曾 益,潘 伶,尹志強,張 俊

(福州大學 機械工程及自動化學院,福建 福州 350108)

0 引 言

章動式雙圓弧錐齒輪是一種將雙圓弧錐齒輪應用在章動傳動上的新型齒輪,它同時具備雙圓弧齒廓高承載、易潤滑的特性以及章動傳動結(jié)構(gòu)緊湊和大傳動比的優(yōu)點,在精密減速器領(lǐng)域擁有廣闊的應用前景。

內(nèi)嚙合錐齒輪是章動齒輪傳動機構(gòu)的關(guān)鍵部件,其齒輪副的傳動性能主要由錐齒輪的齒廓形狀決定[1]。相較于傳統(tǒng)的漸開線齒廓,雙圓弧齒廓采用兩對凸、凹齒面相嚙合的傳動方案,極大提高了齒面的接觸強度,因此受到了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注。

李進寶[2]從共軛齒面形成原理出發(fā),基于加工機床和刀具參數(shù),推導了雙圓弧弧齒錐齒輪的齒面方程,簡要分析了嚙合齒面的兩種曲面類型。姚俊紅等人[3]進行了雙圓弧弧齒錐齒輪的實體建模及動態(tài)嚙合模擬,分析了不同參數(shù)和誤差對齒面幾何形態(tài)的影響。LITVIN F L等人[4]對雙圓弧斜齒輪進行了齒面接觸分析(TCA),確定了嚙合齒面上的接觸跡線,并根據(jù)接觸點的曲率參數(shù),得到了接觸橢圓的尺寸和方向。ZHANG Rui-liang等人[5]運用TCA方法研究了雙圓弧弧齒錐齒輪的嚙合傳動特性,發(fā)現(xiàn)了其理論分析結(jié)果在一定程度上與試驗相符。WEN L等人[6]對9種不同橫向壓力角組合的雙圓弧斜齒輪進行了嚙合仿真,有限元結(jié)果表明,最佳壓力角能有效降低齒輪圓角處的最大彎曲應力。

上述文獻研究的雙圓弧齒輪傳動形式是外嚙合傳動,該傳動方式的應用目前已相當成熟;但由于復雜的齒輪空間結(jié)構(gòu)和齒輪副難以展成加工等原因,內(nèi)嚙合傳動研究進展緩慢。

目前,內(nèi)嚙合傳動主要有兩個研究方向:1)雙圓弧諧波齒輪傳動;2)雙圓弧錐齒輪章動傳動。前者聚焦于公切線式雙圓弧齒廓參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計,促使諧波齒輪獲得更好的嚙合性能[7,8];后者采用標準分階式雙圓弧齒形作為錐齒輪的基本齒廓,在三維精確建模、有限元仿真和樣機試驗方面取得了一定的進展[1,9,10]。

需要指出的是,盡管筆者課題組前期已采用有限元法得到了章動式雙圓弧錐齒輪的齒面接觸區(qū)分布,但缺乏理論計算角度的分析,因此,還需要對齒面接觸點的曲率參數(shù)進行系統(tǒng)推導。

而誘導法曲率、相對運動速度和滑滾比是評價齒輪傳動性能的重要指標,同時也是齒輪彈流潤滑分析和齒面磨損研究中的重要影響因素;這些參數(shù)無法采用有限元法獲得,因此,有必要從理論層面對章動式雙圓弧錐齒輪在嚙合過程中的曲率變化和運動特性進行深入研究。

筆者擬在通用齒面數(shù)學模型的基礎(chǔ)上,開展內(nèi)嚙合雙圓弧螺旋錐齒輪章動傳動齒面接觸分析(TCA),研究其在無安裝誤差下的接觸軌跡;根據(jù)微分幾何理論,分析各接觸點處曲率的變化趨勢和相對運動情況;最后分析齒面接觸區(qū)域,以期為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)。

1 齒面數(shù)學模型的建立

筆者課題組前期已經(jīng)成功建立章動內(nèi)、外錐齒輪的通用齒面參數(shù)模型[11]。

其主要建模思想為:根據(jù)共軛齒廓互為包絡(luò)線的原理,可以由一個假想的冕齒輪得到內(nèi)、外錐齒輪齒面;可將標準雙圓弧齒形沿實際齒向線掃掠,生成冕齒輪的基本齒廓曲面。

GB/T 12759—1991標準規(guī)定的基本齒形,標準雙圓弧齒形,如圖1所示。

圖1 標準雙圓弧齒形

標準雙圓弧齒形分別由凸圓弧、過渡圓弧、凹圓弧和齒根圓弧組成。為明晰各段圓弧的位置關(guān)系,筆者在圖1中建立直角坐標系Sk(OkXkYkZk)。

在該直角坐標系中,Xk軸位于齒厚的對稱線上,Yk軸位于齒形的節(jié)線上,則第j(1～8)段圓弧上任意點n的坐標在坐標系Sk中可表示為:

(1)

式中:(ej,fj)為第j段圓弧的圓心坐標;ρj為第j段圓弧的圓弧半徑;αjn為第j段圓弧上點n的向徑同Yk軸正向的夾角(定義逆時針方向為正)。

筆者選用對數(shù)螺旋線作為冕齒輪的公稱齒向線,可保證線上各點的螺旋角β不變。在此基礎(chǔ)上,為使齒廓符合等強度原則,筆者需調(diào)整公稱齒向線,以獲得實際齒向線。

齒向線調(diào)整示意圖如圖2所示。

圖2 齒向線調(diào)整示意圖

圖2中,l1為公稱齒向線,可用極坐標方程ρ(θ)=eθcotβ來描述;l2和l3分別為調(diào)整后的左、右實際齒向線。

齒向線在冕齒輪節(jié)錐面坐標系Sc(OcXcYcZc)中可表示為:

(2)

式中:?為-代表左齒廓,+代表右齒廓;su為齒厚(槽)寬,u=1表示凸圓弧齒厚寬,u=2表示凹圓弧齒槽寬;Δθe為調(diào)整過程中的轉(zhuǎn)角。

筆者將雙圓弧齒形分別沿左、右實際齒向線掃掠,即可得到冕齒輪在坐標系Sc中的齒面方程:

(3)

筆者建立內(nèi)錐齒輪、外錐齒輪和冕齒輪的嚙合坐標系,利用空間嚙合原理對冕齒輪齒面方程進行坐標變換,推導出內(nèi)、外錐齒輪的曲面族參數(shù)方程:

(4)

式(4)中的曲面族方程rpi由齒向線參數(shù)θi、齒形參數(shù)αijn和冕齒輪嚙合轉(zhuǎn)角參數(shù)φc共同確定。

根據(jù)齒輪嚙合原理,內(nèi)、外錐齒輪的齒面參數(shù)方程還需滿足如下嚙合方程:

nc·vci=0

(5)

式中:nc為冕齒輪齒面的單位法矢;vci為冕齒輪與錐齒輪在嚙合點的相對速度矢量。

整理式(5)后,可得到參數(shù)φc(θi,αijn)的表達式。

至此,內(nèi)、外錐齒輪齒面方程經(jīng)過簡化,由雙參數(shù)θi和αijn統(tǒng)一表示如下:

(6)

2 章動式雙圓弧螺旋錐齒輪TCA

螺旋錐齒輪齒面屬于點接觸共軛曲面,在無載或輕載情況下,相互嚙合的齒面間理論上只形成一個瞬時接觸點。隨著傳動的進行,各瞬時接觸點的軌跡構(gòu)成一條接觸跡線。雙圓弧齒廓同一輪齒側(cè)面在嚙合過程中會出現(xiàn)雙點接觸,因此,存在上、下兩條接觸跡線。

筆者采用TCA方法來確定這兩條接觸跡線。

章動齒輪傳動本質(zhì)上是一種錐齒輪少齒差行星傳動,常見的單級錐齒輪章動傳動往往由固定的內(nèi)錐齒輪和同時作自轉(zhuǎn)與擺動運動的外錐齒輪組成。因此,在進行TCA前,筆者需根據(jù)相對運動原理將周轉(zhuǎn)輪系轉(zhuǎn)化為定軸輪系,此時可認為內(nèi)、外錐齒輪只繞自身軸線轉(zhuǎn)動。

根據(jù)這一原理,筆者建立內(nèi)、外錐齒輪章動傳動嚙合坐標系,如圖3所示。

圖3 章動齒輪傳動嚙合坐標系

在不考慮裝配誤差的情況下,筆者分別引入內(nèi)、外錐齒輪的固定坐標系St(OtXtYtZt)和Sg(OgXgYgZg),用以描述兩者的相對運動關(guān)系。其中,旋轉(zhuǎn)坐標系S2和S1仍固連在對應齒輪上,各坐標原點與節(jié)錐頂點重合。嚙合過程中,外錐齒輪從起始位置Sg繞Z1軸旋轉(zhuǎn)φ1角度到達S1,內(nèi)錐齒輪從起始位置St繞Z2軸旋轉(zhuǎn)φ2角度到達S2。

假設(shè)St為全局固定坐標系,則此時內(nèi)、外錐齒輪齒面接觸點的徑矢和單位法矢在St坐標系中表示如下:

(7)

其中,

(8)

(9)

(10)

(11)

式中:ni為錐齒輪齒面單位法矢,對于凸齒面,其方向是由空域指向?qū)嶓w,對于凹齒面則相反。

嚙合過程中的齒輪副要想連續(xù)相切接觸,必須滿足一個條件,即在某一固定坐標系下,兩齒面瞬時公共接觸點處的位置徑矢rt和單位法矢nt相等[12],即:

(12)

在理論上,所有接觸點中存在一個計算初始點,使得齒輪副在該點處滿足瞬時傳動比等于理論傳動比,通常該點位于嚙合齒面的中點附近。因此,首先要根據(jù)齒面旋轉(zhuǎn)投影關(guān)系構(gòu)造非線性方程組,求解得到外錐齒輪初始點的齒面參數(shù)θ1和α1jn,進而利用傳動比關(guān)系以及式(12),確定剩余的4個參數(shù)。

以其中的內(nèi)錐齒面參數(shù)φ2作為已知輸入量,方程組在每次迭代前,需要通過給定步長Δφ2對φ2值進行改變,將新的φ2代入式(12),去計算其余5個參數(shù)的一系列解,直到接觸點超出齒面邊界時,迭代停止。

3 齒面接觸點曲率及運動參數(shù)計算

嚙合齒輪副共軛齒面之間的曲率和相對運動直接影響著齒面的接觸區(qū)尺寸、摩擦學性能和接觸強度。因此,筆者根據(jù)已推導的齒面方程和求解得到的接觸點參數(shù),采用微分幾何,詳細推導接觸點處各類曲率參數(shù)和運動參數(shù)表達式。

3.1 齒面曲率計算

由梅尼埃(Meusnier)定理可知,齒面上一點沿任意方向的法曲率可表示為:

(13)

式中:E,F,G為曲面第一基本齊式系數(shù);L,M,N為曲面第二基本齊式系數(shù)。

第一、第二基本齊式系數(shù)可表示為:

(14)

法曲率反映了曲面定點在不同方向上的彎曲程度,當定點參數(shù)確定時,法曲率只與選擇的切線方向有關(guān)。所有切線方向中存在一對互相垂直的主方向,使得對應主曲率為法曲率中的最大值和最小值。

筆者引入λ=dαijn/dθi表征切線方向,令dk/dλ=0,可得主方向和主曲率的計算公式[13]為:

(15)

需要說明的是,計算得到的主方向1和主方向2實際上與齒廓方向和齒線方向區(qū)別不大,因此,筆者在以下的分析中將采用后者進行表述。

實際嚙合接觸的齒輪副表面由于受到工作載荷影響會產(chǎn)生彈性變形,形成以接觸點為中心的接觸橢圓,其長軸方向為誘導法曲率絕對值最小的方向,短軸方向為誘導法曲率絕對值最大的方向。

接觸橢圓和主方向的位置關(guān)系如圖4所示。

圖4 瞬時接觸橢圓和主方向

圖4中,齒輪副在接觸點M處具有共同的法矢n和切平面∑,主方向和橢圓長短軸方向的位置關(guān)系由夾角σ和γ確定。

(16)

而短軸η方向的誘導法曲率為該方向的法曲率之差,可表示為:

(17)

式中:

(18)

根據(jù)定義,長短軸方向的誘導法曲率為極值,故令dkη/dσ=0,即可求出σ:

(19)

同理,可得長軸ζ方向的誘導法曲率Δkζ。

筆者根據(jù)Hertz彈性接觸理論,采用下式計算瞬時接觸橢圓的長短半軸a和b,即:

(20)

式中:w為載荷;E為當量彈性模量;δa,δb為計算參數(shù),具體取值參照文獻[14]。

其中:A=(Δkη+Δkζ)/2。

上述所求的長短半軸a和b都是在公共切平面內(nèi)的,還需將其投影到齒輪的軸截面,以便在齒面坐標系中進行表示[15]。

3.2 齒輪副運動參數(shù)計算

(21)

(22)

其中,長、短半軸方向的單位矢量ζ、η可根據(jù)圖4得到,即:

(23)

各運動速度關(guān)系如圖5所示。

可得到接觸點處卷吸速度Ue和相對滑動速度Us的矢量表達式:

(24)

速度矢量與橢圓長軸之間的夾角θe和θs為:

(25)

進而得到滑滾比S的計算公式為:

(26)

4 算例與分析

齒輪副的基本設(shè)計參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪副基本參數(shù)

其設(shè)計參考值滿足輸出扭矩M=100 N·m,輸入轉(zhuǎn)速為1 000 r/min～1 500 r/min。

章動式雙圓弧螺旋錐齒輪的實體樣機如圖6所示。

圖6 章動式雙圓弧螺旋錐齒輪樣機

左、右實際齒向線并不相同,因此輪齒左、右側(cè)齒面的空間曲面結(jié)構(gòu)存在一定差異。筆者利用MATLAB軟件對上述理論計算進行編程求解,因篇幅所限,僅就外錐輪齒右側(cè)齒面與內(nèi)錐輪齒左側(cè)齒面嚙合的計算結(jié)果展開分析。

4.1 齒輪接觸特性分析

外錐輪齒右側(cè)齒面瞬時接觸點的分布情況如圖7所示。

圖7 外錐齒輪齒面瞬時接觸點軌跡

在齒輪傳動中,由于凸、凹齒面先后參與嚙合接觸,均勻選取各自齒面上的17個接觸點,即構(gòu)成圖7上、下兩條接觸跡線。同齒面的接觸點都是沿著齒寬方向由一端向另一端移動,且嚙入點與嚙出點在齒高方向的偏移量較小,基本處在計算初始點所確定的齒寬線上。

此外,凸、凹齒面接觸點對應的壓力角分別為23.0±0.02°和24.9±0.05°,同理論壓力角24.0°接近,表明齒輪副在傳動過程中具有良好的接觸狀態(tài)。

由于筆者采用標準雙圓弧齒形作為錐齒輪的基本齒廓,當模數(shù)一定時,齒形的其他參數(shù)也被確定下來。而不同的模數(shù)下齒形尺寸的差別較大,無法放在統(tǒng)一的尺度下進行比較,因此,筆者針對描述齒向線的螺旋角參數(shù)進行影響因素分析。

不同螺旋角對接觸跡線的影響如圖8所示。

圖8 不同螺旋角下的接觸跡線

由圖8可以看到:當螺旋角低于設(shè)計值25.0°時,接觸跡線兩端的齒高偏移量明顯增大,即接觸跡線出現(xiàn)不同程度的傾斜,使得接觸區(qū)呈現(xiàn)一定的對角接觸,影響了齒輪的嚙合性能,且凸齒面接觸跡線受螺旋角變化的影響更大。因此,在設(shè)計時應盡量避免該情況的發(fā)生。

外凸內(nèi)凹嚙合齒面接觸點主曲率如圖9所示。

圖9 外凸內(nèi)凹嚙合齒面接觸點主曲率

外凹內(nèi)凸嚙合齒面接觸點主曲率如圖10所示。

圖10 外凹內(nèi)凸嚙合齒面接觸點主曲率

在數(shù)值上,齒線方向?qū)闹髑适撬蟹ㄇ手械臉O小值,齒廓方向主曲率為極大值。

橢圓拋物面如圖11所示。

圖11 嚙合齒面曲面類型

圖10中,齒線方向主曲率計算值為負值,齒廓方向主曲率為正值,而此處的嚙合齒面類型為圖11所示的雙曲拋物面。

在上述接觸情形下,橢圓長、短軸方向誘導法曲率如圖12所示。

圖12 長、短軸誘導法曲率

從圖12(a)可知:整個嚙合過程中,長、短軸誘導法曲率皆為負值,即在嚙合點的任意方向上,都存在對應的內(nèi)錐凹面法曲率小于外錐凸面法曲率。根據(jù)文獻[16]所述的檢驗方法,不難判斷出嚙合齒面在所有接觸點處都不會出現(xiàn)曲率干涉現(xiàn)象;

圖12(b)中,長、短軸方向的誘導法曲率均為正值,這是因為外凹內(nèi)凸嚙合齒面與外凸內(nèi)凹嚙合齒面相反,其公法矢量n方向是由實體指向空域。文獻[17]指出,此時齒面不發(fā)生曲率干涉的條件為任意方向的誘導法曲率都是正值,即它的兩個最值也是正值,與筆者的計算結(jié)果相符,說明外凹內(nèi)凸齒面嚙合亦不出現(xiàn)曲率干涉現(xiàn)象。

另一方面,誘導法曲率常被用來表征齒面的接觸強度,其絕對值越小,說明齒輪傳動副的抗彎曲能力越強、抗點蝕強度越高。圖12中,長軸方向誘導法曲率基本接近于0,短軸方向誘導法曲率也處于較低水平,且整體變化連續(xù)、平緩,證明章動式雙圓弧螺旋錐齒輪具有高承載和傳動平穩(wěn)的優(yōu)點。

4.2 齒輪運動特性分析

在不失一般性的前提下,為了研究嚙合齒面間卷吸速度和相對滑動速度的變化規(guī)律,筆者給定外錐齒輪輸入轉(zhuǎn)速為1 024 r/min,得到外凸內(nèi)凹嚙合齒面運動狀態(tài),如圖13所示。

圖13 外凸內(nèi)凹嚙合齒面運動狀態(tài)

外凹內(nèi)凸嚙合齒面運動狀態(tài)如圖14所示。

從齒輪小端到齒輪大端,嚙合點的卷吸速度值較大而相對滑動速度值很小,兩者的變化幅度不明顯,這有利于形成流體動壓潤滑,并減小磨損。

另外,卷吸速度矢量與橢圓長軸正向之間存在一定的夾角,相對滑動速度矢量則與橢圓短軸方向接近。文獻[18]表明,隨著卷吸速度與橢圓長軸夾角的增大,中心油膜厚度和最小油膜厚度都將增大。因此,外凸內(nèi)凹嚙合齒面的潤滑性能要優(yōu)于外凹內(nèi)凸嚙合齒面。

齒輪副在接觸點處的運動特性如圖15所示。

無論是外凸內(nèi)凹嚙合還是外凹內(nèi)凸嚙合,整個傳動過程中,齒面滑滾比的值趨于0,且變化緩慢,這表明章動式雙圓弧螺旋錐齒輪在工作時接近于純滾動運動,即由相對滑動引起的齒面磨損很小,且相對均勻;

另一方面,隨著螺旋角的增大,外凹內(nèi)凸嚙合的齒面滑滾比逐漸減小,而外凸內(nèi)凹嚙合的齒面滑滾比在設(shè)計值25.0°時最小。在相同螺旋角下,外凸內(nèi)凹嚙合的齒面滑滾比始終要小于外凹內(nèi)凸嚙合,表明外凹內(nèi)凸嚙合齒面的傳動質(zhì)量更好。

4.3 齒面接觸區(qū)域確定

均布載荷作用下得到的齒面接觸區(qū)域如圖16所示。

圖16中,各點所受載荷w皆為2 000 N,當量彈性模量E取2.1×1011Pa。

由圖16可知:線框所圍成的長條矩形區(qū)域即為雙圓弧螺旋錐齒輪章動傳動齒面接觸區(qū),由一系列以理論接觸點為中心的瞬時接觸橢圓共同形成,同齒面各處橢圓長、短軸在大小和方向基本保持一致;其中,凸、凹齒面接觸橢圓的長軸大小分別為8.4 mm和7.2 mm,偏離齒寬方向約-1.08°和2.32°;短軸大小分別為0.72 mm和0.79 mm,偏離齒高方向約10.06°和12.26°。

因此,矩形接觸區(qū)長度取決于齒寬尺寸,寬度則主要取決于橢圓短軸的大小[19]。

負載扭矩M=50 N·m工況下,齒面接觸應力的有限元結(jié)果如圖17所示。

圖17 外錐輪齒有限元接觸應力分布

圖17表明:在一個嚙合周期內(nèi),單側(cè)輪齒齒面將經(jīng)歷從單點接觸到雙點接觸的相互轉(zhuǎn)換,從而形成兩處接觸區(qū)域;

接觸橢圓均沿著齒寬方向由一端向另一端移動,盡管橢圓接觸區(qū)域的大小隨著載荷變化而改變,但方向始終近似平行于齒寬,且仍位于凸、凹齒面的中部,這與數(shù)值計算結(jié)果十分吻合。

5 結(jié)束語

筆者認為明晰齒輪副嚙合過程中的曲率變化和運動情況是進行齒輪彈流潤滑分析和齒面磨損研究的前提。因此,鑒于有限元法的局限性,筆者采用理論模型分別對章動式雙圓弧錐齒輪兩工作齒面開展了曲率和運動特性研究,得到的結(jié)論如下:

1)誘導法曲率在橢圓長軸方向接近于0,在橢圓短軸方向較小,表明齒輪副具有較高的承載能力和接觸強度;兩嚙合區(qū)域皆不產(chǎn)生曲率干涉現(xiàn)象;

2)各接觸位置的卷吸速度遠大于相對滑動速度,有利于形成油膜;兩嚙合區(qū)域的滑滾比趨近0,表明齒輪的傳動過程近似為純滾動狀態(tài),磨損較小;外凸內(nèi)凹嚙合的潤滑性能和總體傳動質(zhì)量要優(yōu)于外凹內(nèi)凸嚙合;

3)齒面接觸點分布在凸、凹齒面中部,并沿齒寬方向移動,接觸橢圓始終近似平行于齒寬,有限元結(jié)果與理論計算一致;

4)螺旋角對齒面接觸點的分布以及齒面滑滾比存在一定的影響,故在選取螺旋角時,其值應不低于25.0°。

今后,筆者將進一步考慮包含安裝誤差在內(nèi)的理論接觸模型,探討更多參數(shù)對齒面接觸結(jié)果的影響。