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再談平行四邊形存在性問題解題策略

2023-08-01 15:44:46謝魁趙洋
關(guān)鍵詞:對角線四邊形拋物線

謝魁 趙洋

朝陽市第四中學(xué)崔欣穎老師的直播課《再談平行四邊形存在性問題解題策略》選自遼寧教育學(xué)院“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科周末名師公益課堂”,旨在貫徹落實(shí)國家“雙減”政策,幫助廣大師生自主學(xué)習(xí)和個(gè)性化提升.

崔欣穎老師的直播課,從知識儲(chǔ)備、典型例題、提升訓(xùn)練三個(gè)方面展開,幫助學(xué)生結(jié)合圖形復(fù)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)及判定方法,總結(jié)處理平面直角坐標(biāo)系中平行四邊形存在性問題的常用方法——“平移法”與“鉛直三角形法”.分別從“三定一動(dòng)”“兩定兩動(dòng)”兩類模型中詳細(xì)介紹平行四邊形存在性問題的兩種解題思路.分別討論動(dòng)點(diǎn)出現(xiàn)在坐標(biāo)軸和一次函數(shù)上的不同情況,結(jié)合例題引發(fā)學(xué)生更多的思考,為今后二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題解題策略提供方法和依據(jù).依據(jù)崔欣穎老師平行四邊形存在性問題解題策略,真題呈現(xiàn)2022年阜新市中考第25題第(3)問.

[真題呈現(xiàn)]

例 (2022·遼寧·阜新)如圖1,已知二次函數(shù)y =? - x2 + bx + c的圖象交x軸于點(diǎn)A( - 1,0),B(5,0),交y軸于點(diǎn)C.

(1)(2)略.

(3)已知P是拋物線上一點(diǎn),在直線BC上是否存在點(diǎn)Q,使以A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

[學(xué)法指導(dǎo)]

可以分AC為平行四邊形的邊和對角線兩種情況進(jìn)行討論,從而確定P,Q位置.

解:由題可知拋物線解析式為y =? - x2 + 4x + 5,直線BC解析式為y =? - x + 5. 若以A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,其中A( - 1,0),C(0,5),P在拋物線上,Q在直線BC上,符合“兩定兩動(dòng)”模型.

①當(dāng)AC為平行四邊形邊時(shí),得到滿足題意的兩種情況,如圖2.

第一種情況:PQ為平行四邊形中AC的對邊且在第一象限中. 由Q在直線y =? - x + 5上,可設(shè)Q坐標(biāo)為(t, - t + 5),由“平移法”或者“鉛直三角形法”得P(t + 1, - t + 10),將P代入二次函數(shù)y =? - x2 + 4x + 5得 - t + 10 =? - (t + 1)2 + 4(t + 1) + 5,解得t1 = 1,t2 = 2,所以Q1(1,4),Q2(2,3).

第二種情況:PQ為平行四邊形中AC的對邊且在第四象限中. 可設(shè)Q為(n, - n + 5),由“平移法”或者“鉛直三角形法”得P(n - 1, - n),將P代入二次函數(shù)y =? - x2 + 4x + 5得 - n =? - (n - 1)2 + 4(n - 1) + 5,解得n1 = 0(此時(shí)Q與C重合,舍去),n2 = 7,所以Q3(7, - 2).

②當(dāng)AC為平行四邊形對角線時(shí),如圖3,由A(- 1,0),C(0,5),得線段AC的中點(diǎn)D [-12,52],由Q在直線y =? - x + 5上可設(shè)Q為(m, - m + 5),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P為( - 1 - m,m),將P代入二次函數(shù)y =? - x2 + 4x + 5得m =? - ( - 1 - m)2 + 4( - 1 - m) + 5,解得m1 = 0(此時(shí)Q與C重合,舍去),m2 = - 7,所以Q4( - 7,12).

綜上,存在滿足條件的點(diǎn)Q,其坐標(biāo)為(1,4)或(2,3)或(7,-2)或(-7,12).

[典例訓(xùn)練]

已知拋物線解析式為y = x2 - 2x - 3,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),C在拋物線上,D在拋物線對稱軸上,以A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求D點(diǎn)坐標(biāo).

答案:分兩種情況:

①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí),D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,12);

②當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時(shí),D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).

(作者單位:遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)初中部)

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