王學(xué)會(huì)

【摘 要】 ?不等式的證明有較強(qiáng)的綜合性，方法靈活，對(duì)學(xué)生的思維能力有較高的要求，一直是教學(xué)難點(diǎn).對(duì)不等式的證明問題進(jìn)行多解探究是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好素材.

【關(guān)鍵詞】 ?不等式;函數(shù);換元;消元

試題呈現(xiàn) ??已知正數(shù)a，b滿足a+2b=4，求證： 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 .

分析 ??這個(gè)問題可以將不等式的左邊看成一個(gè)二元函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，也可以從不等式的角度，用“作差法”證明.

解法1 ?????配湊，“1”值代換

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 2b+1 a+1 + a+1 2b+1 + 1 a+1

+ 1 2b+1 ??，

將條件a+2b=4變形為 a+1 + 2b+1 =6，

1 a+1 + 1 2b+1

= 1 6 ??1 a+1 + 1 2b+1 ???a+1 + 2b+1

= 1 6 ?2+ a+1 2b+1 + 2b+1 a+1 ?，

因?yàn)?a+1 2b+1 + 2b+1 a+1 ≥2 ???a+1 2b+1 · 2b+1 a+1

=2，

當(dāng)且僅當(dāng) a+1 2b+1 = 2b+1 a+1 時(shí)取等號(hào)，

又因?yàn)閍+2b=4，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=1時(shí)取等號(hào).

所以 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 2b+1 a+1 + a+1 2b+1 + 1 a+1

+ 1 2b+1 ≥2+ 1 6 × 2+2 = 8 3 .

評(píng)析 ??上述方法從要證的結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過巧妙配湊，將已知條件a+2b=4和結(jié)論聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值問題.

解法2 利用基本不等式

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥2 ????2b+2 ?a+2 ??a+1 ?2b+1

=2 ???2ab+4b+2a+4 2ab+a+2b+1

=2 ?2ab+12 2ab+5 ?=2 1+ 7 2ab+5 ?，

當(dāng)且僅當(dāng) 2b+2 a+1 = a+2 2b+1 時(shí)取等號(hào)，

又因?yàn)閍+2b=4，

所以當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=1時(shí)取等號(hào)，

因?yàn)閍+2b=4≥2 ??2ab ，

所以ab≤2，（當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，

即a=2，b=1時(shí)取等號(hào)），

所以 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥2 ??1+ 7 2ab+5

≥2 ?1+ 7 2×2+5 ??= 8 3 ，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 成立.

評(píng)析 ??上述解法兩次運(yùn)用基本不等式求最值，要特別注意兩點(diǎn)：一要滿足不等式性質(zhì)的傳遞性，二要使兩次等號(hào)成立的條件相同.

解法3 換元法

設(shè)2b+1=x x>1 ，a+1=y y>1 ，

由條件a+2b=4，得x+y=6，

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = x+1 y + y+1 x

= x y + y x + 1 y + 1 x ，

因?yàn)?x y + y x ≥2 ???x y · y x ?=2，

當(dāng)且僅當(dāng) x y = y x 即x=y時(shí)取等號(hào)，

即2b+1=a+1，即a=2，b=1時(shí)取等號(hào).

又 1 x + 1 y = 1 6 ??1 x + 1 y ??x+y

= 1 6 ?2+ x y + y x ?≥ 2 3 ，

所以 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = x y + y x + 1 x + 1 y

≥2+ 2 3 = 8 3 ，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 成立.

評(píng)析 ??上述通過換元法將復(fù)雜的式子簡(jiǎn)單化，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將問題明朗化，從而化難為易.

解法4 消元法

由條件a+2b=4得2b=4－a，

由b>0得0

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 6－a a+1 + a+2 5－a

= 2a 2－8a+32 ?a+1 ?5－a

= －2 －a 2+4a+5 +42 －a 2+4a+5

=－2+ 42 －a 2+4a+5 ，

對(duì)于－a 2+4a+5=－ a－2 ??2+9，

當(dāng)a=2時(shí)取得最大值9，

－2+ 42 －a 2+4a+5 取得最小值 8 3 ，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 .

評(píng)析 ??此法通過消元將雙變量函數(shù)轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)，這是求函數(shù)最值的通法，也是學(xué)生最易掌握的方法.

解法5 作差法

由題意可得

2b=4－a，其中0

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 6－a a+1 + a+2 5－a

= 2a 2－8a+32 ?a+1 ?5－a ?，

因?yàn)?2a 2－8a+32 ?a+1 ?5－a ?－ 8 3 = 14 a ?2 -4a+4 ??a+1 ?5-a

= 14 a-2 ?????2 ??a+1 ?5-a ?≥0，

所以 2a ?2 -8a+32 -a ?2 +4a+5 ≥ 8 3 成立，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 成立.

評(píng)析 ??此法是從不等式的角度來考慮，利用“作差”比較法，方法非常簡(jiǎn)單易行，豁然開朗.

結(jié)語(yǔ)

“一題多解”是對(duì)同一個(gè)問題從不同角度、不同方位、不同層次進(jìn)行思考，是培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度、拓寬解題思路、開闊學(xué)生視野、將知識(shí)系統(tǒng)化的重要路徑.不等式、方程、函數(shù)具有密不可分的關(guān)系，是數(shù)學(xué)的“三胞胎”，它們之間常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性、綜合性及創(chuàng)造能力的重要載體.

“一題一世界，一解一乾坤”，通過一題多解，“百花齊放”，另辟蹊徑的解法，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，將大大提高數(shù)學(xué)解題質(zhì)量和復(fù)習(xí)效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和自信心，學(xué)生能更全面地看問題，更深入地理解問題，消除思維定式，避免機(jī)械刷題、機(jī)械化的訓(xùn)練，減少套路.一題多解能用盡量少的題，達(dá)到較好的訓(xùn)練效果，是擺脫題海戰(zhàn)術(shù)的重要路徑，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效的目標(biāo).

教師在教學(xué)中還要善于提出具有挑戰(zhàn)性的問題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，鼓勵(lì)學(xué)生多角度地探求問題，在比較、分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、討論、反思中不斷優(yōu)化解題方法，提升解題能力，并引導(dǎo)學(xué)生溝通不同解法之間的相互聯(lián)系，洞察問題的深層結(jié)構(gòu)，形成優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu).將零碎的知識(shí)整體化，促進(jìn)知識(shí)塊或問題的整體認(rèn)知.探尋規(guī)律，揭示本質(zhì)，深度思考問題中所蘊(yùn)含的思想方法，總結(jié)通性通法，更好地發(fā)展學(xué)生的“四基”“四能”，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).