產(chǎn)生的0.1、0.01、0.001等，幫助學(xué)生建立小數(shù)部分相應(yīng)的數(shù)概念體系；然后從“0.001”出發(fā)，10 個(gè)0.001是0.01，10個(gè)0.01是0.1，10個(gè)0.1是1，10個(gè)1是 10，10 個(gè) 10 是 100……學(xué)生進(jìn)一步感知“不管是整數(shù)部分，還是小數(shù)部分，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是十”，從整數(shù)數(shù)系擴(kuò)充至有理數(shù)數(shù)系，為后續(xù)進(jìn)一步探究小數(shù)積累認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。

概念的學(xué)習(xí)，其最終目的不是為了記住定義，而是要理解概念的本質(zhì)。不同的認(rèn)知過程會(huì)形成不同的理解水平，若是單純教學(xué)定義，其認(rèn)知過程主要是模仿、記憶、強(qiáng)化，只能達(dá)成“工具性理解”；若突出數(shù)學(xué)知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，其認(rèn)知過程則重在經(jīng)歷、感知、體驗(yàn)，就會(huì)形成“關(guān)系性理解”。小數(shù)產(chǎn)生于實(shí)際生產(chǎn)和生活的度量，當(dāng)量不足或有盈余時(shí)，用整數(shù)就無法表示了，原來的整數(shù)模型就成了束縛思維的“牢籠”，新方案應(yīng)需而生，因此衍生出了小數(shù)。對(duì)此，教師要引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)識(shí)、理解小數(shù)的意義后，把獲得的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、方法應(yīng)用于本質(zhì)相同的數(shù)學(xué)問題中，這樣便可以簡(jiǎn)化思考過程，提高解決問題的效率，提升思維的深刻性、敏捷性。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 梅婭.整體意義關(guān)聯(lián)的教學(xué)理解與設(shè)計(jì)：以“小數(shù)的意義”的教學(xué)為例[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2022（6）：43-47.

[2] 張優(yōu)幼.指向認(rèn)知結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)的大單元教學(xué)[J].教學(xué)與管理，2019（26）：31-33.

[3] 萬兆榮.結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián) 意義融通：“小數(shù)的意義”教學(xué)實(shí)踐與反思[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（18）：48-50.