李星星

單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是解答函數(shù)問題的重要依據(jù).判斷函數(shù)的單調(diào)性問題在考試中常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，這類問題主要考查同學(xué)們對(duì)函數(shù)單調(diào)性的定義，函數(shù)圖象與性質(zhì)等知識(shí)的掌握程度.下面結(jié)合例題探討如何運(yùn)用定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法這三種途徑判斷函數(shù)的單調(diào)性.

一、利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性.

定義法是判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法.首先可以在函數(shù)的定義域內(nèi)任意取 x 1 、x 2 ，并設(shè) x 1 0 ，則函數(shù) f（x）在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若 f（x 2 ）-f（x 1 ）<0 ，則函數(shù) f（x）在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).

利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，需熟練掌握并靈活運(yùn)用增函數(shù)、減函數(shù)的定義.將 f（x 2 ） 與 f（x 1 ） 兩者相減后，通常要將所得的結(jié)果化成幾個(gè)因式相乘的形式，以便于判斷差式的正負(fù)性.本題中含有未知參數(shù)k ，所以需要進(jìn)行分類討論，分別判斷函數(shù)在區(qū)間（0， k） 上和區(qū)間 （ k，+∞） 上的單調(diào)性.

二、利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性

利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，需先對(duì)函數(shù)式求導(dǎo)；然后分別令導(dǎo)函數(shù)大于或小于零，并求出對(duì)應(yīng)的 x的取值范圍；再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.當(dāng) x∈D 1 時(shí)，若 f′（x）>0 ，則函數(shù) f（x） 在 D 1上單調(diào)遞增；當(dāng) x∈D 2 時(shí)，若 f′（x）<0 ，則函數(shù) f（x） 在D 2 上單調(diào)遞減.

在解答這道題時(shí)，首先要根據(jù)函數(shù)的解析式求出函 數(shù) 的 定 義 域 ；再 對(duì) 函 數(shù) 求 導(dǎo) ；然 后 令 導(dǎo) 函 數(shù)f′（x）=0 ，用所求得的兩個(gè)零點(diǎn)對(duì)函數(shù)的定義域進(jìn)行劃分，并在每個(gè)區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性.本題中，函數(shù) f（x） 含有未知參數(shù) m ，我們無法判斷兩個(gè)零點(diǎn) x=1 與 x=m-1 之間的大小，所以要分m-1≤0 、01 、m-1=1 幾種情況，來討論不同區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性.

三、利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.

借助函數(shù)的圖象，可以快速明確函數(shù)的變化情況，了解函數(shù)的特征，如函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等.在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)或函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象；然后從左往右觀察函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，當(dāng)函數(shù)在某一區(qū)間段內(nèi)的圖象呈上升趨勢(shì)，則該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)函數(shù)在某一區(qū)間段內(nèi)的圖象呈下降趨勢(shì)，則該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).

畫出函數(shù)的大致圖象，如圖2所示.

對(duì)于含有絕對(duì)值和根式的函數(shù)式，同學(xué)們需要先確保函數(shù)式有意義，據(jù)此求出函數(shù)的定義域，并將函數(shù)式寫成分段式；然后畫出函數(shù)的圖象，通過觀察圖象，明確各個(gè)區(qū)間段上曲線的升降情況，就能一目了然地判斷出函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性.

相較而言，定義法的適用范圍較廣，導(dǎo)數(shù)法則常用于判斷復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性.圖象法則十分形象直觀，解答過程也較為簡便.

（作者單位：江蘇省儀征市南京師范大學(xué)第二附屬高級(jí)中學(xué)）