馬洪博

平面向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.具體設(shè)計(jì)高考命題時(shí)，可從幾何角度來(lái)設(shè)置，也可從代數(shù)角度來(lái)設(shè)置，借助平面向量的相關(guān)概念、公式及其變形、定理性質(zhì)、運(yùn)算等來(lái)創(chuàng)設(shè)情境，綜合相關(guān)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法，考查相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等；平面向量還可設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)變化的情境，即運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的向量、變化的角等，這樣可將向量與最值、定值問(wèn)題相關(guān)聯(lián)，利用函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等工具，探究相關(guān)的最值問(wèn)題.這類問(wèn)題融基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性于一體，較為全面地考查考生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)等，考查學(xué)生的邏輯思維能力.

1.注重平面向量概念，考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

點(diǎn)評(píng)：圍繞平面向量所對(duì)應(yīng)的平面幾何圖形實(shí)質(zhì)，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的平面幾何圖形，串聯(lián)起平面向量的數(shù)量積、線性運(yùn)算與對(duì)應(yīng)的平面幾何圖形中的長(zhǎng)度、角度等之間的聯(lián)系，從而有效實(shí)現(xiàn)平面向量向幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合與合理轉(zhuǎn)化.

5.注重思想方法應(yīng)用，考查解決問(wèn)題能力

平面向量問(wèn)題中，結(jié)合對(duì)應(yīng)的幾何或代數(shù)特征，可以很好滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、一般與特殊思想等思想方法方面的應(yīng)用，很好落實(shí)解決問(wèn)題的能力與應(yīng)用.

例5 （2022年全國(guó)甲卷理·13）設(shè)向量a→，b→的夾角的余弦值為13，且|a→|=1，|b→|=3，則（2a→+b→）·b→=＿＿＿.

分析：結(jié)合題設(shè)條件，從一般與特殊思想入手，巧妙構(gòu)建特殊平面幾何圖形——直角三角形，綜合相關(guān)信息，合理直觀形象地構(gòu)建起對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型的直觀來(lái)轉(zhuǎn)化與處理.

解析：依題意，構(gòu)建如圖2所示的Rt△OAB，OA=a→，OB=b→，cos∠AOB=13，

結(jié)合平面向量的投影，可知a→·b→=|a→|2=1，

則有（2a→+b→）·b→=2a→·b→+b→·b→=2×1+32=11，故填11.

點(diǎn)評(píng)：圍繞一般與特殊思維，借助與之相關(guān)的元素（涉及函數(shù)、向量、圖形等，這里是特殊圖形）構(gòu)建，合理數(shù)學(xué)建模，巧妙綜合應(yīng)用.這里利用特殊平面幾何圖形，“數(shù)”與“形”相結(jié)合，直觀形象分析，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算，優(yōu)化邏輯推理.

平面向量試題注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，主要考查平面向量運(yùn)算及其幾何意義、用平面向量的數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，以及平面向量與其他知識(shí)、思想方法相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題等，能充分體現(xiàn)考生對(duì)解題經(jīng)驗(yàn)與技巧方法的積累程度，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象核心素養(yǎng)的水平.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2017.

［2］韓文美.平面向量的數(shù)量積的解題策略［J］.中學(xué)生數(shù)理化（高一數(shù)學(xué)），2018，No.731（05）：8-9.