王煥文 付博 沈順清

1) (電子科技大學(xué)物理學(xué)院,成都 611731)

2) (香港大學(xué)物理學(xué)系,香港 999077)

狄拉克量子材料具有獨(dú)特的電子結(jié)構(gòu),可以用無質(zhì)量和有質(zhì)量的狄拉克方程描述.從奇異的量子流體到晶體材料的多種系統(tǒng)均已發(fā)現(xiàn)了狄拉克量子材料.由于其拓?fù)浞瞧接沟哪軒ЫY(jié)構(gòu),狄拉克量子材料表現(xiàn)出豐富有趣的輸運(yùn)現(xiàn)象,包括縱向負(fù)磁阻、量子干涉效應(yīng)和螺旋磁效應(yīng)等.本文介紹狄拉克量子材料輸運(yùn)理論最新進(jìn)展,總結(jié)了基于狄拉克方程的相關(guān)量子輸運(yùn)理論和量子反常效應(yīng),重點(diǎn)關(guān)注有質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子和量子反常半金屬,介紹了半磁拓?fù)浣^緣體中宇稱反常和半整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的實(shí)現(xiàn).

1 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展,人們對(duì)新型拓?fù)洳牧虾拖嚓P(guān)物理現(xiàn)象的研究愈發(fā)深入.狄拉克量子材料具有獨(dú)特的電子結(jié)構(gòu),其低能激發(fā)可由狄拉克方程描述[1,2],從奇異的量子流體到晶體材料,狄拉克量子材料已經(jīng)在各種系統(tǒng)中被發(fā)現(xiàn),例如:3He-A相[3]、石墨烯[4?6]、拓?fù)浣^緣體[1,7?10]、過渡金屬二硫族化合物[11,12]、拓?fù)渚w絕緣體[13,14]及三維狄拉克和外爾半金屬[15,16]等.同時(shí),狄拉克量子材料的研究為拓?fù)淞孔佑?jì)算提供了可能,開啟了全新的物理領(lǐng)域,為實(shí)現(xiàn)豐富的拓?fù)湎嗵峁┝诵碌钠脚_(tái),如各種新奇的量子霍爾效應(yīng)和拓?fù)涑瑢?dǎo)相[17?20],它們也是將來實(shí)現(xiàn)拓?fù)淞孔佑?jì)算最有希望的材料.另一方面,狄拉克材料的出現(xiàn)促進(jìn)了拓?fù)淠軒Ю碚摰陌l(fā)展[21].此外,由于非平庸的能帶結(jié)構(gòu),狄拉克量子材料表現(xiàn)出一系列豐富有趣的輸運(yùn)現(xiàn)象[22?27],如負(fù)磁阻效應(yīng)[28?50]、量子干涉效應(yīng)[51?76]、霍爾效應(yīng)[77?110]等.目前狄拉克量子材料中的很多輸運(yùn)現(xiàn)象在理論上還未被很好地理解,如弱場(chǎng)下的線性磁阻效應(yīng)[111?119]、反常霍爾效應(yīng)[92?97]和三維量子霍爾效應(yīng)[85,86,120]等.對(duì)這些輸運(yùn)性質(zhì)的研究有助于加深對(duì)狄拉克量子材料性質(zhì)的進(jìn)一步了解,對(duì)其未來在自旋電子學(xué)和量子計(jì)算等領(lǐng)域的應(yīng)用具有重要指導(dǎo)意義.本文基于狄拉克方程,總結(jié)和回顧了其中的量子輸運(yùn)理論和量子反常效應(yīng)等[48?50,72,75,121],并對(duì)我們最近提出的量子反常半金屬的輸運(yùn)特性進(jìn)行了初步綜述[122?125].本文的結(jié)構(gòu)安排如下:1)相關(guān)理論模型介紹,包括有質(zhì)量的狄拉克方程和量子反常半金屬的能帶結(jié)構(gòu);2)總結(jié)有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的負(fù)磁阻效應(yīng)的相關(guān)理論;3)介紹二維和三維體系中量子干涉效應(yīng)引起的磁阻效應(yīng),并應(yīng)用至相關(guān)實(shí)驗(yàn)體系;4)討論狄拉克費(fèi)米子中的量子反常效應(yīng)和螺旋磁效應(yīng),探討了手性反常和螺旋對(duì)稱性破缺的聯(lián)系和區(qū)別;5)最后,詳細(xì)介紹了最近發(fā)現(xiàn)的量子反常半金屬的奇特輸運(yùn)性質(zhì),包括半整數(shù)量子霍爾電導(dǎo)和1/4 的拓?fù)浯烹娦?yīng);6)給出評(píng)論和展望.

2 理論模型

2.1 狄拉克方程

有質(zhì)量的狄拉克方程具有如下形式[1]:

其中γ0=τ1σ0和γj=-iτ2σj(j=x,y,z) 是伽馬矩陣,σ和τ是泡利矩陣,v是有效速度,mυ2是狄拉克質(zhì)量,?kj是沿著j方向的動(dòng)量.在m=0 時(shí),H0和手性算子γ5=iγ0γ1γ2γ3=τ3σ0對(duì)易,因而無質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子具有手性對(duì)稱性,但是對(duì)有質(zhì)量的情況,[γ5,γ0]=-2imυ2τ2=0,手性對(duì)稱性被狄拉克質(zhì)量破壞.不過此時(shí)H0還具有螺旋對(duì)稱性,這里螺旋度χ=±被定義為k·σ|k,χ〉=χk|k,χ〉,其中,cosθχ=χkz/k以及 tan?k=kx/ky.利用螺旋度的本征態(tài),可以得到H0的本征能量和本征波函數(shù)為[50]

其中 cos?χ=χυ?k/εkζ.ζ=+1 代表導(dǎo)帶,ζ=-1代表價(jià)帶.

在有限磁場(chǎng)下,?kj被替換為運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)量(kinematical momentum)Πj=?kj+eAj,這里假設(shè)磁場(chǎng)沿著z方向,并選取相應(yīng)的規(guī)范場(chǎng)為A=(-By,0,0).因?yàn)锳并沒有破壞x和z方向的動(dòng)量,因此kx和kz依然是好量子數(shù).Σ·Π=τ0σ·Π定義了粒子沿著運(yùn)動(dòng)方向自旋的投影.在有限磁場(chǎng)下,通過引入升降算符和a?=[126],得到體系的朗道能級(jí)的能譜和本征態(tài)[50]:

值得注意的是,模型(1)不包含能帶拓?fù)涞男畔?為了進(jìn)一步探討能帶拓?fù)鋵?duì)輸運(yùn)性質(zhì)的影響,需要引入動(dòng)量依賴的狄拉克方程,即修正的狄拉克方程[1,3]:

當(dāng)mb＞0 時(shí),N=±1 對(duì)應(yīng)了拓?fù)浞瞧接沟哪軒ЫY(jié)構(gòu).而mb＜0 則對(duì)應(yīng)了N=0 拓?fù)淦接沟哪軒ЫY(jié)構(gòu).此外,當(dāng)m=0,b=0 時(shí),模型(6)于半金屬態(tài),屬于我們最近提出來的量子反常半金屬[122].

2.2 量子反常半金屬

自量子霍爾效應(yīng)出現(xiàn)以后,拓?fù)湮飸B(tài)和拓?fù)洳牧弦阎饾u成為凝聚態(tài)物理中最前沿的課題之一.截至目前,所有拓?fù)湮飸B(tài),包括量子霍爾效應(yīng)[129,130]、拓?fù)浣^緣體[7?9]、拓?fù)涑瑢?dǎo)[8,131]和拓?fù)浒虢饘賉15,16,132]等都是以整數(shù)的拓?fù)洳蛔兞咳ケ碚?在文獻(xiàn)[122]中,我們提出了量子反常半金屬(quantum anomalous semimetal,QAS)的概念,并討論了其中新奇的物理現(xiàn)象.這里以d維的無質(zhì)量的Wilson 費(fèi)米子為例進(jìn)行介紹[133,134]:

其中a是晶格常數(shù),αi和β是狄拉克矩陣.Wilson費(fèi)米子的能帶

在ki=0 時(shí)閉合形成單個(gè)無質(zhì)量的狄拉克錐.在d=1,3 時(shí),b項(xiàng)破壞了手性對(duì)稱性;而在d=2 時(shí),b項(xiàng)破壞了宇稱對(duì)稱性,這些對(duì)稱性在k→0 的時(shí)候得以恢復(fù).不同于以往有能隙的拓?fù)湮飸B(tài),k→0附近的手性對(duì)稱性或宇稱對(duì)稱性保證了反常量子半金屬的半整數(shù)拓?fù)鋄122].

當(dāng)d是奇數(shù)時(shí),存在某個(gè)矩陣Γ與(8)式反稱,即{Γ,H}=0,Q矩陣可以被變換為非對(duì)角形式. 這里討論d=1,3 的 情況,其對(duì)應(yīng)的纏繞數(shù)可以寫成[131]

其中εnst是Levi-Civita 符號(hào),n,s,t=x,y,z.對(duì)于一般的體系,在k→0 附近具有手性對(duì)稱性時(shí),w1D和w3D是半整數(shù)量子化的.對(duì)于一維和三維Wilson費(fèi)米子,Γ分別為σ2和γ1γ2γ3,由(9)式和(10)式給出的纏繞數(shù)為

當(dāng)d=2 時(shí),陳數(shù)可以表示為非阿貝爾的貝里規(guī)范場(chǎng),

其中A是貝里規(guī)范場(chǎng).對(duì)于有能隙的體系,ν2D始終是整數(shù),而對(duì)于二維Wilson 費(fèi)米子,ν2D=是半整數(shù)量子化.

文獻(xiàn)[122]對(duì)于QAS 的半整數(shù)拓?fù)洳蛔兞窟M(jìn)行了更加普適的證明,只要在狄拉克點(diǎn)附近具有手性(奇數(shù)維)或宇稱(偶數(shù)維)對(duì)稱性,纏繞數(shù)或陳數(shù)就是半整數(shù)量子化的.在物理上,半整數(shù)的拓?fù)洳蛔兞繉⑹沟肣AS 具有一系列奇特的性質(zhì).對(duì)于一維的情形,QAS 可以實(shí)現(xiàn)半個(gè)電荷的轉(zhuǎn)移,而在有能隙體系當(dāng)中只能實(shí)現(xiàn)整數(shù)個(gè)電荷的轉(zhuǎn)移.對(duì)于二維的情形,QAS 不具有邊緣態(tài),但可以給出冪律衰減的手性流(chiral current)和半整數(shù)化的霍爾電導(dǎo)[123,124].而在三維體系,QAS 則具有1/4 量子化的磁電響應(yīng)[125].

3 有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的負(fù)磁阻性質(zhì)

負(fù)磁阻已經(jīng)在很多外爾和狄拉克半金屬中被觀察到,其物理起源和手性反常(chiral anomaly)緊密聯(lián)系在一起[42,43].然后負(fù)磁阻也在很多有質(zhì)量的體系中被探測(cè)到[28?40],例如ZrTe5[34,40]和Bi2Se3[36,37,39],其中ZrTe5具有一個(gè)隨溫度變化的小的能隙[85,121,135],Bi2Se3則是典型的拓?fù)浣^緣體[136,137].在這些體系中手性已經(jīng)不再是一個(gè)好量子數(shù)[138],因而手性反常引起負(fù)磁阻的說法也受到了質(zhì)疑,許多和手性反常無關(guān)的機(jī)制在文獻(xiàn)中被提出[44?50],例如能帶的非平庸貝里曲率和塞曼效應(yīng)引起的貝里曲率和軌道磁矩等[45,46].在文獻(xiàn)[48?50]中,我們提出了幾個(gè)新的關(guān)于弱場(chǎng)負(fù)磁阻的物理機(jī)制.首先基于Kubo-Streda 公式計(jì)算了有限磁場(chǎng)下三維有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子中的電導(dǎo)張量σ,并進(jìn)一步計(jì)算得到了電阻張量ρ=σ-1[48].在半經(jīng)典區(qū)域,利用特殊函數(shù)對(duì)朗道能級(jí)求和,我們發(fā)現(xiàn)橫向電阻和縱向電阻在磁場(chǎng)下均具有一個(gè)磁場(chǎng)強(qiáng)度平方的修正,其相對(duì)磁阻具有如下形式:

當(dāng)λγ→0 的時(shí)候,有cx=cy=1,cz=-1/4 .此時(shí),相對(duì)磁阻δραα(B)僅由費(fèi)米波矢kF決定,而和能隙以及無序無關(guān),我們將所得到的磁阻命名為內(nèi)稟磁阻.在文獻(xiàn)[45]中,通過考慮無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的阿貝爾貝里曲率,半經(jīng)典理論也得到了類似的內(nèi)稟磁阻.對(duì)于有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子體系,體系具有非阿貝爾貝里曲率,非阿貝爾的規(guī)范場(chǎng)可以為計(jì)算得到的內(nèi)稟磁阻提供一個(gè)可能的物理圖像.值得注意的是,cz＜0,縱向內(nèi)稟磁阻是負(fù)磁阻.而這里的計(jì)算并未考慮不同手性的粒子之間的散射,內(nèi)稟磁阻是完全不同于手性反常引起的負(fù)磁阻機(jī)制.與此同時(shí),隨著散射增強(qiáng),這里的內(nèi)稟效應(yīng)將會(huì)被抑制住.圖1(b)計(jì)算了不同狄拉克質(zhì)量下(mυ2/υ?kF=0,1,2)cα關(guān)于λγ的函數(shù)關(guān)系,當(dāng)λγ＞0.1 時(shí),cα隨著無序增強(qiáng)而迅速減小.由于BF正比于載流子濃度的2/3 次方，實(shí)驗(yàn)中,我們期待在一些低載流子濃度的材料中觀測(cè)到這里的內(nèi)稟磁阻.此外,在(13)式中cx=cz,這反映了狄拉克費(fèi)米子的各向異性磁阻性質(zhì),也將進(jìn)一步導(dǎo)致平面霍爾效應(yīng),其中σ0是零場(chǎng)電導(dǎo),φ是磁場(chǎng)和電流之間的夾角.近年來各向異性磁阻和平面霍爾效應(yīng)在狄拉克材料中引起了廣泛報(bào)道和討論[98?107].

圖1 有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的內(nèi)稟磁阻 (a)有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的橫向磁阻和縱向磁阻,其中縱向磁阻為負(fù),橫向磁阻為正;(b)無量綱系數(shù)隨能帶展寬的變化關(guān)系,cα 在弱散射下趨于一個(gè)常數(shù).轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[48]Fig.1.Intrinsic Magnetoresistivity in massive Dirac fermion: (a) Transversal and longitudinal magnetoresistivity,where the longitudinal one is negative and transversal one is positive;(b) dimensionless parameter cα as functions of band broadening,here cα tends to a constant in weak scattering.Reproduced with permission from Ref.[48].

在文獻(xiàn)[49]中我們通過求解朗道能級(jí)下的量子擴(kuò)散方程,進(jìn)一步討論了有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的負(fù)磁阻效應(yīng),試圖將其與手性反常聯(lián)系起來.狄拉克哈密頓量中的16 個(gè)物理量及無序可以利用5 個(gè)反對(duì)易的伽馬矩陣γμ(μ=0,1,2,3,5)和其派生矩陣來表示,并且根據(jù)對(duì)稱性可以作進(jìn)一步的分類(如表1 所列).在有質(zhì)量的狄拉克材料中,有限的狄拉克質(zhì)量會(huì)耦合手性相反的外爾費(fèi)米子,因此手性不再是一個(gè)好量子數(shù).此時(shí)軸向電荷(axial charge)連續(xù)性方程為

表1 狄拉克哈密頓量中利用狄拉克伽馬矩陣表示的16 個(gè)物理量及無序根據(jù)時(shí)間反演(T)、宇稱(I)以及手性對(duì)稱性(C)的分類.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[49]Table 1. Various types of physical quantities and disorder represented by fermionic bilinears (i=1,2,3),their symmetries under time-reversal (T ),parity (I),and continuous chiral rotation (C).Reproduced with permission from Ref.[49].

表2 4 個(gè)庫(kù)珀子通道 i=s,t0,± 的庫(kù)珀子能隙(以為單位)和權(quán)重因子,其中 η=mυ2/μ 是狄拉克費(fèi)米子的自旋極化.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[72]Table 2. Components of four Cooperon channels i=s,t0,± in the basis of spin-triplet and singlet |s,sz〉,the Cooperon gap in unit of the mean free path and the weighting factors wi ,where η=mυ2/μ is the orbital polarization of Dirac fermion.Reproduced with permission from Ref.[72].

表2 4 個(gè)庫(kù)珀子通道 i=s,t0,± 的庫(kù)珀子能隙(以為單位)和權(quán)重因子,其中 η=mυ2/μ 是狄拉克費(fèi)米子的自旋極化.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[72]Table 2. Components of four Cooperon channels i=s,t0,± in the basis of spin-triplet and singlet |s,sz〉,the Cooperon gap in unit of the mean free path and the weighting factors wi ,where η=mυ2/μ is the orbital polarization of Dirac fermion.Reproduced with permission from Ref.[72].

方程右側(cè)贗標(biāo)量密度np的出現(xiàn)表明即使不考慮電磁場(chǎng)的量子漲落,軸向電荷也已經(jīng)不再守恒.為了理解在有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子體系中手性反常和與之相關(guān)的負(fù)磁阻會(huì)被如何修正,在文獻(xiàn)[49]中我們基于費(fèi)曼圖技術(shù)發(fā)展了一套朗道能級(jí)下的量子擴(kuò)散理論.在均勻磁場(chǎng)下,有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的本征能量和波函數(shù)嚴(yán)格可解,因此有限磁場(chǎng)下的格林函數(shù)可以解析獲得.而電場(chǎng)的效應(yīng),通過微擾的方式考慮到線性階.表1 中任意兩個(gè)物理量的響應(yīng)系數(shù)可以通過虛時(shí)格林函數(shù)理論計(jì)算得到:

在擴(kuò)散極限下,Γ的空間變化遠(yuǎn)小于平均自由程(?eq ?1)并且考慮體系經(jīng)歷一系列的碰撞之后的結(jié)果(Ωτ ?1),此時(shí)可以獲得16 個(gè)物理量耦合的擴(kuò)散方程組.這組擴(kuò)散方程可以完整刻畫有限磁場(chǎng)下狄拉克材料中的輸運(yùn)性質(zhì)和自旋以及贗自旋弛豫過程.通過求解擴(kuò)散方程,得到如下主要結(jié)論.

i)在磁場(chǎng)下,軸向電荷和矢量電流存在一個(gè)正比于磁場(chǎng)強(qiáng)度的反常耦合.由于高朗道能級(jí)(n＞0)是自旋簡(jiǎn)并,第零朗道能級(jí)(n=0)則是自旋極化的,該反常耦合完全由第零朗道能級(jí)貢獻(xiàn).

ii)首先引入一個(gè)與體系中破壞手性對(duì)稱性的機(jī)制有關(guān)的軸向弛豫時(shí)間τa(axial relaxation time).在無質(zhì)量的情況下,只有質(zhì)量型的無序(表1中的Δm)會(huì)引起不同手性電子之間的散射,從而破壞手性對(duì)稱性,引入軸向弛豫時(shí)間τa.在有質(zhì)量的情況下,狄拉克質(zhì)量直接破壞手性對(duì)稱性,標(biāo)量無序(表1 中的Δ)就可以引起有限的軸向弛豫時(shí)間τa.體系中手性對(duì)稱性破壞越嚴(yán)重τa越小.平行的電磁場(chǎng)會(huì)誘導(dǎo)出一個(gè)正比于電磁場(chǎng)強(qiáng)度和τa的手性密度差δρa(bǔ)∝EBτa.

iii)當(dāng)電磁場(chǎng)方向平行時(shí),軸電荷密度對(duì)電流的頂角修正會(huì)產(chǎn)生一個(gè)正比與磁場(chǎng)平方和軸弛豫時(shí)間的縱向電導(dǎo)修正:

結(jié)合(16)式,得到有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的軸向電荷連續(xù)性方程:

在能隙中,電磁場(chǎng)導(dǎo)致的贗標(biāo)量凝聚和電磁場(chǎng)漲落導(dǎo)致的量子反常項(xiàng)嚴(yán)格抵消,因此軸向電荷守恒.在導(dǎo)帶中,贗標(biāo)量凝聚的貢獻(xiàn)不能被手性反常項(xiàng)完全抵消,此時(shí)軸向電荷連續(xù)性方程右側(cè)不為零.擴(kuò)散理論給出了不同于手性反常理論的機(jī)制,合理地解釋了在有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子體系中廣泛觀測(cè)到的負(fù)磁阻現(xiàn)象.

在文獻(xiàn)[50]中,我們進(jìn)一步研究了有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的量子反常效應(yīng),指出螺旋對(duì)稱性(Helical symmetry)破缺與負(fù)磁阻之間的關(guān)系.相比于手性對(duì)稱性,螺旋度在有質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子中仍然是個(gè)好量子數(shù).在后面將進(jìn)一步討論螺旋對(duì)稱性破缺引起的負(fù)磁阻機(jī)制.

4 有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的量子干涉理論

4.1 磁性拓?fù)浣^緣體中的量子干涉理論

在量子擴(kuò)散區(qū)域,由于 π 的貝里相位,二維無質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子經(jīng)歷破壞性(destructive)量子干涉,其導(dǎo)致的磁導(dǎo)在零場(chǎng)附近呈現(xiàn)負(fù)磁導(dǎo),這種現(xiàn)象被稱為弱反局域化[51,52,66,69,70].弱反局域化效應(yīng)被視為拓?fù)浣^緣體表面態(tài)存在的重要輸運(yùn)特征,并在大量的拓?fù)浣^緣體的材料中被報(bào)道[56?63].在有限溫下,量子干涉引起的電導(dǎo)修正應(yīng)該是隨著溫度升高而減小.然而,實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的電導(dǎo)修正卻是相反的溫度依賴關(guān)系[59,61,139?141],這一矛盾在沒有摻雜的拓?fù)浣^緣體中可以被電子-電子相互作用所解釋[70,142,143].在最近的一個(gè)關(guān)于磁性摻雜的拓?fù)浣^緣體薄膜實(shí)驗(yàn)中[63],其磁導(dǎo)具有非單調(diào)溫度依賴,同時(shí)其磁場(chǎng)依賴呈現(xiàn)明顯的弱反局域化信號(hào).此時(shí),簡(jiǎn)單考慮相互作用并不能解釋實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的反常電導(dǎo)修正.在文獻(xiàn)[72]中,我們?cè)诶碚撋献C明了表面態(tài)能譜中由體磁化引起的小質(zhì)量會(huì)對(duì)貝里相位有一個(gè)溫度依賴的修正,進(jìn)而對(duì)表面態(tài)相干長(zhǎng)度產(chǎn)生新的退相干機(jī)制.最終,量子干涉引起的弱反局域化量子修正可以出現(xiàn)非單調(diào)的溫度依賴.

由于磁性摻雜破壞了時(shí)間反演對(duì)稱性,拓?fù)浣^緣體的表面態(tài)會(huì)被打開一個(gè)有限大小的能隙[144?146].這里將表面態(tài)當(dāng)作有質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子進(jìn)行分析.利用費(fèi)曼圖技術(shù),計(jì)算了磁性拓?fù)浣^緣體中由量子干涉引起的電導(dǎo)修正[72],其具有如下形式:

通常σqi的溫度依賴主要由相干長(zhǎng)度??引起,即??～T-p/2,這里對(duì)于電子-電子(電子-聲子)相互作用引起的退相干機(jī)制p=1(p=3) .對(duì)于磁性材料而言,磁摻雜引起的狄拉克質(zhì)量也是溫度依賴的,因而表面態(tài)的自旋極化或貝里相位也將是溫度依賴的.此時(shí),溫度依賴電導(dǎo)修正的表征參數(shù)為

其中ψ(x) 是雙伽馬函數(shù),是庫(kù)珀子的磁長(zhǎng)度.利用(25)式并考慮狄拉克質(zhì)量的溫度,可以很好地解釋實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的非單調(diào)溫度依賴的電導(dǎo)修正.如圖2(a)所示,對(duì)于沒有磁性摻雜的樣品 (xMn=0%),在扣除電子-電子相互作用的貢獻(xiàn)以后,磁導(dǎo)隨溫度升高而變小.而對(duì)于有摻雜的樣品 (xMn=8%),如圖2(b)所示,自旋極化隨溫度變化引入新的退相干機(jī)制,磁導(dǎo)隨溫度升高非單調(diào)變化.

圖2 Mn 摻雜的拓?fù)浣^緣體薄膜中磁導(dǎo)在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下的溫度依賴行為,其中(a) xMn=0% 和(b) xMn=8% .圖中的空心方塊是從文獻(xiàn)[63]中獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),實(shí)線是(25)式在不同磁場(chǎng)下的擬合結(jié)果.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[72]Fig.2.Magnetoconductivity as a function of temperature at different magnetic field strength for two Mn-doped topological insulator thin films of (a) xMn=0% and (b) xMn=8% .The open squares are the experimental data extract from Ref.[63].The solid red lines are the fitting results at different magnetic filed B by using the formula in Eq.(25).Reproduced with permission from Ref.[72].

4.2 三維狄拉克費(fèi)米子中的量子干涉理論

在三維體系中,許多外爾和狄拉克半金屬以及拓?fù)浣^緣體當(dāng)中的磁阻呈現(xiàn)一個(gè)非單調(diào)的磁場(chǎng)依賴[28,29,32?36,64].之前已有理論都無法解釋這樣一個(gè)磁阻轉(zhuǎn)變行為.這里推導(dǎo)了一個(gè)在三維有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子中由量子干涉引起的磁阻公式[75].我們的解析公式顯示了一個(gè)由正到負(fù)轉(zhuǎn)變的磁阻行為,揭示了多個(gè)弱局域化和弱反局域化通道在不同化學(xué)勢(shì)、有效質(zhì)量以及有限溫度下的強(qiáng)烈競(jìng)爭(zhēng).我們使用該理論分析了狄拉克半金屬 Cd3As2中的磁阻[64],理論和實(shí)驗(yàn)得到了非常好的擬合,這也表明狄拉克材料中由正到負(fù)的磁阻轉(zhuǎn)變可以歸根于量子干涉效應(yīng).為了探討不同拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu)下的量子干涉效應(yīng),這里使用修正的狄拉克方程(6).

對(duì)于三維修正的狄拉克方程,主要有4 個(gè)有效的庫(kù)珀子通道在量子修正中做貢獻(xiàn),分別是無能隙的弱反局域化通道i=0,雙重簡(jiǎn)并的弱局域化通道i=t±,以及弱反局域化和弱反局域化混合通道i=s.在零磁場(chǎng)下,這4 個(gè)通道貢獻(xiàn)的電導(dǎo)修正為

圖3 庫(kù)珀子能隙和權(quán)重因子關(guān)于能量的函數(shù)關(guān)系,其中(a) 拓?fù)浣^緣體 (mb ＞0) ,(b) 平庸絕緣體 (mb ＜0) ,(c)半金屬(mb=0). 是總的權(quán)重因子.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[75]Fig.3.Dimensionless Cooperon gap and weighting factor Fi as a function of the Fermi energy μ for (a) topological insulator(mb＞0 ),(b) trivial insulator (mb＜0),and (c) Dirac semimetal (mb=0). Ftot is the total weighting factors defined as.Reproduced with permission from Ref.[75].

圖4 (a) (27)式對(duì)實(shí)驗(yàn)中Cd2As3 樣品[64]相對(duì)縱向磁阻的理論擬合;(b) 擬合得到的相干長(zhǎng)度關(guān)于溫度的函數(shù),可以被?? ∝T-0.75很好地?cái)M合;(c)不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下的相對(duì)磁阻關(guān)于溫度的函數(shù).轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[75]Fig.4.Theoretical fitting to the relative longitudinal magnetoresistance in a Cd2As3 sample[64];(b) fitted phase coherence length ?? as a function of temperatures (open squares),which can be well-fitted by ?? ∝T-0.75 ;(c) measured relative magnetoresistance as a function of temperatures at B=1,2,3 T .Reproduced with permission from Ref.[75].

在有限磁場(chǎng)下,量子干涉引起的電導(dǎo)修正為

除了三維狄拉克費(fèi)米子,文獻(xiàn)[74]和[76]分別對(duì)雙外爾半金屬和節(jié)點(diǎn)半金屬當(dāng)中的量子干涉效應(yīng)進(jìn)行了研究.雙外爾半金屬中當(dāng)單極子荷等于2 時(shí),電子運(yùn)動(dòng)一圈獲得 2π 的相位,此時(shí)時(shí)間反演散射態(tài)之間產(chǎn)生相干干涉導(dǎo)致弱局域化效應(yīng)[74].在節(jié)點(diǎn)半金屬中,量子干涉效應(yīng)更為復(fù)雜.對(duì)于短程散射勢(shì),電子的背散射由沒有環(huán)繞節(jié)線的干涉路徑主導(dǎo),由于電子經(jīng)過這些路徑后并未積累貝里相位,此時(shí)體系呈現(xiàn)三維弱局域化效應(yīng)(δσ～).而對(duì)于長(zhǎng)程散射勢(shì),電子等效于在二維平面擴(kuò)散,電子在費(fèi)米面上環(huán)繞節(jié)線運(yùn)動(dòng)并獲得 π 的貝里相位,從而導(dǎo)致具有二維標(biāo)度的弱反局域化效應(yīng)(δσ～lnB)[76].

5 ZrTe5 和HfTe5 中的電阻反常

電阻反常是指溫度依賴的電阻曲線在有限溫T=Tp附近呈現(xiàn)一個(gè)明顯的尖峰,該效應(yīng)40 多年前就已經(jīng)在 ZrTe5和 HfTe5中被觀察到[147,148].最初,研究人員認(rèn)為這種異常現(xiàn)象可能是由于結(jié)構(gòu)相變或者電荷密度波的出現(xiàn)引起的,但很快由于缺乏支持證據(jù)而被否定[149?152].近幾年越來越多新奇的電和電熱效應(yīng)在這些系統(tǒng)中被探測(cè)到[34,85,92,104,153?157],人們也試圖重新理解電阻反常出現(xiàn)的物理機(jī)制[158?162].例如溫度誘導(dǎo)的拓?fù)湎嘧僛160],即能帶能隙在升溫過程中閉合和重新打開.但是這和實(shí)驗(yàn)中的能譜測(cè)量不一致[135,163].在文獻(xiàn)[121]中,我們提出了一個(gè)狄拉克極化子的理論來解釋實(shí)驗(yàn)上的反常行為.在保證體系中載流子濃度守恒的前提下,狄拉克極化子的化學(xué)勢(shì)隨著溫度的升高有可能會(huì)掃過能隙中間.當(dāng)化學(xué)勢(shì)呈現(xiàn)這樣的行為,體系中就會(huì)出現(xiàn)電阻反常.此外,電子空穴在有限溫度下的混合會(huì)引起反常的電和熱電效應(yīng).這里首先從各向異性的狄拉克模型出發(fā):

在實(shí)際的測(cè)量中,電阻反常還伴隨著霍爾系數(shù)和塞貝克系數(shù)的符號(hào)轉(zhuǎn)變.對(duì)于n-型載流子(μ(T=0)＞0),如圖5(c)所示,隨著溫度的升高,霍爾系數(shù)RH=?ρxy/?B|B=0首先在低溫幾乎是一個(gè)常數(shù)(1/en),然后在高溫下逐漸減小至最小值,在轉(zhuǎn)變溫度Tp附近再由負(fù)到正變化.RH的符號(hào)改變表明體系的輸運(yùn)性質(zhì)在溫度升高過程中由電子主導(dǎo)變?yōu)榭昭ㄖ鲗?dǎo)[85,159].塞貝克系數(shù)隨溫度的變化行為和霍爾系數(shù)類似.如圖5(d)所示,塞貝克系數(shù)在低溫下隨著溫度線性變化(Sxx=),并在轉(zhuǎn)變溫度附近發(fā)生變號(hào).

圖5 ZrTe5 和HfTe5 電阻反常效應(yīng) (a)關(guān)于ZrTe5 溫度依賴的能譜在實(shí)驗(yàn) (根據(jù)文獻(xiàn)中ARPES 測(cè)量得到) 和理論 (實(shí)線) 上的比較,隨著溫度升高,化學(xué)勢(shì)由導(dǎo)帶變化至價(jià)帶;(b)—(d) 分別為不同載流子濃度下計(jì)算得到的電阻反常行為、霍爾系數(shù)和塞貝克系數(shù).轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[121]Fig.5.Resistivity anomaly in ZrTe5 and HfTe5: (a) Comparison of experimental (according to the ARPES measurements in literature) and theoretical (solid lines) temperature-dependent energy spectrum.The chemical potential varies from valence band to conduction band with the increasing of temperature.(b)–(d) The resistivity anomaly,Hall coefficients,and Seebeck coefficient for several different carrier concentrations.Reproduced with permission from Ref.[121].

在有限磁場(chǎng)下,橫向磁阻ρxx(B) 和霍爾電阻ρxy(B)在接近轉(zhuǎn)變溫度Tp和遠(yuǎn)離Tp時(shí)呈現(xiàn)顯著不同的行為.如圖6(a)和圖6(b)所示,在Tp附近,在零磁場(chǎng)附近的橫向磁阻ρxx(B) 呈明顯的凹陷(dip)行為,霍爾電阻ρxy(B) 關(guān)于磁場(chǎng)非線性變化.而對(duì)于遠(yuǎn)離Tp的溫度,ρxx(B) 呈現(xiàn)磁場(chǎng)平方依賴,ρxy(B)則恢復(fù)為磁場(chǎng)線性行為.同時(shí),在溫度接近Tp時(shí),ρxx(B) 在強(qiáng)磁場(chǎng)下也不飽和,這和通常的雙載流子模型給出的磁阻截然不同.除了磁阻以外,塞貝克系數(shù)Sxx和能斯特系數(shù)Sxy在磁場(chǎng)和溫度下也呈現(xiàn)出類似的反常行為.如圖6(c)所示,塞貝克系數(shù)Sxx在磁場(chǎng)下逐漸趨于飽和,其符號(hào)隨著溫度升高而發(fā)生變號(hào).而能斯特系數(shù)Sxy在磁場(chǎng)和溫度下則表現(xiàn)出更為復(fù)雜的行為.如圖6(d)所示,隨著溫度升高,Sxy會(huì)發(fā)生兩次變號(hào),并始終表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性行為.Sxy的數(shù)值在T～Tp時(shí)類似于ρxx在磁場(chǎng)下不飽和.

圖6 不同溫度下的(a)橫向電阻,(b)霍爾電阻,(c)塞貝克系數(shù)和(d)能斯特系數(shù)的磁場(chǎng)依賴.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[121]Fig.6.Magnetic field dependence of (a) the transverse magnetoresistance ρxx,(b) the Hall resistivity ρxy,(c) the Seebeck coefficient and (d) the Nernst coefficient for different temperatures.Reproduced with permission from Ref.[121].

圖7 連續(xù)性方程(32)和(34)中系數(shù) Ch 和 C5 的比較.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[50]Fig.7.Comparison of the coefficients Ch/5 in the equations for the divergence of the helical current and axial vector currents in Eqs.(32) and (34).Reproduced with permission from Ref.[50].

文獻(xiàn)[159]中利用雙載流子模型對(duì)電阻反常的性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)研究,其擬合的結(jié)果表明體系的輸運(yùn)性質(zhì)在溫度升高過程由電子主導(dǎo)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榭昭ㄖ鲗?dǎo),體系總的載流子由電子型轉(zhuǎn)變?yōu)榭昭ㄐ?這與上述的討論明顯不一樣,這里總的載流子濃度一直保持不變,在溫度作用下電子和空穴混合在一起才形成了實(shí)驗(yàn)中的反常輸運(yùn)現(xiàn)象.

6 狄拉克費(fèi)米子中的量子反常效應(yīng)和螺旋磁效應(yīng)

無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的手性反常是量子場(chǎng)論中非常重要的一個(gè)話題,被認(rèn)為是由電磁場(chǎng)的量子漲落引起的自發(fā)對(duì)稱性破缺的結(jié)果[164?168].具體而言,無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子具有手性對(duì)稱性,根據(jù)諾特定理(Noether’s theorem),手性流應(yīng)該守恒[167].但是由于電磁場(chǎng)的量子漲落效應(yīng)的存在,手性對(duì)稱性被破壞,無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的手性流實(shí)際上并不守恒.此外,狄拉克費(fèi)米子還具有螺旋對(duì)稱性,該對(duì)稱性在電磁場(chǎng)下被直接破壞.而對(duì)于無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子,螺旋度和手性等價(jià)聯(lián)系在一起[127,169],那么手性反常是否和螺旋度的直接對(duì)稱破缺相關(guān)呢? 在文獻(xiàn)[50]中,我們根據(jù)Jackiw-Johnson 的方法[170]推導(dǎo)了關(guān)于螺旋電流和軸向電流的連續(xù)性方程.在無質(zhì)量的情況下,這兩個(gè)連續(xù)性方程變得等價(jià).這種等價(jià)性證明了螺旋對(duì)稱性破缺和手性反常的密切聯(lián)系.在物理測(cè)量方面,螺旋對(duì)稱性的破缺導(dǎo)致了所謂的螺旋磁效應(yīng)(Helical magnetic effect,即固體材料中存在一個(gè)沿著磁場(chǎng)方向流動(dòng)的電流),以及一個(gè)質(zhì)量依賴的正的縱向磁導(dǎo).該理論不僅反映了有質(zhì)量狄拉克材料當(dāng)中的反常磁輸運(yùn)性質(zhì),還顯示了螺旋對(duì)稱性破缺和量子場(chǎng)論中的手性反常的密切關(guān)系.根據(jù)含時(shí)狄拉克方程,可以得到螺旋電流的連續(xù)性方程:

其中ψ和為狄拉克旋量,ρh和jh分別是螺旋電荷密度和螺旋電流密度,h是螺旋度算子,V=eEzz是靜電勢(shì),Ez是電場(chǎng)強(qiáng)度,z是z方向的位置坐標(biāo).連續(xù)性方程右邊第一項(xiàng)是量子漲落給出的反常項(xiàng),第二項(xiàng)則為螺旋對(duì)稱性在電場(chǎng)下的直接破缺所導(dǎo)致的.該項(xiàng)的值由第零朗道能級(jí)的導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂?shù)膬蓚€(gè)態(tài)的占居所決定,每一個(gè)態(tài)會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè).然后最終的連續(xù)性方程為

在這里,當(dāng)化學(xué)勢(shì)在導(dǎo)帶或價(jià)帶時(shí)Ch=sign(μ),當(dāng)化學(xué)勢(shì)在半填充時(shí)Ch=0 .因此直接對(duì)稱性破缺和量子漲落的貢獻(xiàn)在能隙中間恰好被抵消掉.對(duì)于無質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子,根據(jù)手性和螺旋度的關(guān)系,可以得到手性電流的連續(xù)性方程:

其中ρ5和j5分別為手性電荷密度和手性電流密度.這里從螺旋對(duì)稱性破缺的角度推導(dǎo)了手性反常的連續(xù)性方程.此外,通過計(jì)算贗矢量密度的平均值,可以得到有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的手性流的連續(xù)性方程:

類似于手性磁效應(yīng)(chiral magnetic effect),當(dāng)體系兩種螺旋度的電子態(tài)存在不平衡時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)正比于磁場(chǎng)的凈電流:

7 量子反常半金屬

自量子霍爾效應(yīng)出現(xiàn)以后,拓?fù)湮飸B(tài)和拓?fù)洳牧弦阎饾u成為凝聚態(tài)物理當(dāng)中最前沿的課題之一.在文獻(xiàn)[122?125]中,我們提出了量子反常半金屬的概念,并討論了其中新奇的物理現(xiàn)象.下面以二維和三維為例,說明量子反常半金屬的奇異性質(zhì).

7.1 半整數(shù)量子霍爾效應(yīng)

半整數(shù)量子霍爾效應(yīng)在二維體系中和宇稱反常緊密聯(lián)系在一起[18,91,179?185].在場(chǎng)論中宇稱反常是無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的宇稱對(duì)稱性和U(1) 規(guī)范不變性之間的沖突產(chǎn)生的[179,180].在文獻(xiàn)[123]中,我們討論了宇稱反常半金屬(parity anomalous semimetal,PAS)的半整數(shù)霍爾效應(yīng)及其獨(dú)特的體-邊界對(duì)應(yīng).在材料現(xiàn)實(shí)上,有多個(gè)體系可以用于實(shí)現(xiàn)宇稱反常半金屬,例如霍爾丹模型(Haldane Model)和三維半磁性拓?fù)浣^緣體.

如圖8(a)所示,霍爾丹模型在動(dòng)量空間有兩個(gè)狄拉克錐,當(dāng)其中一個(gè)狄拉克錐的能帶閉合時(shí),該模型有半量子化的陳數(shù)和霍爾電導(dǎo)[18].通過計(jì)算,可以得到此時(shí)橫向電流的空間分布為[123]

圖8 宇稱反常半金屬示意圖 (a) Haldane 模型: 無質(zhì)量和有質(zhì)量的狄拉克錐在動(dòng)量空間分開;(b)三維半磁性拓?fù)浣^緣體: 無質(zhì)量和有質(zhì)量的狄拉克錐在實(shí)空間分開;(c)宇稱反常半金屬中低能電子態(tài)的分布以及冪律衰減的邊界流.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[123]Fig.8.Illustration of parity anomaly semimetals: (a) Haldane model where massive and massless Dirac cone separated in momentum space;(b) semi-magnetic 3D topological insulator in which a massive and a massless Dirac cone separated in position space;(c) distribution of a set of low energy states and the power law decay edge current in the parity anomalous semimetal for open boundary condition.Reproduced with permission from Ref.[123].

三維半磁性拓?fù)浣^緣體是通過在三維拓?fù)浣^緣體上表面覆蓋一層絕緣的鐵磁層來形成的[91,186].靠近鐵磁層的拓?fù)浔砻鎽B(tài)因?yàn)榻徯?yīng)被打開能隙[82,89,91,144?146],而另一個(gè)表面的表面態(tài)則依然處于無能隙狀態(tài).因此在三維半磁性拓?fù)浣^緣體中無質(zhì)量和有質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子在空間上被分開(如圖8(b)所示),但是整體依然是半金屬態(tài).由于三維半磁性拓?fù)浣^緣體準(zhǔn)二維的屬性,可以計(jì)算空間層分辨的霍爾電導(dǎo)Cz(?),[187?189].Cz(?)主要分布在上表面附近,總的霍爾電導(dǎo)σH=是半量子化的[186,190].類似于霍爾丹模型,也可以計(jì)算半量子化霍爾電導(dǎo)對(duì)應(yīng)的邊界流.在無能隙的區(qū)域,邊界流具有冪律衰減的行為～|x±L/2|-3/2,而在有能隙的區(qū)域,邊界流具有指數(shù)衰減的行為.由此可見,半量子化霍爾電導(dǎo)對(duì)應(yīng)了環(huán)繞于上表面四周的電流,而此時(shí)并不存在棱態(tài) (Hinge States).最近我們針對(duì)三維半磁性拓?fù)浣^緣體構(gòu)建了表面態(tài)的格點(diǎn)模型[124],進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了半量子化霍爾電導(dǎo)與無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子以及宇稱對(duì)稱性之間的關(guān)系.當(dāng)化學(xué)勢(shì)處在宇稱對(duì)稱性不變的區(qū)域,三維半磁性拓?fù)浣^緣體具有半整數(shù)量子化的霍爾電導(dǎo),同時(shí)該性質(zhì)對(duì)無序具有很強(qiáng)的魯棒性.

7.2 1/4 的磁電效應(yīng)

三維材料中的磁電效應(yīng)可以由軸子電動(dòng)力學(xué)有效地描述[196].在通常時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)浣^緣體當(dāng)中,軸子電動(dòng)力學(xué)中的軸子角θ可以分為兩類[8,197],對(duì)于拓?fù)淦接沟那闆rθ=0,對(duì)于拓?fù)浞瞧接沟那闆rθ=±π .而量子化的軸子角導(dǎo)致了量子化的拓?fù)浯烹娦?yīng)[184,187,189,198?201].而對(duì)于三維量子反常半金屬,其具有半量子化的纏繞數(shù),不屬于上面兩類,那么此時(shí)的軸子角θ和磁電效應(yīng)是什么樣的呢,我們?cè)谖墨I(xiàn)[125]中進(jìn)行了詳細(xì)的研究.對(duì)于三維量子反常半金屬,在狄拉克點(diǎn)附近的手性電流滿足如下連續(xù)性方程:

在b→0 或者kF→0 的時(shí)候,三維量子反常半金屬的色散幾乎是動(dòng)量的線性函數(shù).在這種情況下體系恢復(fù)了手性對(duì)稱性,然而手性電流卻并不守恒,這就表明了三維量子反常半金屬在狄拉克點(diǎn)附近具有手性反常,因此也將三維量子反常半金屬稱為三維手性反常半金屬.為了研究三維手性反常半金屬中的磁電效應(yīng),進(jìn)一步引進(jìn)了對(duì)稱性破缺的項(xiàng)m2τ3σ2,這一項(xiàng)破壞了時(shí)間反演對(duì)稱性和空間反演對(duì)稱性,但是具有時(shí)間反演和空間反演結(jié)合的對(duì)稱性,其通常可以由自旋密度波序(spin density wave order)產(chǎn)生[202?204].在m2趨于 0 的時(shí)候,三維手性反常半金屬中的軸子角和纏繞數(shù)具有如下關(guān)系:

圖9 (a)關(guān)于磁化強(qiáng)度和體拓?fù)浯烹娦?yīng)關(guān)系的示意圖,外加電場(chǎng)產(chǎn)生了表面電流和磁化強(qiáng)度;(b)沿著x 方向的局域電流密度關(guān)于位置z 的函數(shù);(c)軸子角 θ 關(guān)于位置z 的函數(shù)關(guān)系.這里電場(chǎng)沿著y 方向.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[125]Fig.9.(a) Schematic diagram of the relation between magnetization and bulk topological magnetoelectric effect.A surface current is produced by an electric field due to the magnetization.(b) Local current density along the x–direction as a function of slab position z.(c) Spatial dependent θ along the z direction.The electric field is applied along the y-direction.Reproduced with permission from Ref.[125].

其中K0(x) 是第二類零階修正貝塞爾函數(shù).位置z由變化.可以看出電流jx(z)關(guān)于z=0反稱,即jx(-z)=-jx(z),然后流過樣品總的電流為 0 .如圖9(b)所示,電流jx(z) 主要分布在樣品上下表面附近的幾層.利用K0(x)在x→0 的漸進(jìn)行為K0(x)～-lnx,可以發(fā)現(xiàn)電流在薄膜表面附近具有對(duì)數(shù)衰減的行為:

這里的對(duì)數(shù)衰減行為和拓?fù)浣^緣體中的指數(shù)衰減行為明顯不同,是三維手性反常半金屬的一個(gè)獨(dú)特性質(zhì).此外,當(dāng)z偏離薄膜表面時(shí),

其中的衰減長(zhǎng)度反比于能隙m2.值得強(qiáng)調(diào)的是,由于該體系不存在局域的邊界態(tài),這里的表面電流完全由擴(kuò)展的體態(tài)貢獻(xiàn).這種體態(tài)貢獻(xiàn)的邊界流現(xiàn)象在二維宇稱反常半金屬中同樣存在[122,123].

8 評(píng)論和展望

狄拉克量子材料是一類特殊的凝聚態(tài)體系,其低能準(zhǔn)粒子激發(fā)具有狄拉克粒子的行為而不能用薛定諤方程描述,比如d 波超導(dǎo)、石墨烯、拓?fù)浣^緣體等都可以認(rèn)為是狄拉克材料.由于較強(qiáng)電子自旋耦合和非平庸的拓?fù)湫再|(zhì),人們?cè)谄渲杏^測(cè)到各種新奇的磁輸運(yùn)現(xiàn)象,其中大量物理現(xiàn)象至今仍未有定論.

本文的第一部分(第3,4,5,6 節(jié))主要是關(guān)于狄拉克材料實(shí)驗(yàn)中幾種新奇磁阻現(xiàn)象的理論解釋.在許多有質(zhì)量或無質(zhì)量的狄拉克材料的磁阻實(shí)驗(yàn)中,小磁場(chǎng)通常表現(xiàn)出正磁阻的行為,隨著磁場(chǎng)變大,過渡到負(fù)磁阻,呈現(xiàn)出非單調(diào)的磁阻行為.小磁場(chǎng)下的磁阻行為通?？梢詺w咎于量子干涉效應(yīng).之前的量子相干的磁阻理論大多針對(duì)單帶無兼并系統(tǒng),而在很多狄拉克半金屬以及拓?fù)浣^緣體體系中,由于同時(shí)存在時(shí)間反演和空間反演對(duì)稱性而能帶處處兼并,具有內(nèi)稟的SU(2)對(duì)稱性,且由于強(qiáng)自旋軌-道耦合而無法解耦,這使得之前的理論方案在這里并不適用.而較大磁場(chǎng)下很強(qiáng)的負(fù)磁阻行為通常用手性反常來解釋.在很多拓?fù)渫鉅柡偷依税虢饘俨牧现杏^測(cè)到的負(fù)磁阻行通常被認(rèn)為是手性反常(chiral anomaly)的直接證據(jù).但是負(fù)磁阻現(xiàn)象在一些典型的窄能隙的拓?fù)浣^緣體材料中也被觀察到,由于此時(shí)狄拉克質(zhì)量非零,手性不再是個(gè)好量子數(shù),左右手粒子耦合,顯然手性反常并不能用來解釋這些體系中的負(fù)磁阻現(xiàn)象.因此急需發(fā)展出新的理論框架以更好地處理并解釋在這類狄拉克材料里觀測(cè)到的各種反常磁輸運(yùn)行為.首先基于費(fèi)曼圖技術(shù),我們發(fā)展了一套針對(duì)狄拉克材料的量子干涉效應(yīng)的理論方案.該理論不僅成功地解釋了一系列實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,如狄拉克半金屬Cd3As2當(dāng)中的磁阻、拓?fù)浣^緣體Bi2Se3薄膜中的磁阻反常溫度依賴,并且由于完整地考慮了所有的量子干涉通道的貢獻(xiàn),還可以定量研究時(shí)間反演對(duì)稱性微弱破壞的情況下不同通道之間的競(jìng)爭(zhēng).多通道競(jìng)爭(zhēng)所引起的磁阻隨著化學(xué)勢(shì)的振蕩行為后來在一篇實(shí)驗(yàn)工作中得到了驗(yàn)證[205].接著,為了理解較大磁場(chǎng)下的負(fù)磁阻效應(yīng),我們發(fā)展了狄拉克材料的擴(kuò)散磁輸運(yùn)理論.它可以系統(tǒng)地描述各種無序散射、量子漲落效應(yīng)、以及自旋和贗自旋弛豫過程.相比于半經(jīng)典的玻爾茲曼理論,這套基于費(fèi)曼圖的理論對(duì)于無序的處理更加微觀,并且可以很好地處理能帶簡(jiǎn)并導(dǎo)致的非阿貝爾貝利曲率的情況.通過求解擴(kuò)散方程,我們得到一個(gè)正比于磁場(chǎng)平方的負(fù)磁阻.當(dāng)體系中破壞手性(如狄拉克質(zhì)量、質(zhì)量無序等)越嚴(yán)重,該負(fù)磁阻越弱.后來我們又注意到,在有限磁場(chǎng)下,無論體系有無質(zhì)量,螺旋度(helicity)始終是個(gè)好量子數(shù),而手性(chirality)只在無質(zhì)量情況下是好量子數(shù),因此螺旋度在狄拉克材料中比手性更加普適.當(dāng)兩種螺旋度的電子態(tài)不平衡時(shí),有限磁場(chǎng)會(huì)導(dǎo)致一個(gè)平行于磁場(chǎng)方向的電流,即螺旋磁效應(yīng).進(jìn)一步引入兩種螺旋度的電子態(tài)之間的散射會(huì)導(dǎo)致正磁導(dǎo)(負(fù)磁阻).該系列工作加深了對(duì)于有質(zhì)量狄拉克材料中負(fù)磁阻機(jī)制的理解.最后我們指出電聲子耦合在窄帶隙狄拉克材料有限溫度輸運(yùn)中的重要作用,解釋了ZrTe5和HfTe5中包括電阻反常在內(nèi)的一些列電輸運(yùn)和熱電輸運(yùn)現(xiàn)象,為理解窄其中的反常輸運(yùn)行為提供了新的思路.

狄拉克量子材料中仍然有很多輸運(yùn)現(xiàn)象未被理解.例如Z2拓?fù)浣^緣體中的線性磁阻機(jī)制.根據(jù)Onsager 關(guān)系,在時(shí)間反演不變的體系中,縱向電導(dǎo)率關(guān)于磁場(chǎng)的級(jí)數(shù)展開只存在偶數(shù)階.因此,對(duì)于非磁性材料,磁阻通常呈現(xiàn)平方的行為,而對(duì)于磁性材料,線性磁阻才允許存在.最近,在一些非磁性拓?fù)浣^緣體材料中觀測(cè)到這一現(xiàn)象[111?113].實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),在低溫情況下,當(dāng)磁場(chǎng)和電流方向垂直時(shí),橫向磁阻隨著磁場(chǎng)線性增加,在零磁場(chǎng)處表現(xiàn)出非解析行為,且通常在強(qiáng)場(chǎng)下不飽和.Abrikosov[206]提出在半金屬中當(dāng)載流子只填充在最低朗道能級(jí)時(shí)(即量子極限),考慮雜質(zhì)散射,磁阻會(huì)表現(xiàn)出線性行為.但是很多情況并不滿足量子極限條件,并且由于狄拉克質(zhì)量的存在第零朗道能級(jí)也并不呈現(xiàn)線性.Parish 和Littlewood[207,208]提出當(dāng)材料的不均勻性非常強(qiáng)時(shí),通過一個(gè)經(jīng)典的電阻網(wǎng)絡(luò)計(jì)算可以得一個(gè)不飽和的線性磁阻,但是通常的拓?fù)浣^緣體樣品晶體質(zhì)量很高,因此這個(gè)機(jī)制不能用來理解拓?fù)浣^緣體中的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.也有一些理論和實(shí)驗(yàn)將這個(gè)線性磁場(chǎng)解釋為拓?fù)浣^緣體表面的貢獻(xiàn)[111,114,115].在最近關(guān)于拓?fù)浣^緣體材料Bi2Se3的實(shí)驗(yàn)中[114],人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)磁場(chǎng)方向從面外改變至面內(nèi)時(shí),線性磁阻呈現(xiàn)出對(duì)磁場(chǎng)方向的顯著依賴,這是典型的二維特征.并且Shubnikov-de Haas (SdH)振蕩給出的載流子濃度也和二維表面態(tài)相一致.但是后來有些實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在一些載流子濃度很高存在體態(tài)參與輸運(yùn)的樣品中也能觀察到二維的SdH 振蕩行為[209].王春明和雷嘯霖[210]指出在拓?fù)浣^緣體表面態(tài)考慮塞曼效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致線性磁阻,但是通常實(shí)驗(yàn)表明表面態(tài)的g因子很小.因此,盡管線性磁阻在拓?fù)浣^緣體材料中被廣泛報(bào)道,但是迄今為止依然沒有統(tǒng)一的理論來解釋.另外一個(gè)存在爭(zhēng)議的是ZrTe5中的三維量子霍爾效應(yīng)和反常量子霍爾效應(yīng).自從量子霍爾效應(yīng)在二維發(fā)現(xiàn)以來,人們一直試圖將其推廣到三維.相比于二維,三維霍爾電導(dǎo)率會(huì)有一個(gè)額外的長(zhǎng)度分之一的量綱.在1983 年,Avron 等[211]提出當(dāng)三維體系中層間耦合很弱,磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)的朗道能級(jí)能量大于層間耦合時(shí),體系表現(xiàn)出準(zhǔn)二維的性質(zhì)從而霍爾效應(yīng)表現(xiàn)出晶格常數(shù)分之一的量子化.但是當(dāng)層間耦合變強(qiáng)時(shí),體系會(huì)變成金屬,這個(gè)圖像并不成立.在三維金屬中,Halperin[212]提出相互作用會(huì)導(dǎo)致自旋密度波或是電荷密度波的形成從而出現(xiàn)能隙,最終實(shí)現(xiàn)正比于費(fèi)米波矢的量子化霍爾電導(dǎo)同時(shí)縱向電導(dǎo)為0.最近,在ZrTe5和HfTe5的磁輸運(yùn)測(cè)量實(shí)驗(yàn)中[85,157],觀測(cè)到在量子極限下正比于費(fèi)米波矢的量子化霍爾電導(dǎo),而且SdH 振蕩的結(jié)果表明費(fèi)米面是個(gè)橢球而不是準(zhǔn)二維的開放結(jié)構(gòu),并且測(cè)到非歐姆的I-V曲線.其后盧海舟課題組[88,213]基于平均場(chǎng)和重整化群的理論工作認(rèn)為在這個(gè)體系中量子化霍爾電導(dǎo)是由于電荷密度波的形成,并且可以自洽解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.但是另外一些工作中,也存在一些不同的結(jié)果.例如有些實(shí)驗(yàn)工作表示,量子化的霍爾電阻伴隨一個(gè)非零的縱向剩余電阻,另外一些關(guān)于熱電輸運(yùn)的實(shí)驗(yàn)中也表示沒有觀測(cè)到電荷密度波形成的信號(hào)[86,120].霍爾系數(shù)是霍爾電阻對(duì)磁場(chǎng)的導(dǎo)數(shù).根據(jù)經(jīng)典的Drude-Boltzmann 理論,霍爾系數(shù)不依賴散射機(jī)制,只依賴于體系載流子濃度,因此實(shí)驗(yàn)上通常被用來測(cè)量載流子濃度.當(dāng)體系不存在電子或空穴摻雜,體系載流子濃度保持不變的情況下,霍爾電阻呈現(xiàn)出磁場(chǎng)的線性依賴.但是最近在一些ZrTe5的磁輸運(yùn)實(shí)驗(yàn)測(cè)量中[92?97],霍爾電阻表現(xiàn)出非線性的行為,甚至在強(qiáng)磁場(chǎng)下出現(xiàn)斜率變號(hào).在零磁場(chǎng)下ZrTe5是非磁性材料,反?；魻栯妼?dǎo)為0,因此磁場(chǎng)下塞曼劈裂非常重要.并且當(dāng)費(fèi)米能量不在能隙中時(shí),反?；魻栯妼?dǎo)除了由內(nèi)稟的貝利曲率貢獻(xiàn)外,側(cè)向跳躍(side-jump)和斜散射(skew scattering)導(dǎo)致的雜質(zhì)散射也有貢獻(xiàn)[214].而在磁場(chǎng)下ZrTe5表現(xiàn)出的非線性霍爾電阻的理論機(jī)制至今仍存在爭(zhēng)議.

第二部分(第7 節(jié))介紹一類與量子反常密切相關(guān)的新型狄拉克半金屬相及其輸運(yùn)性質(zhì).在二維,我們基于量子場(chǎng)論中宇稱反常(parity anomaly)的概念提出宇稱反常半金屬,并進(jìn)一步建立了它的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系.所謂的宇稱反常是指與規(guī)范場(chǎng)耦合的2+1 維無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子無法在同時(shí)保證宇稱對(duì)稱性和規(guī)范不變的方式量子化.在有效場(chǎng)理論中,當(dāng)作用量中的費(fèi)米子部分被積掉之后,可以得到一個(gè)關(guān)于規(guī)范場(chǎng)的Chern-Simons 項(xiàng),對(duì)應(yīng)1/2分?jǐn)?shù)量子化的霍爾電導(dǎo).雖然宇稱反常的概念已經(jīng)被提出將近40 年,但是直到最近由于狄拉克材料的深入研究,半整數(shù)化的量子霍爾效應(yīng)才在實(shí)驗(yàn)中被觀測(cè)到.整數(shù)化的量子霍爾效應(yīng)及其拓?fù)潴w邊對(duì)應(yīng)關(guān)系已經(jīng)被研究清楚并且被廣泛接受.但是對(duì)于半整數(shù)量子化的量子霍爾效應(yīng)的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系還并不清楚.我們通過嚴(yán)格解和數(shù)值方案建立了半整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的體邊對(duì)應(yīng).與整數(shù)量子霍爾效應(yīng)體系不同,具有半整數(shù)量子反?；魻栃?yīng)的宇稱反常半金屬中沒有良好定義的邊緣態(tài),但是延展的體態(tài)會(huì)集體貢獻(xiàn)出一個(gè)局域在磁性和非磁性界面處的邊界流,且這個(gè)邊界流表現(xiàn)出冪律衰減的行為.接下來在一維和三維中,我們基于手性反常(chiral anomaly)的概念提出手性反常半金屬.這是一類只有單個(gè)狄拉克點(diǎn)并且具有子格對(duì)稱性(屬于AIII 對(duì)稱類)的特殊拓?fù)浒虢饘?其拓?fù)湫再|(zhì)可以用一個(gè)半整數(shù)的纏繞數(shù)來刻畫,對(duì)應(yīng) 1/4 分?jǐn)?shù)化的拓?fù)浯烹娦?yīng).這系列工作將整數(shù)拓?fù)淞孔討B(tài)推廣到分?jǐn)?shù)并且確立了其反常體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系,即具有半整數(shù)的拓?fù)鋽?shù)的量子反常半金屬?zèng)]有良好定義的邊緣態(tài)但具有分?jǐn)?shù)化的拓?fù)溥吘壭?yīng).

除了半磁拓?fù)浣^緣體,宇稱反常半金屬中冪律衰減的邊界流同樣適用于量子反常霍爾效應(yīng)和軸子絕緣體(axion insulator,AI)[191?195].以往對(duì)這兩個(gè)體系的理解是基于上下表面態(tài)的霍爾電導(dǎo),分別 為. 然而在這個(gè)圖像下側(cè)面表面態(tài)的貢獻(xiàn)完全被忽略了.我們的理論計(jì)算顯示,冪律衰減的邊界流存在于有質(zhì)量和無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的界面處,量子反?；魻栃?yīng)和軸子絕緣體中的表面霍爾效應(yīng)均可基于宇稱反常半金屬的理論進(jìn)行解釋.軸子絕緣體由三維拓?fù)浣^緣體上下表面分別覆蓋相反磁矩的鐵磁層形成,無能隙的側(cè)面表面態(tài)處于兩個(gè)有質(zhì)量表面態(tài)中間,且上下表面態(tài)的狄拉克質(zhì)量符號(hào)相同.此時(shí)軸子絕緣體的側(cè)面電流的分布和宇稱反常半金屬一樣.不同的是,由半磁拓?fù)浣^緣體形成的宇稱反常半金屬中無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子所處的區(qū)域長(zhǎng)度為L(zhǎng)PAS=w+2d,而軸子絕緣體中無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子所處的區(qū)域長(zhǎng)度為L(zhǎng)AI=d,其中w和d分別為樣品的寬度和厚度.通過對(duì)(37)式中電流分布進(jìn)行積分,可以得到某個(gè)表面附近貢獻(xiàn)的霍爾電導(dǎo)為.對(duì)于半磁拓?fù)浣^緣體,樣品寬度w比較大(約 100 μm),kFw→+∞,F(kFLPAS)→1(如圖10 所示).因而體系有很好定義的半整數(shù)量子化的霍爾效應(yīng).對(duì)于磁性拓?fù)浣^緣體薄膜形成的軸子絕緣體,往往需要將化學(xué)勢(shì)調(diào)節(jié)到狄拉克點(diǎn)附近,例如kF～0.1 nm-1,而樣品的厚度只有幾個(gè)納米,因此kFd的數(shù)值往往比較小(1 的量級(jí)).如圖10插圖所示,,相關(guān)的表面霍爾電導(dǎo),一邊為,另一邊為.只有當(dāng)樣品足夠厚使得kF d→+∞,體系才有可能給出半整數(shù)量子化的霍爾效應(yīng),例如讓樣品厚度增加至幾百納米甚至微米量級(jí).但此時(shí)側(cè)面的表面態(tài)為無能隙的狄拉克電子,霍爾電流主要由這些表面態(tài)提供.在文獻(xiàn)[215]中,我們針對(duì)磁性拓?fù)浣^緣體中的宇稱反常半金屬、軸子絕緣體和量子反?；魻栃?yīng)三種狀態(tài)的霍爾效應(yīng)的能帶拓?fù)溥M(jìn)行進(jìn)一步的研究.在能帶計(jì)算中,只能得到宇稱反常半金屬的半整數(shù)量子霍爾效應(yīng),而軸子絕緣體和量子反?；魻栃?yīng)中并沒有發(fā)現(xiàn)半整數(shù)量子霍爾存在的確切跡象.此外,文獻(xiàn)[216,217]對(duì)半磁拓?fù)浣^緣體和軸子絕緣體中的半整數(shù)霍爾效應(yīng)也進(jìn)行了討論.文獻(xiàn)[216]將半磁拓?fù)浣^緣體中半整數(shù)量子化的霍爾電導(dǎo)歸功于沿著經(jīng)典金屬(classical metal)邊緣傳播的半量子化的手性流,其大小在低溫下不依賴于化學(xué)勢(shì)和溫度的大小.文獻(xiàn)[217]建立了半量子化手性流與古斯-漢欣位移電流(Goos-H?nchen shift current)的關(guān)系[218],并指出古斯-漢欣位移在軸子絕緣體中是半量子化的.接下來還需要更多的實(shí)驗(yàn)和理論來區(qū)分半整數(shù)量子霍爾的不同物理機(jī)制和圖像.

圖10 F(x) 關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系,其中藍(lán)色虛線表示F(x)=1 的位置.插圖是 x≤3 的函數(shù)曲線,綠色虛線是x→0 下的線性擬合F(x)=x/2Fig.10.Function relation between F(x) and x,the dashed blue line indicates the position of F(x)=1 .Insert is the function curve for x≤3,the dashed green line is the linear fitting with F(x)=x/2 for x→0 .