何 霞，宗 慧，洪 龍

（1. 淮陰工學(xué)院外國語學(xué)院，江蘇 淮安 223001；2. 南京航空航天大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，南京 210016；3. 淮陰工學(xué)院計算機(jī)與軟件工程學(xué)院，江蘇 淮安 223003；4. 南京郵電大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，南京 210003）

必要條件、充分條件和充分必要條件是邏輯學(xué)中的重要概念，也是日常生活、理論研究和工程技術(shù)領(lǐng)域中經(jīng)常用到的概念，我們將這3種條件稱作邏輯條件，正確應(yīng)用它們，能加深人們的相互理解、增進(jìn)友誼，能促進(jìn)科學(xué)發(fā)現(xiàn)和技術(shù)創(chuàng)新。正確應(yīng)用基于準(zhǔn)確理解，因此，準(zhǔn)確描述這三種條件，并用自然語言進(jìn)行合適的表達(dá)將有益于我們的工作、學(xué)習(xí)和生活。然而，在以傳統(tǒng)邏輯為主要內(nèi)容的“邏輯學(xué)”課程的教學(xué)過程中，往往對邏輯條件的理解發(fā)生困難。其主要原因是傳統(tǒng)邏輯主要以自然語言敘述，而自然語言存在歧義。B Russell從語言研究的角度指出，“除了邏輯與純粹數(shù)學(xué)，具有準(zhǔn)確意義的字是沒有的”［1］，這里的“邏輯”是指以符號為主進(jìn)行描述的現(xiàn)代邏輯（數(shù)理邏輯）。因此，采用現(xiàn)代邏輯描述必要條件、充分條件和充分必要條件是避免歧義并達(dá)到一般性的有效路徑。本文回顧了對這三個條件的已有的描述并對它們初步討論后，基于現(xiàn)代邏輯中的命題概念和蘊涵聯(lián)結(jié)詞分別描述它們，以期建立具有一般性的、無歧義的定義；之后，用真值表簡要討論條件之間的關(guān)系，以及應(yīng)用中需要注意的問題。

1 邏輯條件的簡述

1.1 必要條件

必要條件是邏輯學(xué)理論和應(yīng)用中的重要概念，也是教與學(xué)中的難點。

1.1.1 描述及其含義

邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)和哲學(xué)的部分專著中對必要條件的描述如下。

描述1：如果事物情況p 不存在，事物情況q就不存在，則稱p是q的必要條件［2］。摘自《形式邏輯》，這是金岳霖于20世紀(jì)60年代編寫，1979年出版，并于2006年重版之書。

描述2：一個特定事件發(fā)生的必要條件是指，在缺乏它的情況下，該事件不能發(fā)生［3］。摘自《Introduction to Logic，thirteenth edition》的譯本。

描述3：每當(dāng)B 不發(fā)生，A 就不能發(fā)生時，B 被說成是A的一個必要條件［4］。摘自《A Concise Introduction to Logic，10e》的譯本。

描述4：如果p 是q 的必要條件，那么q 不能為真，除非p 為真［5］。摘譯自《The Oxford dictionary of philosophy》。

描述5：當(dāng)q ←p 成立時，那么p 是q 的必要條件［6］。摘譯自《Concise dictionary of mathematics》。

描述1 至描述3 都具有形式“如果不…，那么不”；因描述4 中的“除非p 為真”與“p 不為真”同義，故其與描述1至描述3的語義相同。我們將這4種描述統(tǒng)一為：

如果非p，那么非q，則稱p是q的必要條件。

漢語中的“非”，在邏輯學(xué)中用否定聯(lián)結(jié)詞“?”表示，“如果，那么”用蘊涵聯(lián)結(jié)詞“ →”表示。采用聯(lián)接詞方法，很自然地就有：?p →?q。這里的?p →?q與描述5中的q ←p邏輯等值，故它們是相容的。

例1. 如果沒有車輪，那么汽車就不能開動。這里的車輪是汽車能開動的必要條件。

理解必要條件需要注意以下兩點：

（1）沒有規(guī)定p 的數(shù)量，故符合q 的必要條件的數(shù)量大于等于1。

例2. 三角形的定義如下：平面上三條線段構(gòu)成的封閉圖形。現(xiàn)分析下面的語句。

a. 如果沒有三條線段，那么就沒有三角形。該句中的“三條線段”是“三角形”的必要條件。

b. 如果圖形不是封閉圖形，那么該圖形就不是三角形。顯然，“封閉圖形”也是“三角形”的必要條件?？梢姡摾o出了三角形成立的兩個必要條件。

（2）有了必要條件p，q未必成立。

例3.“封閉圖形”是“三角形”的必要條件。然而，四邊形也是封閉圖形，但不是三角形。所以有了“封閉圖形”這個必要條件，這個圖形仍然不是三角形。

無之必不然，有之不必然。這是對必要條件的另一種描述，即沒有它肯定不成，有了它也未必能成。故必要條件主要用于否定的證明。

1.1.2 自然語言表達(dá)

在應(yīng)用中，采用“如果非p，那么非q”形式表達(dá)必要條件是清晰的。除此之外，還有一些自然語言常見的語句形式。

（1）“只有p，才q”語句形式

該形式是說，只有p為真，q才為真。

例4. 只有認(rèn)識到自己的缺點，才能改正自己的缺點［2］。

這里的“認(rèn)識到自己的缺點”是“改正自己的缺點”的必要條件，又是唯一的條件，故無歧義。因為社會中存在“認(rèn)識到自己的缺點”但不“改正自己的缺點”的現(xiàn)象，故應(yīng)將該例中的“能”理解為“可能”。這也體現(xiàn)了必要條件的特征——“有之不必然”。

“只有”往往給人以“僅僅有”的認(rèn)知。《現(xiàn)代漢語詞典》的釋義如下：“只有”是連詞，表示唯一的條件（下文常用“才”或“方”呼應(yīng)）［7］。因此，使用這種形式時，需謹(jǐn)慎。

例5. 只有年滿18周歲，才有選舉權(quán)。

該例的“年滿18 周歲”是“有選舉權(quán)”的必要條件。

根據(jù)《現(xiàn)代漢語詞典》對“只有”的釋義，該例容易產(chǎn)生歧義。因為“年滿18 周歲”不是“有選舉權(quán)”的唯一條件。根據(jù)《中華人民共和國憲法》第三十四條規(guī)定：“中華人民共和國年滿十八周歲的公民，不分民族、種族、性別、職業(yè)、家庭出身、宗教信仰、教育程度、財產(chǎn)狀況、居住期限，都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)；但是依照法律被剝奪政治權(quán)利的人除外?！彼?，不是中華人民共和國公民，未年滿十八周歲和被剝奪政治權(quán)利的人都沒有選舉權(quán)。該例的無歧義的較好的表達(dá)是“未年滿18周歲，就沒有選舉權(quán)。”此外，還可以有：

例6. 被剝奪政治權(quán)利，就沒有選舉權(quán)。該例中的“政治權(quán)利”是“有選舉權(quán)”的必要條件。

（2）“q，僅當(dāng)p”語句形式

該形式表示：q為真，僅當(dāng)p為真。

例7. 你會釣到魚，僅當(dāng)你的魚鉤上有魚餌［4］。

該例的“你的魚鉤上有魚餌”是“你會釣到魚”的必要條件。當(dāng)然，魚鉤上有魚餌，也未必會釣到魚。

這里的“僅當(dāng)”譯自英語的“if and only if”（數(shù)學(xué)中表示充分必要的用語，漢語譯為“當(dāng)且僅當(dāng)”）中的“only if”。作為用作定語的形容詞，“only”有多種釋義，其中，“most worth considering”［8］用來修飾“if”是合適的，因為必要的條件是非常值得考慮的條件。所以，“僅當(dāng)”應(yīng)理解為很值得考慮的情形、條件等，而不應(yīng)見“僅”而理解為“唯一”。

例8. 人能行走，僅當(dāng)存在引力。

該例從物理學(xué)原理解釋了人能行走的必要條件。

例9. 人能行走，僅當(dāng)他有兩條腿。

該例從生物學(xué)解釋了人能行走的必要條件。

（3）“除非p，非q”語句形式

該形式是說：除非p為真，q不會為真。

例10. 除非水有顏色，水不會是紅的。

該例的“水有顏色”是“水會是紅的”的必要條件。

將此例改為“水不會是紅的，除非水有顏色?！边@也許更符合閱讀習(xí)慣。

例11. 長明燈沒有熄滅，除非斷電。

例12. 長明燈沒有熄滅，除非它有故障。

上述的幾種表達(dá)必要條件的語句形式體現(xiàn)了自然語言豐富多彩，但在應(yīng)用時必須謹(jǐn)慎，以努力避免歧義。

1.2 充分條件與充分必要條件

1.2.1 充分條件

與必要條件相比，充分條件較易理解，對它的幾種描述如下：

描述1：如果事物情況p 存在，事物情況q 就存在，則稱p是q的充分條件［2］。

描述2：一個事件發(fā)生的充分條件是，它出現(xiàn)的情況下，事件必定發(fā)生［3］。

描述3：每當(dāng)發(fā)生A是發(fā)生B所必需的全部時，A被說成是B的一個充分條件［4］。

描述1具有“如果…，那么”的顯性形式。改寫描述2 如下：如果條件出現(xiàn)了，那么事件必然發(fā)生。所以它也具有“如果…，那么”的形式，但不是顯性的。

可以將這兩種描述統(tǒng)一為：如果p，那么q，則稱p是q的充分條件。

例13. 如果天下雨，那么地面就有水。

這里的“天下雨”是“地面有水”的充分條件。理解充分條件需要注意：

（1）有了充分條件p，q一定成立。

例14. 設(shè)x 為正整數(shù)。如果x 能被9 整除，那么x能被3整除。

（2）沒有充分條件p，q未必不成立。這表明符合q的充分條件的數(shù)量大于等于1。

例14 中的“能被9整除”是“能被3整除”的充分條件。除此之外，還有許多“能被3整除”的充分條件。如：

例15. 設(shè)x 為正整數(shù)。如果x 能被6 整除，那么x能被3整除。

例16. 設(shè)x為正整數(shù)。如果x能被12整除，那么x能被3整除。

有之必然，無之不必不然。這是對充分條件的一種描述，即有它肯定成，沒有它也未必不成。故充分條件主要用于肯定的證明。

“如果p，那么q”是常用的表達(dá)充分條件的自然語言語句形式。除此之外，還有其它形式，例如“只要p，就q”。依此，例14可以改寫為：

例17. 設(shè)x為正整數(shù)。只要x能被9整除，x就能被3整除。

評注. 描述3 將A 當(dāng)作B 的充分條件時，要求“A是發(fā)生B所必需的全部”，這里的“全部”的說法是有問題的。描述一、描述二未提及充分條件的數(shù)量；從上述的討論中知，充分條件的數(shù)量大于等于1。如果根據(jù)“全部”的說法，那么就需要將所有的充分條件合而為一，結(jié)果只有一個充分條件，產(chǎn)生矛盾。故要求“全部”既不符合客觀與實踐，也不符合描述1 和描述2，因為它們并不要求“全部”。依其行文風(fēng)格，試將描述3改寫如下：

描述3’. 每當(dāng)發(fā)生A時，必然出現(xiàn)發(fā)生B，A被說成是B的一個充分條件。

當(dāng)然，描述3 也是一種對充分條件概念的敘述，一種與主流敘述有差異的敘述。

1.2.2 充分必要條件

將必要條件與充分條件結(jié)合，就有充分必要條件。對它的描述如下：

如果p既是q的充分條件，又是q的必要條件，那么稱p是q的充分必要條件。

p與q要么同時存在，要么同時不存在，這是充分必要條件的基本特征。

人們往往用自然語言“當(dāng)且僅當(dāng)”表達(dá)充分必要條件。

例18. x是偶數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x能被2整除。

顯然，“x 是偶數(shù)”是“x 能被2 整除”的充分條件?，F(xiàn)設(shè)x 不是偶數(shù)，那么x 就不能被2 整除。故“x是偶數(shù)”又是“x能被2整除”的必要條件。

需要注意，符合q的充分條件p的數(shù)量也大于等于1。

例19. 一個三角形是等腰三角形，當(dāng)且僅當(dāng)它有兩條邊相等。

例20. 一個三角形是等腰三角形，當(dāng)且僅當(dāng)它有兩個內(nèi)角相等。

“當(dāng)且僅當(dāng)”是目前慣用的表達(dá)充分必要條件的自然語言語句形式。除此之外，還有其它形式，例如“如果而且只有p，就q”，“如果而且僅僅如果p，那么q”，等等。但因“當(dāng)且僅當(dāng)”朗朗上口，所以它們很少使用。

有之必然，無之必不然。這是對充分必要條件的一種描述。有之必然體現(xiàn)了充分條件；無之必不然體現(xiàn)了必要條件。然而，理解它們時需要注意：對事物的必要條件或充分條件的數(shù)量都是大于等于1。

2 邏輯條件的定義

為了避免歧義并達(dá)到一般性，本節(jié)將立足現(xiàn)代邏輯中的命題和蘊涵聯(lián)結(jié)詞，采用符號建立邏輯條件的定義。

2.1 命題概念簡介

我們首先簡單介紹現(xiàn)代邏輯中有關(guān)命題的概念。

命題是指能區(qū)分真假的陳述句。據(jù)此，一個命題或為真或為假，二者必居其一，且為惟一。這里的“真”與“假”稱作命題的真值。

疑問句（如“你好嗎？”）、祈使句（如“請進(jìn)！”）等都不是命題。含混不清的陳述句也不是命題。例如，陳述句“天氣太熱”就不是命題，因為該語句說不清何謂“太”熱，即熱的程度，其語義是模糊的。

我們能用一個字母表示命題。

例21. p：南京是一座城市。

例22. q：籃球是方的。

一般認(rèn)為，符合客觀現(xiàn)實的命題的真值為真，否則為假。真值為真的命題稱為真命題，真值為假的命題稱為假命題。所以，例21是真命題，例22是假命題。

這里的p和q都是原子命題，即不可再分的命題。通過聯(lián)結(jié)詞將原子命題聯(lián)結(jié)起來就構(gòu)成了復(fù)合命題。例如，?p，p →q，p ?q，等。這里的符號?是否定聯(lián)結(jié)詞，讀作“非”；符號→是蘊涵聯(lián)結(jié)詞，讀作“如果，那么”，故“p →q”讀作“如果p，那么q”；符號?是等值聯(lián)結(jié)詞，讀作“當(dāng)且僅當(dāng)”。有了復(fù)合命題，就能表示復(fù)雜的語句。例如，根據(jù)例21，復(fù)合命題?p表示：南京不是一座城市。

當(dāng)然，我們也可以用否定句表示命題。例如，

例23. p：辣椒不是蔬菜。

那么，?p就表示：辣椒不是不是蔬菜，即辣椒是蔬菜。這顯得別扭。

命題是現(xiàn)代邏輯的基本概念之一，它是以聯(lián)結(jié)詞進(jìn)行邏輯演算的基本對象。

注. a. 本小節(jié)中的“聯(lián)結(jié)詞”“原子命題”和“復(fù)合命題”均為現(xiàn)代邏輯中的基本概念，它們在以傳統(tǒng)邏輯為主要內(nèi)容的一些文獻(xiàn)中均未提及，例如文獻(xiàn)［2］、文獻(xiàn)［9］的第一章等。b. 從真值看，本小節(jié)中的復(fù)合命題“?p”等價于傳統(tǒng)邏輯中的“負(fù)判斷”［2］。；復(fù)合命題p →q 等價于傳統(tǒng)邏輯中的“假言判斷”［2］。c. 傳統(tǒng)邏輯將判斷分為性質(zhì)判斷、關(guān)系判斷等多種類型；現(xiàn)代邏輯強調(diào)以命題形式進(jìn)行推理及推理過程，只在應(yīng)用時涉及具體內(nèi)容。

2.2 基于蘊涵詞的條件定義

我們已用自然語言描述了必要條件、充分條件和充分必要條件。為了準(zhǔn)確地刻畫邏輯條件，下面用命題和蘊涵聯(lián)接詞進(jìn)行描述，并給出應(yīng)用示例。

定義1. 若p →q，則稱p是q的充分條件。

例24. 設(shè)p：x是動物，q：x有新陳代謝。那么p→q可以“翻譯”為：如果x是動物，x就會有新陳代謝。這里的“x 是動物”是“x 有新陳代謝”的充分條件。

例25. 試題：如果x能被11整除，那么8x能被11整除。請問，這是充分條件蘊涵表達(dá)式（傳統(tǒng)邏輯中的假言判斷），還是必要條件蘊涵表達(dá)式？

設(shè)p：x能被11整除；q：8x能被11整除，則題設(shè)可以“翻譯”為：p →q。根據(jù)定義1，“x 能被11 整除”是“8x能被11整除”的充分條件。

定義2. 若?p →?q，則稱p是q的必要條件。

例26. 已知化學(xué)中水的分子式為H2O，其中H是氫的原子符號，O是氧的原子符號。設(shè)p：該物質(zhì)含有氧；q：該物質(zhì)是水。則?p →?q表示：如果該物質(zhì)沒有氧，那么該物質(zhì)就不是水。此處的“該物質(zhì)有氧”是“該物質(zhì)是水”的必要條件。

例27. 試題：如果甲、乙兩物體之間沒有作用力，那么甲、乙兩物體之間就沒有反作用力。請問，這是充分條件蘊涵表達(dá)式，還是必要條件蘊涵表達(dá)式？

物理學(xué)中牛頓第三定律表示為F=-F′其中F為作用力，F(xiàn)′為反作用力。設(shè)p：甲、乙兩物體之間存在F；q：甲、乙兩物體之間存在F′，則題設(shè)可以“翻譯”為：?p →?q。根據(jù)定義2，“甲、乙兩物體之間有作用力”是“甲、乙兩物體之間有反作用力”的必要條件。

注. 為了講清楚如何應(yīng)用，例24 至例27 中用了“翻譯”一詞，并且是從符號到自然語言或從自然語言到符號的雙譯。翻譯法是現(xiàn)代邏輯（數(shù)理邏輯）教學(xué)中的常用方法。

定義2 中采用：?p →?q，這較直觀地表達(dá)了必要條件的“無之必不然”的特質(zhì)。當(dāng)然，也可以用q →p，但顯性不如前者。

定義3. 若p ?q，則稱p 是q 的充分必要條件。

例28. 設(shè)p：這個月少于30 天，q：這個月是二月。則p ?q表示：這個月少于30天，當(dāng)且僅當(dāng)這個月是二月。這里的“這個月少于30 天”是“這個月是二月”的充分必要條件。

上述三個定義均采用命題符號和蘊涵連接詞符號進(jìn)行刻畫，且條件均采用p，較好地實現(xiàn)了無歧義和一般性。

注. 這三個定義未用蘊涵式的前件和后件進(jìn)行描述，避免了易產(chǎn)生的誤讀。若采用前件和后件進(jìn)行條件的辨識，即前件是后件的條件，那么下面兩條表達(dá)式均可認(rèn)為是充分條件的蘊涵表達(dá)式：

p →q；

?p →?q.

然而，它們的真值表的不同已表明它們絕不會是同一種邏輯條件。因此，在應(yīng)用時，特別在學(xué)生應(yīng)試時，容易出現(xiàn)似是而非的結(jié)果。

3 簡單的討論

3.1 條件之間的關(guān)系

如表1 所示，我們根據(jù)真值表，討論條件之間的關(guān)系。

表1 充分條件、必要條件和充分必要條件中用到的聯(lián)結(jié)詞真值

從表1 中，我們首先注意到，?p →?q 與q →p的真值相同，故有

定義2′. 若q →p，則稱p是q的必要條件。

我們又注意到在p →q和q →p中，僅僅是字母符號的位置互換，而前者的p 是q 的充分條件，后者的p是q的必要條件。

根據(jù)定義1，我們注意到，在q →p 形式中，q是p的充分條件；根據(jù)定義2，在?q →?p形式中，q是p的必要條件。由于p →q和?q →?p的真值相同，q →p 與? p →? q 的真值相同，所以，有結(jié)論：

若p是q的必要條件，則q是p的充分條件；若p是q的充分條件，則q是p的必要條件。

該結(jié)論是必要條件與充分條件之間的基本關(guān)系，記作RN-S。

例29. 如果你不識字，那么你就不能閱讀《邏輯學(xué)》。

根據(jù)RN-S，該例中的“識字”是“能閱讀《邏輯學(xué)》”的必要條件；而“能閱讀《邏輯學(xué)》”是“識字”的充分條件。

我們還注意到，根據(jù)定義3，p ?q 中的p 是q的充分必要條件，依表1知，當(dāng)p、q同真或同假時，p ?q才為真，故p、q可以互換位置。記RSN表示充分必要條件p ?q中的p與q的基本關(guān)系，RSN的描述如下：

若p 是q 的充分必要條件，則q 也是p 的充分必要條件。

例30. 已知一天的最高氣溫達(dá)到或超過35℃就是高溫天氣。設(shè)p：今天是高溫天氣，q：今天最高氣溫不低于35℃。則p ?q表示：今天是高溫天氣，當(dāng)且僅當(dāng)今天最高氣溫不低于35℃；而q ?p表示：今天最高氣溫不低于35℃，當(dāng)且僅當(dāng)今天是高溫天氣。

注. 充分必要條件中命題之間的基本關(guān)系RSN不同于必要條件與充分條件之間的基本關(guān)系RN-S，應(yīng)當(dāng)仔細(xì)辨識。

3.2 應(yīng)用中建立條件的基本原則

（1）使用命題作為條件。定義1、定義2和定義3 是以p、q 和蘊涵聯(lián)結(jié)詞→描述邏輯條件的。故作為條件的p是命題。如果應(yīng)用中沒使用命題，那么會出現(xiàn)難以預(yù)料的結(jié)果。

例31. 如果機(jī)動車行駛太快，那么駕駛者就違反了道路安全法。

這是充分條件的具體應(yīng)用。但該例中的“太快”是模糊的，這里的太快是指每小時50公里還是每小時60 公里呢？還是其它？所以無法判斷“機(jī)動車行駛太快”的真假，故其不是命題。若以此作為交通執(zhí)法的依據(jù)，則給執(zhí)法人員帶來了不便，也會出現(xiàn)執(zhí)法的隨意性。

根據(jù)《中華人民共和國道路安全法實施條例》，對具有不同特征的城市道路和公路，都有明確的機(jī)動車限速規(guī)定，例如，同向只有一條機(jī)動車道的道路，城市道路的最高行駛速度為每小時50公里，公路為每小時40 公里。依此，改寫例30如下：

例31. 如果機(jī)動車行駛超過限速，那么駕駛者就違反了道路安全法。

（2）條件盡量不使用負(fù)命題。文獻(xiàn)［1］在講述定義的規(guī)則時指出：“定義項，除非必要，不應(yīng)包括負(fù)概念”，這里的負(fù)概念是指不具有某種屬性的事物。在擬定條件時，也應(yīng)遵循這條規(guī)則，盡量不使用真值為假的命題（特別是在設(shè)計試題時），以避免誤判。

例32. 試題：“如果不下雨，那么我不會打傘?！闭垎?，這是充分條件蘊涵表達(dá)式，還是必要條件蘊涵表達(dá)式？

在沒有明確指定條件是什么、或未理解本文定義的情形下，該題往往會有不同的答案。分析如下：如果將“不下雨”當(dāng)作條件，那么根據(jù)定義1，它就是“不會打傘”的充分條件；如果將“下雨”當(dāng)作條件（正命題），那么根據(jù)定義2，它就是“打傘””的必要條件。

根據(jù)本文引用的描述1 至描述5，以及本文的描述和定義，必要條件假言判斷是正確答案，不贅述。

（3）蘊含式中的p和q必須符合客觀現(xiàn)實或已有的理論。

例33. 設(shè)p：x 大于6，q：x 的絕對值小于0。充分條件p →q的自然語言表達(dá)如下：如果x大于6，那么x的絕對值小于0。

顯然，在“x大于6”的情形下，“x的絕對值小于0”不符合“絕對值”的概念。故該例是荒唐的陳述，應(yīng)力求避免。

（4）應(yīng)用中的p和q必須有關(guān)聯(lián)。為了達(dá)到一般性和無歧義，本文中的定義都采用了符號p 和q。在應(yīng)用時，只要是能辨識真假的陳述句都能替代它們。然而，在邏輯條件的應(yīng)用中，p和q必須有關(guān)聯(lián)，否則會出現(xiàn)不該發(fā)生的怪論。

例34. 設(shè)p：今天天晴，q：煤是黑的。那么充分條件p →q的自然語言表達(dá)如下：

a. 如果今天天晴，那么煤是黑的。

必要條件?p →[?]q的自然語言表達(dá)如下：

b. 如果今天不是天晴，那么煤不是黑的。

眾所周知，黑色是煤的自然屬性，天晴與其沒有任何聯(lián)系。

再看充分必要條件p ?q的語言表達(dá)：

c. 今天天晴，當(dāng)且僅當(dāng)煤是黑的。

這更令人啼笑皆非。

上例的怪論均由p與q之間缺少關(guān)聯(lián)而出現(xiàn)，這種情形應(yīng)力求避免。

3.3 其他

（1）再論充分必要條件。作為表達(dá)充分必要條件的自然語言語句形式，“當(dāng)且僅當(dāng)”具有簡明的特征。然而，有些情形下，充分必要條件是非顯性的出現(xiàn)，這就需要作全面地分析。

例35. 如果她是母親，那么她就有子女。

該例是應(yīng)用充分條件的自然語言語句，其中“母親”是“有子女”的條件。

例36. 如果她不是母親，那么她就沒有子女。

該例顯然是應(yīng)用必要條件的語句，其中“母親”是“有子女”的條件。

例35 和例36 中的“有子女”的條件都是“母親”，所以這兩個例均是隱性的充分必要條件表達(dá)語句。

（2）非邏輯條件。如前所述，本文將必要條件、充分條件和充分必要條件稱作邏輯條件。除此之外，在自然語言表達(dá)中還有其它類型的條件。

例37. 假如我是你，那么我正在潛水。

“我是你”是“我正在潛水”的條件，但它與現(xiàn)在的事實矛盾，即與“我不是你”相反；另外，從語義看，“我正在潛水”也不符合事實。這種表達(dá)屬于英語中的虛擬語氣。

例38. 如果他不太高，那么他就不能當(dāng)籃球運動員。

該例中的“不太高”具有模糊性，故不是本文所討論的邏輯條件。這類條件應(yīng)屬模糊條件，它們在模糊數(shù)學(xué)中有詳盡的敘述。

例39. 欲窮千里目，更上一層樓。

該例出自唐代詩人王之渙的《登鸛雀樓》，這是一首千古傳誦膾炙人口的詩。詩句中“欲窮千里目”是“更上一層樓”的目的；“更上一層樓”是“欲窮千里目”的條件。詩的前兩句是“白日依山盡，黃河入海流。”可見，詩人將奮發(fā)進(jìn)取、積極探索的精神交融于壯闊的自然景觀，從多維視角、藝術(shù)地表達(dá)了易被忽略的人生哲理。

例40. 假如給我三天光明，那么我最希望看到在我的黑暗歲月里最令我珍惜的東西。

該例的語句摘譯自世界著名的盲人女作家Helen Keller 的名篇《Three Days to See》。語句中“給我三天光明”的條件和作者“最希望看到”的東西是一種文學(xué)的敘事架構(gòu)。Helen 身殘志堅，致力殘疾人事業(yè)，是世界著名的慈善家。在人生最初的十九個月時，疾病使Helen 失明失聰，所以一個曾經(jīng)五官健全的但被剝奪了天賦官能的人更會珍惜所失去的。正因這樣，Helen 才能將自己的愛心、體驗、聯(lián)想和幻想集成于文學(xué)創(chuàng)作。

上面列舉了虛擬條件、模糊條件和文學(xué)藝術(shù)中所展現(xiàn)的條件。當(dāng)然，如果淡化命題概念，它們也可能成為充分條件或必要條件。

有一類條件語句——不符合客觀現(xiàn)實或已有的理論的語句——必須避免，如例33。否則會引出謬誤。下面再舉一例。

例41. 如果x是素數(shù)，那么x是奇數(shù)。

該例中的“x是素數(shù)”貌似是“x是奇數(shù)”的充分條件。然而，根據(jù)素數(shù)的定義，2是素數(shù)，但它是偶數(shù)。故此例是一種違背科學(xué)的預(yù)設(shè)謬誤。

4 結(jié)語

采用現(xiàn)代邏輯建立邏輯條件的定義，力求準(zhǔn)確描述必要條件、充分條件和充分必要條件的概念是本文的寫作目的。準(zhǔn)確理解概念是教學(xué)中能講清楚的基本要求，也是使學(xué)生能聽明白的重要前提。在教學(xué)過程中，用合適的應(yīng)用示例分析邏輯條件的自然語言表達(dá)，對學(xué)生深入理解概念至關(guān)重要。故本文討論了表達(dá)邏輯條件的自然語言語句形式。與此同時，本文也評判了一些已存在的表述，以期能盡量避免歧義，不出現(xiàn)或少出現(xiàn)概念混淆的謬誤。

金岳霖［2］的補記指出：“自然語言所說的充分條件、必要條件缺少嚴(yán)格的定義?！北疚牟捎梅枌λ鼈兗俺浞直匾獥l件進(jìn)行定義是一種“補缺”的努力，以期有益于邏輯學(xué)的理論研究和實際應(yīng)用。