田鈺
與三角形有關(guān)的取值范圍問題的難度一般不大,常見命題形式有:求三角形的某條邊、某個(gè)角、某個(gè)參數(shù)、面積、周長的取值范圍.此類問題側(cè)重于考查解三角形、三角函數(shù)、基本不等式等知識(shí)的綜合應(yīng)用.下面以一道題目為例,談一談與三角形有關(guān)的取值范圍問題的解法.
要求 ΔABC 的面積以及 a+c 的取值范圍,需先運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化,將 ΔABC 的面積以及a+c 用邊或角表示出來;再根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征選擇合適的方法,如利用三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式,來求目標(biāo)式的取值范圍.
一、利用三角函數(shù)的性質(zhì)
在解答與三角形有關(guān)的取值范圍問題時(shí),我們可以先運(yùn)用正余弦定理,將已知關(guān)系式、目標(biāo)式化為關(guān)于角的關(guān)系式;然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理:三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180 o ,以及誘導(dǎo)公式、輔助角公式、兩角和差的正余弦公式等進(jìn)行恒等變換,將目標(biāo)式化簡為只含有一個(gè)角、一種函數(shù)名稱的函數(shù)式;再借助正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍.
我們先運(yùn)用正弦定理將邊化為角,并用角的三角函數(shù)式表示各條邊長、S ΔABC 、b+c ;然后根據(jù)輔助角公式、二倍角公式、兩角和差的正弦公式進(jìn)行恒等變換,將目標(biāo)式化簡為只含正弦函數(shù)和角C的式子,即可運(yùn)用正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性,以及正弦函數(shù)的圖象求得 S ΔABC 、b+c 的取值范圍.值得注意的是,在求三角形面積的取值范圍時(shí),要將關(guān)系式化為關(guān)于某個(gè)角的正弦函數(shù)式,以運(yùn)用三角形的面積公式 S=1/2absinC解題.
二、利用基本不等式
若 a、b>0 ,則 a+b≥2 ab ,當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立,該式稱為基本不等式.基本不等式是求最值、取值范圍的重要工具.在解答與三角形有關(guān)的取值范圍問題時(shí),可先利用正余弦定理將角化為邊,用邊表示已知關(guān)系式、角、三角形的面積等;然后運(yùn)用湊項(xiàng)、湊系數(shù)、去項(xiàng)、常數(shù)代換等技巧,將目標(biāo)式配湊成兩式的和或積,并使其中之一為定值,即可運(yùn)用基本不等式求得目標(biāo)式的取值范圍.值得注意的是,最后還需檢驗(yàn)取等號(hào)時(shí)是否滿足題意.
在解答與三角形有關(guān)的取值范圍問題時(shí),要注意:(1)根據(jù)目標(biāo)式和已知關(guān)系式的特點(diǎn),運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化;(2)關(guān)注與三角形邊、角有關(guān)的隱含條件;(3)需熟練掌握并靈活運(yùn)用三角恒等變換的技巧和配湊基本不等式的技巧進(jìn)行等量代換,以運(yùn)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、基本不等式解題.
(作者單位:江蘇省姜堰中學(xué))