浦陳霞

【摘 要】 根據(jù)范希爾理論，培智學(xué)校學(xué)生的幾何思維水平主要處于水平0—水平2階段。因此在開(kāi)展生活數(shù)學(xué)圖形教學(xué)時(shí)，教師可結(jié)合教材和學(xué)生實(shí)際，分段分層螺旋上升式安排教學(xué)內(nèi)容，從“基于直觀，建立圖形表象”到“組織操作，理解圖形特征”，再到“比較異同，體會(huì)圖形關(guān)系”，使學(xué)生一步一步豐富活動(dòng)體驗(yàn)、增強(qiáng)圖形認(rèn)知，逐步提高幾何思維水平。

【關(guān)鍵詞】 范希爾理論；幾何思維水平；圖形教學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G764

范希爾理論是荷蘭數(shù)學(xué)教育家范希爾夫婦基于皮亞杰認(rèn)知理論，結(jié)合長(zhǎng)期一線(xiàn)幾何教學(xué)實(shí)踐研究而得出的關(guān)于學(xué)生幾何思維水平的理論，對(duì)于培智學(xué)校學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的教學(xué)具有指導(dǎo)意義。范希爾夫婦指出學(xué)生幾何思維的發(fā)展存在5個(gè)水平階段——視覺(jué)、分析、非形式化演繹、形式的演繹、嚴(yán)密性，培智學(xué)校學(xué)生主要處在前3個(gè)水平階段。生活數(shù)學(xué)教師可基于范希爾理論，結(jié)合教材和學(xué)生的實(shí)際有序組織“認(rèn)識(shí)圖形”教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生分段層級(jí)式提升，促進(jìn)他們幾何思維水平提高。

一、水平0：視覺(jué)——基于直觀，建立圖形表象

水平0階段是視覺(jué)階段，這階段的學(xué)生能根據(jù)具體實(shí)物，通過(guò)整體觀察和感知識(shí)別圖形，能模仿畫(huà)出圖形，初步描述圖形，但無(wú)法利用圖形的特征分析圖形。因此，視覺(jué)階段的教學(xué)定位是幫助學(xué)生基于直觀，通過(guò)觀察、比較、概括等形式建立圖形表象，習(xí)得圖形名稱(chēng)，進(jìn)而能在比較的基礎(chǔ)上對(duì)相關(guān)物體外形或圖形進(jìn)行識(shí)別和辨認(rèn)。

（一）觀察物體，抽取圖形

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，學(xué)生生活中的真實(shí)物體是適合他們視覺(jué)階段認(rèn)知水平的學(xué)習(xí)素材。教師在教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生從觀察常見(jiàn)的物體面開(kāi)始，聚焦“形”描畫(huà)輪廓，抽取出幾何圖形，完成生活實(shí)物外形到圖形的感性抽象。如教學(xué)“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形”時(shí)，教師出示學(xué)生熟悉的安全出口標(biāo)識(shí)、橡皮、直尺、數(shù)學(xué)書(shū)等含有長(zhǎng)方形的物品，引導(dǎo)學(xué)生觀察從這些物體面上逐個(gè)抽取出長(zhǎng)方形的過(guò)程，幫助學(xué)生積累豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，建立清晰的由體到面的印象。接著教師引導(dǎo)學(xué)生用手沿著長(zhǎng)方形輪廓有序比劃、實(shí)際動(dòng)筆描一描等充分描摹圖形，聚焦圖形的本質(zhì)特點(diǎn)，直觀感受長(zhǎng)方形是由4條直直的邊圍成的圖形，將觀察到的感性認(rèn)知上升為對(duì)長(zhǎng)方形的理性認(rèn)識(shí)，建立初步的長(zhǎng)方形圖形印象。

（二）概括提煉，建立表象

圖形表象是眾多同類(lèi)圖形形狀的概括，從多個(gè)圖形中提煉共性，概括成一類(lèi)，這也是數(shù)學(xué)一般化的過(guò)程。如教學(xué)“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形”時(shí)，教師讓學(xué)生觀察顏色、大小、方向各不相同的長(zhǎng)方形有什么共同特點(diǎn)，并讓學(xué)生通過(guò)觀察用自己的日常用語(yǔ)描述——都是長(zhǎng)長(zhǎng)方方的。教師就順勢(shì)介紹：像這樣長(zhǎng)長(zhǎng)方方的圖形都是長(zhǎng)方形。之后，教師出示一個(gè)正放著的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)方形，指出這個(gè)圖形表示長(zhǎng)方形，并命名為“長(zhǎng)方形”，這樣學(xué)生就完成了視覺(jué)階段形態(tài)各異長(zhǎng)方形一般化的概括過(guò)程，建立了典型的長(zhǎng)方形圖形表象。然后教師讓學(xué)生通過(guò)看、閉眼想、再看這樣多循環(huán)的方式記住圖形表象。

（三）變式辨析，強(qiáng)化表象

為了讓學(xué)生對(duì)圖形有完整的認(rèn)識(shí)，教師在進(jìn)行圖形教學(xué)時(shí)可以變換顏色、大小和方位，通過(guò)變式圖形與原來(lái)標(biāo)準(zhǔn)圖形的觀察、比較、辨析，讓學(xué)生體會(huì)圖形的本質(zhì)屬性——圖形的形狀與顏色、大小、方位無(wú)關(guān)，從而正確建立圖形的表象。

教師可以播放長(zhǎng)方形逐漸擴(kuò)大、逐漸縮小的動(dòng)畫(huà)給學(xué)生看，告訴學(xué)生這些始終是長(zhǎng)方形，讓學(xué)生頭腦里留下生動(dòng)的情境畫(huà)面，利于學(xué)生建構(gòu)長(zhǎng)方形的概念，發(fā)展初步的空間觀念。教師還可以讓學(xué)生旋轉(zhuǎn)手中的長(zhǎng)方形，邊看邊說(shuō)邊記住長(zhǎng)方形不同位置時(shí)的樣子，讓學(xué)生對(duì)正放、倒放、斜放的長(zhǎng)方形都有較為深刻的印象。建立圖形表象后，教師安排學(xué)生根據(jù)表象到身邊物品上再找長(zhǎng)方形，充分將頭腦里的圖形表象具體化，通過(guò)多次找長(zhǎng)方形，有錯(cuò)誤及時(shí)糾正，使學(xué)生不斷感知圖形，進(jìn)一步加強(qiáng)頭腦中的圖形表象。

二、水平1：分析——組織操作，理解圖形特征

水平1階段是分析階段，這階段的學(xué)生能簡(jiǎn)單分析圖形的組成要素、描述圖形的相關(guān)特征，或者利用這些特征解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但無(wú)法解釋這些特征之間的關(guān)系。這階段的教學(xué)可以通過(guò)看一看、擺一擺、數(shù)一數(shù)、比一比等操作活動(dòng)，幫助學(xué)生從邊和角的視角初步理解圖形的特征，嘗試用自己的語(yǔ)言進(jìn)行描述，并試著利用圖形特征來(lái)辨認(rèn)圖形。

（一）有序操作，分類(lèi)感知

為了便于學(xué)生了解長(zhǎng)方形的特征，教師可以分別開(kāi)展“邊”和“角”兩類(lèi)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形的組成要素進(jìn)行操作探究。

1.搭一搭、數(shù)一數(shù)。教師首先給學(xué)生提供兩長(zhǎng)、兩短的4根小棒，讓學(xué)生根據(jù)頭腦中建立的圖形表象嘗試搭一搭長(zhǎng)方形。搭完確認(rèn)是長(zhǎng)方形后，教師就指著小棒介紹：直直的小棒就是長(zhǎng)方形的一條邊。然后教師引導(dǎo)學(xué)生有序數(shù)一數(shù)邊的數(shù)量。通過(guò)齊數(shù)、個(gè)別數(shù)，學(xué)生得出：長(zhǎng)方形有4條邊。教師同樣結(jié)合長(zhǎng)方形介紹角的概念，使學(xué)生通過(guò)指、數(shù)，得出：長(zhǎng)方形有4個(gè)角。

2.描一描、畫(huà)一畫(huà)。教師通過(guò)讓學(xué)生照著長(zhǎng)方形（見(jiàn)圖1）邊描畫(huà)邊數(shù)邊說(shuō)，加深長(zhǎng)方形有4條直直的邊、4個(gè)方方的角的印象。學(xué)生通過(guò)親身經(jīng)歷搭、數(shù)、描畫(huà)，對(duì)長(zhǎng)方形邊、角的數(shù)量和特征有了較為清晰的了解。

（二）辨析操作，歸納特征

教師延續(xù)用小棒搭長(zhǎng)方形的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生辨析后繼續(xù)操作，層層深入，逐步了解掌握長(zhǎng)方形邊的特征。

1.移一移。教師出示之前學(xué)生用小棒搭長(zhǎng)方形的錯(cuò)例（如圖2），讓學(xué)生思考后移一移搭出正確的長(zhǎng)方形。比較移動(dòng)前后的兩個(gè)圖形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：要正確搭出長(zhǎng)方形，顏色相同的兩根小棒要面對(duì)面放。

2.比一比。教師順勢(shì)讓學(xué)生比一比顏色相同的兩根小棒的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)：顏色相同的小棒同樣長(zhǎng)。對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形得出：長(zhǎng)方形上下兩條邊一樣長(zhǎng)，左右兩條邊一樣長(zhǎng)。

3.搭一搭。教師給學(xué)生提供兩長(zhǎng)兩短的顏色均相同的4根小棒，讓學(xué)生嘗試搭長(zhǎng)方形。學(xué)生初步應(yīng)用長(zhǎng)方形對(duì)邊相等的特征，嘗試找出同樣長(zhǎng)的兩根小棒面對(duì)面放，搭出長(zhǎng)方形。

教師通過(guò)層層遞進(jìn)的操作，使學(xué)生關(guān)注長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)，進(jìn)一步觀察構(gòu)成圖形的邊長(zhǎng)與圖形之間的關(guān)系，尋找并體會(huì)長(zhǎng)方形的本質(zhì)特征：4條邊分成兩組，兩條長(zhǎng)邊為一組且同樣長(zhǎng)，兩條短邊為一組且同樣長(zhǎng)。

（三）嘗試應(yīng)用，內(nèi)化理解

學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形特征后，設(shè)計(jì)分層練習(xí)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解、鞏固圖形特征，深化認(rèn)知。圖3讓學(xué)生通過(guò)比較感受長(zhǎng)方形是直線(xiàn)圖形。圖4通過(guò)圈一圈、比一比，深化長(zhǎng)方形是四邊形的認(rèn)知。圖5都是四邊形，通過(guò)比較再次明確長(zhǎng)方形對(duì)邊相等，而且4個(gè)角都是方方的角。

三、水平2：非形式化演繹——比較異同，體會(huì)圖形關(guān)系

水平2階段是非形式化演繹階段暨抽象與關(guān)聯(lián)階段，這階段的學(xué)生可以根據(jù)相關(guān)性質(zhì)建立圖形內(nèi)部、圖形與圖形之間的聯(lián)系，能通過(guò)非形式化推理將圖形分類(lèi)，但還沒(méi)有形成條理清晰的概念系統(tǒng)。這對(duì)于培智學(xué)校學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度，教學(xué)中教師可以通過(guò)抽象與關(guān)聯(lián)，適當(dāng)讓學(xué)生理解圖形之間的關(guān)系。

（一）聚焦區(qū)別，感受聯(lián)系

培智學(xué)校學(xué)生將先后認(rèn)識(shí)各種幾何圖形，而這些圖形在圖形表象和特征上有相似又有區(qū)別，他們不容易區(qū)分。因此，當(dāng)學(xué)生新認(rèn)識(shí)一種圖形后，教師應(yīng)著重將其與之前認(rèn)識(shí)過(guò)的類(lèi)似圖形進(jìn)行比較，使學(xué)生充分感受圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別，抓住特征清晰建立圖形的認(rèn)知。教師也可以借助直觀形象的韋恩圖（見(jiàn)圖6）展示圖形之間的關(guān)系，促使學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)的平面圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如學(xué)生認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形后，教師出示多個(gè)四邊形，通過(guò)比較異同，讓學(xué)生感受長(zhǎng)方形是四邊形家族中的一個(gè)；學(xué)生認(rèn)識(shí)正方形之后，教師讓學(xué)生體會(huì)正方形是特殊的長(zhǎng)方形。等學(xué)生認(rèn)識(shí)了相關(guān)的四邊形之后，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生在觀察、比較中體會(huì)各個(gè)不同四邊形之間的包含關(guān)系。

（二）引申推理，形成結(jié)構(gòu)

教師還可以設(shè)計(jì)動(dòng)畫(huà)形式讓學(xué)生觀察、引申想象并驗(yàn)證，如將四邊形的兩組對(duì)邊拉成平行，四邊形就變成了平行四邊形；將平行四邊形的一個(gè)角變成直角，平行四邊形就變成了長(zhǎng)方形；長(zhǎng)方形的長(zhǎng)縮短到與寬同樣長(zhǎng)，長(zhǎng)方形就變成了正方形……雖然培智學(xué)校學(xué)生不善于表達(dá)，甚至理解得有可能不夠到位，但呈現(xiàn)圖形之間互相變化的動(dòng)畫(huà)，利于學(xué)生感受圖形與圖形之間的關(guān)系，便于他們整體了解平面圖形，逐漸形成完整的相關(guān)平面圖形的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

以上所舉長(zhǎng)方形的教學(xué)，教師可以設(shè)計(jì)2—3課時(shí)來(lái)完成。教學(xué)中我們也發(fā)現(xiàn)培智學(xué)校三年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形大都處于范希爾理論的水平0和水平1層次，只有極少學(xué)生處于水平2層次，根據(jù)范希爾理論幾何思維水平不連續(xù)的特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)需要分層教學(xué)，同時(shí)小步子、多循環(huán)地通過(guò)數(shù)形結(jié)合的動(dòng)手操作、觀察比較等實(shí)踐活動(dòng)，不斷加強(qiáng)學(xué)生的感知、體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念，從而逐步提升他們的幾何思維水平。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市錫山特殊教育學(xué)校，214000）