易涌軍

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)第四學(xué)段關(guān)于“函數(shù)”的內(nèi)容有如下要求：能用一次函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；會(huì)求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，能解決相應(yīng)的實(shí)際問題. 基于上述課標(biāo)要求，一次函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的生活應(yīng)用題在各地中考中成了高頻考點(diǎn)，而此類應(yīng)用題中的利潤(rùn)問題既復(fù)雜又是重點(diǎn)考查對(duì)象. 下面舉例介紹此類問題的解題思路.

例1 （2022·遼寧·鐵嶺·葫蘆島）某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價(jià)格購進(jìn)一批山野菜，市場(chǎng)監(jiān)督部門規(guī)定其售價(jià)每千克不高于28元. 經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，山野菜的日銷售量[y]（千克）與每千克售價(jià)[x]（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

[每千克售價(jià)[x]/元 … 20 22 24 … 日銷售量[y]/千克 … 66 60 54 … ]

（1）求[y]與[x]之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）當(dāng)每千克山野菜的售價(jià)定為多少元時(shí)，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？

分析：此類利潤(rùn)問題中一次函數(shù)表達(dá)式有四種不同的呈現(xiàn)方式：文字?jǐn)⑹觥⒅苯咏o出表達(dá)式、表格、圖象. 其本質(zhì)都是為了求出一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng) = kx + b（k，b為常數(shù)，且k ≠ 0）. 而利潤(rùn)的最大值求法也有三種：（1）自變量的取值范圍包括頂點(diǎn)且滿足題意；（2）自變量的取值是整數(shù)，而頂點(diǎn)橫坐標(biāo)恰好不是整數(shù)；（3）頂點(diǎn)不在自變量取值范圍內(nèi). 本題需要先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出一次函數(shù)表達(dá)式，再利用“每日總利潤(rùn) = 每千克利潤(rùn) × 銷售量”列出二次函數(shù)的表達(dá)式，求出利潤(rùn)的最大值.

解：（1）設(shè)[y]與[x]之間的函數(shù)關(guān)系式為[y=kx+b（k≠0）]，

由表中數(shù)據(jù)得[20k+b=66，22k+b=60，]

解得[k=-3，b=126].

∴設(shè)[y]與[x]之間的函數(shù)關(guān)系式為[y=-3x+126].

（2）設(shè)批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤(rùn)為[w]元，

由題意得[w=y（x-18）=（x-18）（-3x+126）=-3x2+180x-2268=-3（x-30）2+432].

∵市場(chǎng)監(jiān)督部門規(guī)定其售價(jià)每千克不高于28元，

∴18 ≤ [x] ≤ 28，

∵- 3 < 0，∴當(dāng)[x] < 30時(shí)，[w]隨[x]的增大而增大，

∴當(dāng)[x] = 28時(shí)，[w]最大，最大值為420，

∴當(dāng)每千克山野菜的售價(jià)定為28元時(shí)，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為420元.

例2 （2022·遼寧·盤錦）某商場(chǎng)新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量[y]（個(gè)）與銷售單價(jià)[x]（元）之間滿足如右圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求[y]與[x]的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量[x]的取值范圍）.

（2）若該玩具某天的銷售利潤(rùn)是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是多少元？

（3）設(shè)該玩具日銷售利潤(rùn)為[w]元，當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

分析：（1）直接用待定系數(shù)法，即可求出一次函數(shù)的關(guān)系式；（2）根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是[y]元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根據(jù)題意，列出[w]與[x]的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案.

解：（1）設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y = kx + b，

由題圖可知，函數(shù)圖象過點(diǎn)（25，50）和點(diǎn)（35，30），

把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)[y] = [k][x] + b，

得[25k+b=50，35k+b=30，]

解得[k=-2，b=100，]

∴一次函數(shù)的關(guān)系式為[y] = -2[x] + 100.

（2）根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是[x]元，

由題意得（[x] - 10）（-2[x] + 100） = 600，

解得[x]1 = 40，[x]2 = 20，

∴當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是40元或20元.

（3）根據(jù)題意，得[w] = （[x] - 10）（-2[x] + 100），

整理得[w] = -2（[x] - 30）2 + 800.

∵-2 < 0，

∴當(dāng)[x] = 30時(shí)，[w]有最大值，最大值為800.

∴當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為30元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是800元.

總結(jié)反思：在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到利用一次函數(shù)與二次函數(shù)求最大利潤(rùn)、最大銷量等問題. 解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達(dá)式，然后確定其最大值. 實(shí)際問題中自變量[x]的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量[x]的取值范圍.

（作者單位：沈陽市實(shí)驗(yàn)學(xué)校）