楊潔 郭繁華

【摘 要】 ?變式設(shè)計(jì)有兩種策略，一種是概念性變式，另一種是過(guò)程性變式.本文提煉關(guān)于概念性變式的方法，即創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境和提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題.同時(shí)也提煉過(guò)程性變式的7種方法，并通過(guò)案例來(lái)闡明.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；變式;課堂教學(xué)

1 什么是教材變式

本文中的“教材變式”是指對(duì)人教 A 版普通高中數(shù)學(xué)教科書中的基本概念、典型例題、習(xí)題、練習(xí)等進(jìn)行變式，通過(guò)變式揭示知識(shí)的本質(zhì)及知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，展示知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，促進(jìn)知識(shí)的遷移 [1] ，通過(guò)變式引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得過(guò)程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)對(duì)象的研究過(guò)程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)對(duì)象的應(yīng)用過(guò)程，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 教材變式設(shè)計(jì)的方法

顧泠沅與鮑建生等總結(jié)了數(shù)學(xué)變式教學(xué)的基本內(nèi)涵，提出變式教學(xué)實(shí)施的兩種策略：概念性變式和過(guò)程性變式教學(xué)策略.本文針對(duì)這兩種變式教學(xué)提煉了一些方法如下.

2.1 關(guān)于概念性變式的方法

概念性變式主要針對(duì)概念、公式、定理、性質(zhì)等的發(fā)生發(fā)展、形成過(guò)程、來(lái)龍去脈以及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系等創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，通過(guò)內(nèi)化形成良好的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈以及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，總結(jié)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.1.1 創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境

（1）創(chuàng)設(shè)合適的生活情境.生活情境也叫現(xiàn)實(shí)情境，變式設(shè)計(jì)中創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉且與教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系的生活情境，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使教學(xué)內(nèi)容更具直觀性，幫助學(xué)生完成抽象過(guò)程，并更好地理解教學(xué)內(nèi)容.

（2）創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)情境.根據(jù)教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維活動(dòng)全過(guò)程.

（3）創(chuàng)設(shè)合適的科學(xué)情境.聯(lián)系數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和科學(xué)相關(guān)問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)合適的科學(xué)情境，帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)科學(xué)世界，引發(fā)學(xué)生思考，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的重要性.

2.1.2 提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題

（1）提出恰當(dāng)?shù)娜の缎詥?wèn)題.通過(guò)將數(shù)學(xué)問(wèn)題情境化，使學(xué)生平時(shí)接觸的生活問(wèn)題成為問(wèn)題背景，通過(guò)學(xué)生熟悉的情境，提起學(xué)生更大的興趣去思考與探究，從而激發(fā)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和意識(shí).

（2）提出恰當(dāng)?shù)膽夷钚詥?wèn)題.在教學(xué)重點(diǎn)或難點(diǎn)處設(shè)置懸念，引導(dǎo)學(xué)生探索，能較好地突破難于理解或難于掌握的內(nèi)容.

（3）提出恰當(dāng)?shù)拈_放性問(wèn)題.開放性問(wèn)題的設(shè)置有助于引導(dǎo)學(xué)生積極思考，通過(guò)從多個(gè)維度、多個(gè)角度提出對(duì)問(wèn)題的思考，有助于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和解決問(wèn)題的能力.

案例 ??在“利用遞推公式求通項(xiàng)”新課教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)如下.

問(wèn)題 ??已知數(shù)列 an 的首項(xiàng)a1=2，且an+1 －an=2（n∈ N ??*），求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式.

變式 ??已知數(shù)列 an 的首項(xiàng)a1=2，且an+1 －an= （n∈ N ??* ），求滿足上述要求的數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式.

請(qǐng)同學(xué)們自由想象，橫線上我們可以填有關(guān)n的參數(shù)式嗎？將你的想法寫在橫線上并把解題過(guò)程寫出來(lái).這種發(fā)散型的問(wèn)題，可以從多個(gè)角度補(bǔ)充條件，帶出新問(wèn)題（累加法），引導(dǎo)學(xué)生積極探索解決出路，有很強(qiáng)的導(dǎo)向性、啟發(fā)性，可以讓學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知中尋找規(guī)律得出新知解法，即在等差數(shù)列的求和公式、等比數(shù)列的求和公式的復(fù)習(xí)中，進(jìn)一步加強(qiáng)知識(shí)體系的理解與構(gòu)建.

（4）提出恰當(dāng)?shù)南葳逍詥?wèn)題.

案例 ??在“利用遞推公式求通項(xiàng)”新課教學(xué)中，為了進(jìn)一步梳理學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，特別在利用an與Sn的關(guān)系求an的表達(dá)式時(shí)要注意n的取值問(wèn)題，針對(duì)此類問(wèn)題特意利用變式資源思維，更換條件、設(shè)置陷阱、突出問(wèn)題、鑄牢易錯(cuò)點(diǎn).

變式 ??已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=3，且Sn+1 －2Sn=2，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式.教學(xué)時(shí)，根據(jù)學(xué)生當(dāng)堂練習(xí)的反饋，有意識(shí)地展示下面的錯(cuò)誤情況.

解 ??因?yàn)镾n+1 －2Sn=2，

故Sn－2Sn－1 =2，

故an+1 －2an=0，

即an+1 =2an，

所以 an 為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為3，公比為2，

從而an=3·2 n－1 （n∈ N ??* ）.

以上過(guò)程看上去好像沒(méi)有任何問(wèn)題，嚴(yán)格按基本方法來(lái)操作，思路清晰，但仔細(xì)審查你會(huì)發(fā)現(xiàn)在n的范圍的處理上，得到an+1 =2an沒(méi)有標(biāo)注n的取值范圍，應(yīng)該得：an+1 =2an（n≥2）.只能說(shuō)從第2項(xiàng)開始是等比數(shù)列，要說(shuō)從第1項(xiàng)開始是等比數(shù)列還得驗(yàn)證，因此得加上：而S2－2S1=2，故a1+a2－2a1=2，故a2=5，則 a2 a1 ≠2，所以 an 從第2項(xiàng)開始是等比數(shù)列，且a1=3，a2=5，公比為2，從而an= ?3（n=1），5·2 n－2 （n≥2）. ?教師通過(guò)設(shè)疑，引起學(xué)生的思考與討論，在討論中自覺(jué)地辨析正誤，有利于學(xué)生自主獲取知識(shí)，取得學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，從而提高學(xué)生的發(fā)散思維能力.

2.2 關(guān)于過(guò)程性變式的方法

過(guò)程性變式主要是對(duì)教材中的例題、練習(xí)或習(xí)題進(jìn)行變式，讓學(xué)生親身經(jīng)歷變式的過(guò)程或解決變式問(wèn)題（解題活動(dòng)）的過(guò)程，以及經(jīng)歷反思解題活動(dòng)的過(guò)程，通過(guò)自身內(nèi)化形成良好的數(shù)學(xué)體驗(yàn).從而加強(qiáng)對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，拓展學(xué)生思維的廣度，促進(jìn)學(xué)生思維的深度，提高學(xué)生思維的靈活性，以達(dá)到對(duì)教學(xué)內(nèi)容的鞏固、檢測(cè)、提升、拓展或遷移的目的.

2.2.1 交換題目的條件和結(jié)論

案例 ??在教學(xué)“直線與平面平行”時(shí)，處理137頁(yè)典例2求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線平行另外兩邊的平面.作如下變式：

變式1 ??四棱錐A-DBCE中，O為底面正方形DBCE對(duì)角線的交點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn).求證：AB∥平 面DCF.

變式2 ??已知空間四邊形ABCD中，平面BCD與平面ABD相交于直線BD，E、F分別是AB、AD上的點(diǎn)，且EF∥平面BCD.求證：EF∥BD．

設(shè)計(jì)意圖 ??由變式1探求常規(guī)處理方法.而通過(guò)對(duì)典例條件與結(jié)論的交換引入變式2，引導(dǎo)學(xué)生思考、加深印象（強(qiáng)化差異）、探求變化，從而為新知做準(zhǔn)備.

2.2.2 改變條件，問(wèn)題不變

案例 ??在教學(xué)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”習(xí)題課時(shí)，處理40頁(yè)練習(xí)題中第4題，作如下變式.

變式1 ??已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn，若2an－1 =an（n≥2），a1=－1，求Sn.

變式2 ??已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn，若2Sn－1 =Sn+1（n≥2），a1=－1，求Sn.

設(shè)計(jì)意圖 ??變式1到變式2的設(shè)置難度逐步加強(qiáng)，層層推進(jìn)，通過(guò)提供不同的遞推關(guān)系得到不同的變式，繼而梳理出一般的方法.

2.2.3 條件不變，改變問(wèn)題

案例 ??在教學(xué)“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”時(shí)，處理例題環(huán)節(jié)中，設(shè)置如下變式.

問(wèn)題 ??已知 tan α=2，求 ?tan α+1 ?tan α-1 .

變式1 ??已知 tan α=2，求 ?sin α-4 cos α 5 sin α+2 cos α .

變式2 ??已知 tan α=2，求5 sin ??2α+2 sin α cos α.

設(shè)置意圖 ??變式1到變式2讓學(xué)生經(jīng)歷了由易到難，由特殊到一般的解題過(guò)程，并通過(guò)對(duì)比不同的解題方法，歸納總結(jié)出最簡(jiǎn)解法，形成解題經(jīng)驗(yàn).

2.2.4 改變條件，改變問(wèn)題，本質(zhì)不變

案例 ??在教學(xué)“基本不等式”時(shí)，對(duì)基本不等式求最大、最小值，選擇教材例題2進(jìn)行如下變式.

變式1 ??當(dāng)x取什么值時(shí)，x 2+ 1 x 2 取得最小值？最小值是多少？

變式2 ??已知x>－1 ，

求函數(shù)f（x）= x 2－3x+1 x+1 的值域.

設(shè)計(jì)意圖 ??變換角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，揭示問(wèn)題本質(zhì)，加強(qiáng)運(yùn)用并鞏固公式.

2.2.5 增加遞進(jìn)性問(wèn)題

增加遞進(jìn)性問(wèn)題，設(shè)置由淺入深的問(wèn)題，使學(xué)生思維經(jīng)歷由低階向高階發(fā)展的過(guò)程，為解決本質(zhì)問(wèn)題做鋪墊.

案例 ??在教學(xué)“點(diǎn)到直線的距離”時(shí)，處理例題環(huán)節(jié)中，設(shè)置如下變式.

問(wèn)題 ??求點(diǎn)P（2，2）到x軸的距離.

變式1 ??求點(diǎn)P（2，2）到直線l1：y=0的距離.

變式2 ???求點(diǎn)P（2，2）到直線l2：y=－1的距離.

變式3 ??求點(diǎn)P（2，2）到直線l3：x=2的距離.

變式4 ??將直線l3：x=2繞點(diǎn)（2，0）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45 ° 得到l4，求點(diǎn)P（2，2）到l4的距離.

設(shè)計(jì)意圖 ??變式1到變式4讓學(xué)生經(jīng)歷了從易到難、由淺入深、從特殊到一般的解題過(guò)程，體會(huì)了坐標(biāo)法，堅(jiān)定了解題意志，為解決問(wèn)題：求點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）的距離做鋪墊.

2.2.6 增加開放性問(wèn)題

案例 ??在教學(xué)“點(diǎn)到直線的距離”時(shí)，處理課堂練習(xí)的環(huán)節(jié)中，設(shè)置如下變式題組.

變式 ??已知直線l2：x+y+4=0，且點(diǎn)A（a，6）在直線l1：x+y+1=0上，求：（1）點(diǎn)A（a，6）到l2的距離；（2）直線l1與直線l2的距離.

設(shè)計(jì)意圖 ??通過(guò)變式由點(diǎn)線距離過(guò)渡到線線距離，自然過(guò)渡到下節(jié)課內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

2.2.7 增加遷移性問(wèn)題

案例 ??在教學(xué)“正弦定理”時(shí)，處理47頁(yè)例8：在△ABC中，已知B=60 ° ，b= 2 ，c=2，解這個(gè)三角形，作如下變式.

變式 ??在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，C= ?π ?3 ，c=3，設(shè)向量 m =（a，b）， n =（ sin B， sin A）， p =（b－2，a－2） ?.（1）若 m ∥ n ，解三角形；（2）若 m ⊥ p ，求△ABC的面積.

設(shè)計(jì)意圖 ??通過(guò)變式將向量運(yùn)算、共線的坐標(biāo)表示遷移到解三角形問(wèn)題中，使學(xué)生感受正弦定理、余弦定理與向量之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)用聯(lián)系的眼光看待不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性.

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