馮有勝

【摘 要】 ?函數(shù)是一類比較特殊的數(shù)學(xué)知識，不僅是一個重要的知識點，幾乎貫穿于整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)，還是一種常見的數(shù)學(xué)思想，在解題中也有著廣泛的運(yùn)用空間.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師除傳授給學(xué)生一些常用的解題方法，還要指導(dǎo)他們學(xué)會有效應(yīng)用函數(shù)思想，使其將所學(xué)知識轉(zhuǎn)化成一種能力，慢慢形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維與良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).本文針對函數(shù)思想如何在高中數(shù)學(xué)解題中有效應(yīng)用作分析與探討，并分享部分解題實例.

【關(guān)鍵詞】 ?函數(shù)思想;高中數(shù)學(xué);解題

函數(shù)思想作為解決數(shù)學(xué)試題的一種常用思維策略，經(jīng)過長時間的研究與探索發(fā)現(xiàn)運(yùn)用這種思維策略處理問題時有著一個共同特點，那就是運(yùn)用定量與變量間的關(guān)系.函數(shù)描述的是自然界中量之間的依存關(guān)系，反映的是一個事物隨著另外一個事物發(fā)生變化的規(guī)律與聯(lián)系.高中數(shù)學(xué)教師在平常的解題訓(xùn)練中應(yīng)指引學(xué)生有效應(yīng)用函數(shù)思想，使其從已知信息中提煉出數(shù)學(xué)語言，構(gòu)造出函數(shù)關(guān)系，再讓他們結(jié)合函數(shù)關(guān)系把問題解決掉，最終提高解題效率.

1 有效應(yīng)用函數(shù)思想解決集合類試題

集合屬于高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的基礎(chǔ)性知識，是學(xué)生步入高中以后最先接觸到的一個知識點，還是他們學(xué)習(xí)函數(shù)知識的基礎(chǔ).從集合與函數(shù)之間的關(guān)系來看，函數(shù)能看成兩個實數(shù)集合之間的映射，也就是自變量和函數(shù)值這兩個集合，且每個自變量都有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng).這充分說明解決集合問題時往往需要函數(shù)思想提供助力，高中數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生有效應(yīng)用函數(shù)思想解決集合類試題，使其快速找到準(zhǔn)確的解題思路，提高做題的正確率 [1] .

例1 ??已知一個集合A={x|－4x+3＜0}，另外一個集合B={x|x 2－2x+m≤0，且x 2－2nx+5≤0}，假如AB，請求出實數(shù)m和n的取值范圍分別是什么？

解析 ??因為題目出現(xiàn)的集合及兩個集合之間的關(guān)系，還涉及不等式知識，假如學(xué)生依然使用常規(guī)思路來解題，不僅過程比較煩瑣與復(fù)雜，還極易導(dǎo)致錯誤現(xiàn)象的出現(xiàn)，這時教師可以提醒他們使用函數(shù)思想，使其找準(zhǔn)題目中的變量關(guān)系及數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，從而形成正確的解題思路，且簡化解題流程.

具體解題方式如下所示：

先將集合A進(jìn)行化簡，能夠得到

A= x|x＞ 3 4 ?.

設(shè)f（x）=x 2－2x+m，g（x）=x 2－2nx+5，

則B1={x|x 2－2x+m≤0}，

B2={x|x 2－2nx+5≤0}，B=B1∩B2，

結(jié)合題目中給出的AB這一條件，能夠得出AB1且AB2，也就是說區(qū)間（1，3）應(yīng)當(dāng)分別被集合B1與B2所對應(yīng)的區(qū)間相包含，結(jié)合以上現(xiàn)象能夠畫出兩個函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，如圖1所示，

由此能夠得到f（1）≤0，f（3）≤0，且g（1）≤0，g（3）≤0，

然后把對應(yīng)的值代入到題目中的各個式子當(dāng)中，最終通過對不等式組的求解得出的m和n取值范圍，把題目難度降低.

2 有效運(yùn)用函數(shù)思想解決方程類試題

方程和函數(shù)之間有著十分緊密的關(guān)系，高中生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)方程與函數(shù)的相關(guān)知識，不過對于兩者之間的聯(lián)系則了解得不多，學(xué)到的內(nèi)容比較淺顯，但是在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，比較重視方程與函數(shù)的聯(lián)系，甚至專門安排一定的章節(jié)讓他們深入學(xué)習(xí)，這為函數(shù)思想在解答方程類試題中的應(yīng)用做鋪墊.對此，高中數(shù)學(xué)教師在解題訓(xùn)練中可以引領(lǐng)學(xué)生有效運(yùn)用函數(shù)思想去解決方程類試題，使其能夠結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)或者圖象輕松處理問題 [2] .

例2 ??（1）已知方程x 6－6x 4－x 3+12x 2－8=0，求該方程的實數(shù)根；（2）已知方程 x =ax+1存在一個負(fù)根，而且不存在正根，請求出a的取值范圍.

解析 ??針對（1）中的方程是一個高次方程，（2）中的方程則是一個含有絕對值的方程，學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)這是兩個較為特殊的方程，特別遇到高次方程時，由于沒有學(xué)習(xí)相關(guān)解法，他們通常感到不知所措，不知道從何處著手，不知不覺地產(chǎn)生懼怕心理，而含有絕對值的方程則往往涉及分類討論，難度同樣不小，但是有效運(yùn)用函數(shù)思想能夠起到意想不到的效果.

具體解題方式如下所示：

（1）把原方程轉(zhuǎn)變?yōu)閤 6－6x 4+12x 2－8=x 3，

據(jù)此得到（x 2－2） ?3=x 3，

那么方程f（x 2－2）=f（x），

因為f（x）在 R 上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以x 2－2=x，也就是x 2－2－x=0，

由此得到x1=－1，x2=2，

即為原方程的兩個實數(shù)根分別是－1和2；

（2）將a作為因變量，x作為自變量，對方程進(jìn)轉(zhuǎn)化，

結(jié)合原方程能夠得到

a= ?x －1 x ＝ ?1－ 1 x ，x>0，－1－ 1 x ，x<0.

將它們的圖象畫出來，如圖2所示，結(jié)合圖象，因為方程不存在正根，

可以直接得出a≥-1.

3 有效采用函數(shù)思想解決不等式試題

雖然不等式與函數(shù)是兩個性質(zhì)迥異的知識，不過在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，兩者之間的關(guān)系較為密切，教材中還編排有“二次函數(shù)與不等式”這一內(nèi)容，這是為應(yīng)用函數(shù)思想解答不等式問題做的理論準(zhǔn)備，主要揭示的是不等式性質(zhì)反映出的函數(shù)單調(diào)性.這就要求高中數(shù)學(xué)教師在解題訓(xùn)練中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有效采用函數(shù)思想分析與解決不等式試題，使其進(jìn)一步理解不等式的本質(zhì)特征，讓他們借助函數(shù)思想解答不等式中的最值問題，以及恒成立問題等 [3] .

例3 ??已知對于任意x∈［-1，1］，f（x）=x 2+（a－4）x+4－2a的值大于0恒成立，請問a的取值范圍是什么？

解析 ??教師可直接提醒學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想展開審題，把原題內(nèi)容描述為“在某個閉區(qū)間中有參數(shù)的二次函數(shù)大于0恒成立”的問題，使其結(jié)合分類討論思想將x∈[－1，1]根據(jù)對稱軸x= 4－a 2 進(jìn)行分類討論，具體分為1＜ 4－a 2 ，－1≤ 4－a 2 ≤1， 4－a 2 ＜－1三大段，逐個討論每段在函數(shù)的遞減、遞增區(qū)間上f（x）值的情況，分別求出的a取值范圍，綜合起來能夠得到的最終取值范圍是a＜1.

具體解題方式如下：

對于任意x∈［-1，1］，

f（x）=x 2+（a－4）x+4－2a的值大于0，

則x 2+（a－4）x+4－2a＞0，

所以a（x－2）＞－x 2+4x－4，

因為x∈［-1，1］，

則a＜ －（x－2） ?2 x－2 =2－x在x∈［-1，1］上恒成立，

即a＜（2－x） min ?，

當(dāng)x=1時，（2－x） ?min ?=1，

所以a<1.

在這一解題過程中，通過有效采用函數(shù)思想，學(xué)生進(jìn)行解題時不用考慮Δ＜0的情況，既可以保證各種情況都沒有被遺漏掉，還可以提升他們解題的準(zhǔn)確度，使其做起題來又快又準(zhǔn)確.

4 有效使用函數(shù)思想解決數(shù)列類試題

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心內(nèi)容之一，也是高考數(shù)學(xué)中的必考點，高中生主要學(xué)習(xí)數(shù)列的概念，以及等比數(shù)列和等差數(shù)列相關(guān)知識，從實質(zhì)上來說，數(shù)列為函數(shù)中的一個特殊產(chǎn)物，即當(dāng)某個函數(shù)的定義域為正整數(shù)集時，這個函數(shù)就是一個數(shù)列.在高中數(shù)學(xué)平常解題訓(xùn)練中，當(dāng)遇到一些數(shù)列類試題時，尤其要求出最值時，教師應(yīng)當(dāng)提示學(xué)生有效使用函數(shù)思想，使其快速找到清晰、準(zhǔn)確的解題思想，適當(dāng)減少運(yùn)算步驟，讓他們輕松解決數(shù)列題 [4，5] .

例4 ??已知函數(shù)f（x）=3x 2+bx+1是一個偶函數(shù)，g（x）=5x+c是一個奇函數(shù)，正向數(shù)列an= ?2 3 ???n-1 ，n∈ N ??* ，假如數(shù)列bn=2f（an）－g（an+1 ），那么在數(shù)列{bn}中哪個項的值最大和最小？

解析 ??學(xué)生解答本題時如果純粹使用數(shù)列方面的知識，雖然也能夠求得最終結(jié)果，但是計算起來較為繁瑣，步驟較多，還容易出現(xiàn)錯誤，影響結(jié)果的準(zhǔn)確度，這時教師可提示學(xué)生有效使用函數(shù)思想，使其找到題目中的變量，以及量與量之間的對應(yīng)值，據(jù)此找到簡便的解題方法，提高解題的正確率.

具體解題方式如下所示：

結(jié)合題干信息能夠得到f（x）=3x 2+1，g（x）=5x，

那么bn=6a 2n－5an+1 ，n∈ N ??* ，

代入相關(guān)數(shù)值后得到bn=6 an－ 5 18 ???2+ 83 54 ，

因為an= ?2 3 ??n-1 是一個逐項變小的數(shù)列，基于函數(shù)思想來看就是一個減函數(shù)，

所以當(dāng)n＝1，2，3，4時，an> 5 18 ；

當(dāng)n≥5，n∈ N ??* 時，an< 5 18 ；

當(dāng)n=4時，bn= 274 243 ，

當(dāng)n=5時，bn= 197 125 ，

由此表明b4

又因為an= ?2 3 ???n-1 ∈ 0，1 ，

則an=1，即為當(dāng)n=1時，數(shù)列{bn}的最大值是b1= 14 3 .

綜合起來，在數(shù)列{bn}中，第4項的值最小，是 274 243 ，第1項的值最大，是 14 3 .

在解答上述題目時，學(xué)生能夠切實體會到數(shù)列是一種比較特殊的函數(shù)，特殊之處在于自變量的取值范圍為自然數(shù)，而且數(shù)列bn可以看成是二次函數(shù)y=6 x- 5 18 ???2+ 83 54 ，由此表明求數(shù)列bn中的最值時可以結(jié)合求二次函數(shù)中的最值方法，讓他們寬松、準(zhǔn)確地求得結(jié)果.

5 結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)解題實踐中，由于考查到的知識難度、深度同初中數(shù)學(xué)相比均有所提升，致使題目難度也在增加，教師要給予格外關(guān)注與認(rèn)真對待，帶領(lǐng)學(xué)生有效應(yīng)用函數(shù)思想進(jìn)行解題，將一些常見的數(shù)學(xué)試題轉(zhuǎn)變成函數(shù)問題，以此拓展他們的解題思想，突破以往思考問題的方式，把復(fù)雜問題變得簡單化，使其快速找到解題的突破口，最終快速求出準(zhǔn)確結(jié)果.

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