修前前　楊慧娟

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)建模能促進(jìn)學(xué)生高階思維能力發(fā)展，在基礎(chǔ)教育中歷來受到重視。研究者采用內(nèi)容分析法，利用建模表征分析框架對小學(xué)數(shù)學(xué)3～6年級教科書（北師大版）進(jìn)行研究，分析其建模表征特點(diǎn)并提出相應(yīng)建議。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)教科書；建模；表征

一、研究背景

建模已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育的關(guān)注焦點(diǎn)與核心理念，各國課程改革文件和課程標(biāo)準(zhǔn)也紛紛對數(shù)學(xué)建模做出明確要求。數(shù)學(xué)建模指運(yùn)用數(shù)學(xué)模型對現(xiàn)實(shí)生活中的問題進(jìn)行描述并根據(jù)模型解決問題，其本質(zhì)是尋求并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，對實(shí)際問題進(jìn)行分析和求解。建模的過程不僅能夠增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，而且還能提高他們分析、解決實(shí)際生活問題的能力［１］。教科書是課程資源建設(shè)的核心資源，是實(shí)施教育教學(xué)的重要工具。我國中小學(xué)的課堂教學(xué)主要依據(jù)教科書實(shí)施教學(xué)，因此教科書肩負(fù)著體現(xiàn)建模思想、指導(dǎo)建模教學(xué)的重?fù)?dān)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，教材要適當(dāng)體現(xiàn)“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”過程，并要求學(xué)生在五、六年級初步形成模型意識［２］。

國內(nèi)對數(shù)學(xué)教科書的建模研究日益受到重視，西北師范大學(xué)李欣姝通過比較人教A版和北師大版高中數(shù)學(xué)教科書，發(fā)現(xiàn)北師大版教科書以專題形式呈現(xiàn)建?；顒?，更加注重學(xué)生建模能力的培養(yǎng)［３］。華東師范大學(xué)董玉成和徐斌艷比較了四種國內(nèi)高中數(shù)學(xué)教科書（人教版、湘教版、蘇教版、北師大版），發(fā)現(xiàn)我國教科書建模內(nèi)容的整體特點(diǎn)：重模型應(yīng)用而輕建模過程［４］。華東師范大學(xué)牛偉強(qiáng)通過對從1989年至2016年以來在中文核心期刊發(fā)表的有關(guān)中小學(xué)數(shù)學(xué)建模的文獻(xiàn)進(jìn)行研究后指出，我國中小學(xué)數(shù)學(xué)建模研究方法以思辨為主，缺乏實(shí)證研究和多樣化的研究方法，并且對數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的研究相當(dāng)匱乏［５］。分析數(shù)學(xué)教科書中的建模內(nèi)容對判斷教科書編排的科學(xué)性以及實(shí)施與評價數(shù)學(xué)建模教學(xué)具有重要意義。

國外學(xué)者對建模進(jìn)行了比較系統(tǒng)的研究，美國密歇根大學(xué)施瓦茨將科學(xué)建模劃分為模型實(shí)踐和指導(dǎo)、激勵實(shí)踐的元認(rèn)知，分別作為解釋和預(yù)測科學(xué)模型的工具，包含構(gòu)建、使用、評估、修改以及理解模型本質(zhì)和目的六個子維度以及解釋預(yù)測的四種水平，并以參與建模的五、六年級學(xué)生的課堂實(shí)例來證明其劃分維度的科學(xué)性［６］。吉爾伯特和賈斯蒂將建?？蚣軇澐譃樵Ｐ蜆?gòu)建、原模型表征、模型檢驗(yàn)和模型評估四個階段，每個階段包含了不同數(shù)量的組成元素，并且對各階段所需技能進(jìn)行較為全面的描述［７］。隨后，貝爾岑基于模型存在概念化的層次，在建模能力框架中確立了五個維度三個層級，三個層級基于評估模型表象、評估模型構(gòu)建過程、使用模型并評估其生產(chǎn)力的理論基礎(chǔ)，體現(xiàn)了對五個維度描述的逐步加深［８］。

鑒于此，本文綜合分析并整合學(xué)者的核心觀點(diǎn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)教科書建模表征的二維分析框架，考察我國使用較為廣泛的北師大版小學(xué)3～6年級數(shù)學(xué)教科書中模型選擇、模型建立、模型驗(yàn)證和模型應(yīng)用的實(shí)際情況，并分別從內(nèi)容水平、呈現(xiàn)位置、表征方式三個橫向維度分析其表征水平，以期為我國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的編寫和改進(jìn)提供循證依據(jù)。

二、研究方法

本研究采用內(nèi)容分析法，依據(jù)數(shù)學(xué)建模分析框架及表征分析維度的二維分析工具，客觀分析教科書內(nèi)容，并對量化數(shù)據(jù)進(jìn)行混合研究與循證描述。

首先，研究在參考有關(guān)學(xué)者建?？蚣艿幕A(chǔ)上，深入挖掘其中反映建模思想的共同核心要素并對其進(jìn)行邏輯性整合，確立了本文的數(shù)學(xué)教科書建模分析框架（表1），共計(jì)4個一級指標(biāo)，每個一級指標(biāo)下設(shè)置4個子指標(biāo)，共計(jì)16個二級指標(biāo)。然后按照此框架對教科書文本所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)建模指標(biāo)進(jìn)行縱向劃分。

其次，本文結(jié)合建模分析框架和數(shù)學(xué)教科書的特點(diǎn)，開發(fā)了數(shù)學(xué)建模表征的內(nèi)容分析標(biāo)準(zhǔn)量表，確定了數(shù)學(xué)教科書建模表征內(nèi)容分析的主次分析維度和操作性定義（表2），并結(jié)合建模分析框架，應(yīng)用該工具對教科書進(jìn)行分析編碼。主分析維度“內(nèi)容水平”的四級量化評定方式具體如下：

①所占篇幅：水平I（0～50字）；水平II（51～100字）；水平III（101～150字）；水平IV（151字及以上）。

②由于出現(xiàn)頻次和關(guān)聯(lián)課數(shù)數(shù)量較少，因此1次為1級，4次以上統(tǒng)計(jì)為水平IV。

③描述水平：以二級指標(biāo)“知識理解與提取”為例，水平I：只呈現(xiàn)相關(guān)知識；水平II：體現(xiàn)相關(guān)知識的理解與提取過程；水平III：相關(guān)知識的理解與提取兩方面都能夠體現(xiàn)；水平IV：對理解相關(guān)知識及之后的提取過程進(jìn)行邏輯性表述。其他15個二級指標(biāo)與“知識理解與提取”的四級量化評定方式一致。有關(guān)數(shù)學(xué)建模內(nèi)容在“呈現(xiàn)位置”與“表征方式”的次分析維度中出現(xiàn)記為“1”，否則記為“0”。

此外，第八次課程改革后，我國教科書建設(shè)從“一綱一本”發(fā)展為“一綱多本”。由于北京師范大學(xué)出版社的數(shù)學(xué)教科書在發(fā)行量和使用效果方面影響較大，具有一定的權(quán)威性和代表性，并且考慮到小學(xué)中高年級的學(xué)生正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關(guān)鍵時期，本研究選取北師大版（2013年審定，2014年12月第1版）小學(xué)3～6年級數(shù)學(xué)教科書為研究樣本，共計(jì)8冊。

三、研究結(jié)果

（一）數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容水平

數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容水平反映教科書中建模內(nèi)容的編排狀況。

首先，數(shù)學(xué)建模內(nèi)容全面但結(jié)構(gòu)仍需完善。具體而言，“所占篇幅”“出現(xiàn)頻次”“關(guān)聯(lián)課數(shù)”呈現(xiàn)出相同的特點(diǎn)，即從模型選擇到模型應(yīng)用整體呈現(xiàn)上升趨勢，模型建立水平最低；模型選擇、驗(yàn)證、應(yīng)用的“描述水平”基本一致（水平區(qū)間均為2.5～3），模型建立水平最高。進(jìn)一步說，模型建立在教科書的篇幅、頻次、關(guān)聯(lián)課數(shù)中水平最低但描述水平最高。

其次，數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容水平在年級中整體表現(xiàn)為上升趨勢，但上升幅度不一致且個別年級有所下降。模型選擇在篇幅、課數(shù)、描述水平中，三到四年級大幅度上升，四到六年級持續(xù)性下降?？赡苡捎谀Ｐ瓦x擇在建模體系中處于最基礎(chǔ)的位置，隨著年級的升高，教科書對基礎(chǔ)知識講解詳細(xì)程度以及對學(xué)生掌握程度的要求下降；模型建立、模型驗(yàn)證和模型應(yīng)用在三到五年級上升，五到六年級下降。模型建立環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)建模的重中之重，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，六年級的下降應(yīng)引起重視；四個環(huán)節(jié)的“關(guān)聯(lián)課數(shù)”均比較均衡（圖1）。

（二）數(shù)學(xué)建模的呈現(xiàn)位置

數(shù)學(xué)建模的呈現(xiàn)位置是指數(shù)學(xué)建模各環(huán)節(jié)在教科書中具體位置的呈現(xiàn)。

一方面，建模內(nèi)容涉及位置廣泛且體現(xiàn)建模內(nèi)在邏輯。四個環(huán)節(jié)均表現(xiàn)為在“正文部分”內(nèi)容呈現(xiàn)次數(shù)最多，然后依次是“例題習(xí)題”“引言背景”“課后拓展”，“邊欄注釋”最少，教科書正文作為課程教學(xué)的主體部分，內(nèi)容呈現(xiàn)量比較多；此外，模型建立相關(guān)內(nèi)容在“正文部分”的呈現(xiàn)量最多，在“課后拓展”“例題習(xí)題”等位置的呈現(xiàn)量最少。由于建模是比較復(fù)雜的過程，需要多方面能力的協(xié)調(diào)配合，故正文進(jìn)行了較為詳細(xì)的講解，而拓展性內(nèi)容涉及較少，“例題習(xí)題”部分主要關(guān)注知識的運(yùn)用，因此表現(xiàn)為模型應(yīng)用呈現(xiàn)次數(shù)最多。

另一方面，數(shù)學(xué)建模的呈現(xiàn)位置體現(xiàn)年級差異。在“正文部分”三年級內(nèi)容最多，六年級最少，“例題習(xí)題”三年級最少，五年級最多。高年級正文內(nèi)容有所減少而習(xí)題有所增加可能與年級的增長、學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展以及知識體系的構(gòu)建有關(guān)；各年級在“引言背景”部分的內(nèi)容比較均衡，無論年級高低都需要引言背景知識作為導(dǎo)入來幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)新知；“邊欄注釋”大致體現(xiàn)出隨年級升高而內(nèi)容增多的特點(diǎn)，可能是由于內(nèi)容知識的逐級豐富帶來更多需要注意的細(xì)節(jié)；“課后拓展”整體均衡，高年級內(nèi)容設(shè)置需要在此方面進(jìn)行加強(qiáng)（圖2）。

（三）數(shù)學(xué)建模的表征方式

數(shù)學(xué)建模的表征方式是指建模內(nèi)容在教科書中清楚表達(dá)的形式化方式。

首先，數(shù)學(xué)建模的表征方式多樣化，研究發(fā)現(xiàn)六種表征方式在分析樣本中均被使用，其中以“文字實(shí)例”和“插圖表格”方式表征的次數(shù)最為突出，“概念規(guī)律”和“動腦探究”表征次數(shù)最低。

其次，數(shù)學(xué)建模的表征方式體現(xiàn)年級差異，四年級的模型選擇和模型建立在“文字實(shí)例”“插圖表格”“動腦探究”中表征次數(shù)最多，而模型驗(yàn)證和模型應(yīng)用則在五年級表征次數(shù)最為顯著；三年級的“學(xué)史闡釋”和“動手操作”表征次數(shù)最多，可能由于低年級教科書偏向于采用歷史故事和動手操作的方式來激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；“概念規(guī)律”的表征整體呈現(xiàn)逐年級增長趨勢，但六年級有所下降，可能是由于三到五年級是不斷輸入新的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)概念的過程，六年級學(xué)生進(jìn)入總復(fù)習(xí)階段，教科書中對新概念引入有所減少（圖3）。

（四）數(shù)學(xué)建模的描述水平

“描述水平”是體現(xiàn)教科書編寫科學(xué)性的重要維度，描述水平越高意味著教科書對知識講解越深入，同時也意味著對學(xué)生掌握程度要求更高。

首先，各環(huán)節(jié)中培育學(xué)生高階思維能力的內(nèi)容較少。比如，模型建立中的科學(xué)類比與推理反映學(xué)生邏輯推理能力，但在模型建立中描述水平最低；模型驗(yàn)證的特征描述與判斷描述水平最高，科學(xué)論證與修正的描述水平較低；模型應(yīng)用中的方法拓展與創(chuàng)新描述水平最低。

其次，各二級指標(biāo)描述水平整體呈逐年級上升趨勢，但四年級水平高，六年級有所下降。比如，模型選擇的四方面內(nèi)容在四年級的描述水平最高，三到四年級上升幅度較大，四到五年級下降幅度較小，而五到六年級的下降幅度明顯且圖景映射與遷移下降幅度最大；模型建立中的描述水平到六年級下降幅度最大；模型驗(yàn)證的科學(xué)論證與修正在四年級教科書中的描述水平最高，三、五、六年級較為均衡；模型應(yīng)用四方面內(nèi)容在三到五年級均表現(xiàn)為水平持續(xù)性升高，到六年級則呈現(xiàn)出明顯的下降。深層內(nèi)容在中年級水平突出，高年級反而下降，不利于學(xué)生批判性思維與創(chuàng)造性思維的培育（圖4）。

總之，教科書根據(jù)建模體系對內(nèi)容進(jìn)行了系統(tǒng)的安排，在內(nèi)容水平上較大程度遵循了循序漸進(jìn)原則；教科書內(nèi)容分布廣泛，從一節(jié)課例開始的“引言背景”部分到最后結(jié)束的“課后拓展”部分，均有內(nèi)容知識呈現(xiàn)，且部分內(nèi)容的呈現(xiàn)位置還根據(jù)年級特點(diǎn)做了差異性安排；同樣，六種表征方式在樣本中均有涉及，且除教科書編寫中最主要用到的文字插圖兩種表征方式，其余四種輔助性表征方式的運(yùn)用均關(guān)注了年級特點(diǎn)；各二級指標(biāo)的描述水平總體表現(xiàn)出四年級水平突出，六年級有所下降，培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力方面內(nèi)容水平偏低的特點(diǎn)。

四、結(jié)論與建議

為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識、更好地培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，建議教科書從加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模內(nèi)容布局的完善、不同年級中建模內(nèi)容的安排以及強(qiáng)化學(xué)生高階思維能力培育內(nèi)容方面入手，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)科學(xué)素養(yǎng)與分析解決實(shí)際問題的能力。

（一）遵循學(xué)科邏輯順序，加強(qiáng)完善數(shù)學(xué)建模內(nèi)容布局

從用“數(shù)學(xué)眼光”識別實(shí)際問題、用“數(shù)學(xué)語言”表達(dá)問題情境到用“數(shù)學(xué)思維”思考驗(yàn)證再到熟練運(yùn)用“數(shù)學(xué)方法”解決實(shí)際問題，四個階段由淺入深、環(huán)環(huán)相扣［９］。本研究選取的數(shù)學(xué)教科書總體體現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模的系統(tǒng)性與邏輯性，只是數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容布局還需要進(jìn)一步完善。以模型建立為例，教科書在這個環(huán)節(jié)對學(xué)生的掌握程度要求較高，但相關(guān)的講解篇幅少、內(nèi)容松散、螺旋程度低，會對學(xué)生的理解和掌握造成一定困難。因此，教科書需遵循學(xué)科內(nèi)在邏輯，重視數(shù)學(xué)建模每一環(huán)節(jié)的內(nèi)容布局，在提高建模關(guān)鍵環(huán)節(jié)描述水平的同時要加大相應(yīng)內(nèi)容的講解篇幅、提高相關(guān)知識點(diǎn)的出現(xiàn)頻次等以促進(jìn)建模內(nèi)容結(jié)構(gòu)的完善，幫助學(xué)生更好地理解掌握建模。

（二）遵循學(xué)生發(fā)展規(guī)律，加強(qiáng)建模年級內(nèi)容循證安排

對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)建模思想的滲透、數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)應(yīng)該遵循循序漸進(jìn)、螺旋上升的原則。從研究結(jié)果來看，本研究所選取的教科書在一定程度上體現(xiàn)出關(guān)注學(xué)生年級差異的特點(diǎn)，但仍出現(xiàn)了跨越性較大、連貫性較弱，部分?jǐn)?shù)學(xué)建模內(nèi)容設(shè)置忽視學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和知識經(jīng)驗(yàn)積累，與學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)規(guī)律不適切的問題［１０］。以教科書中四年級和六年級的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容為例，四年級學(xué)生的邏輯思維能力以及數(shù)學(xué)建模的理解力正處于塑造發(fā)展時期，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的系統(tǒng)性思維方式尚未形成，但四年級建模內(nèi)容的設(shè)置在小學(xué)中高年級中卻處于最高水平。同時，六年級數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容水平表現(xiàn)出一定程度的下降，沒有在五年級建模內(nèi)容水平的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高教科書數(shù)學(xué)建模內(nèi)容水平。

因此，教師要遵循學(xué)生發(fā)展規(guī)律加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模在不同年級內(nèi)容的循證安排，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的滲透中逐漸提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和思維能力。

（三）匹配學(xué)生認(rèn)知水平，強(qiáng)化高階思維能力培育內(nèi)容

教師了解學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知發(fā)展水平，使教科書中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容水平的設(shè)置處于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，并適當(dāng)增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模中學(xué)生高階思維能力培育內(nèi)容的彈性，有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理和問題解決能力的良性發(fā)展［１１］。

本研究所選取的教科書沒有充分考慮學(xué)生的層次性、忽視數(shù)學(xué)建模內(nèi)容水平的彈性安排。以數(shù)學(xué)建模的描述水平為例，模型建立的科學(xué)類比與推理、模型驗(yàn)證的科學(xué)論證與修正以及模型應(yīng)用的方法拓展與創(chuàng)新是各環(huán)節(jié)中最能體現(xiàn)高階思維能力的項(xiàng)目，而這幾個項(xiàng)目中的描述水平卻較低，甚至有的處于各環(huán)節(jié)的最低水平，這不利于學(xué)生高階思維能力的培育與發(fā)展。因此，可以通過腦科學(xué)和認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)系統(tǒng)評估學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平，充分考慮學(xué)生的層次性，加強(qiáng)教科書中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的彈性設(shè)置，盡可能滿足不同學(xué)生發(fā)展的需要，讓學(xué)生都能接受良好的建模教育，促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的發(fā)展［１２］。

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［８］ ｚｕ Ｂｅｌｚｅｎ，Ａｎｎｅｔｔｅ Ｕｐｍｅｉｅｒ，Ｄｉｒｋ Ｋｒüｇｅｒ，ａｎｄ Ｊａｎ ｖａｎ Ｄｒｉｅｌ，ｅｄｓ. Ｔｏｗａｒｄｓ ａ ｃｏｍｐｅｔｅｎｃｅ－ｂａｓｅｄ ｖｉｅｗ ｏｎ ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｉｎ ｓｃｉｅｎｃｅ ｅｄｕｃａｔｉｏｎ［Ｍ］. Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２０１９.

［９］徐玥. 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材中的建模核心素養(yǎng)編碼研究［Ｄ］. 揚(yáng)州大學(xué)，２０２０.

［１０］ 劉偉. 初中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)研究［Ｄ］. 曲阜師范大學(xué)，２０２０.

［１１］ 童永健. 高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的分析及再設(shè)計(jì)［Ｄ］. 華東師范大學(xué)，２０１６.

［１２］ 郭滕珞. 面向高階思維發(fā)展的高中數(shù)學(xué)問題串教學(xué)研究［Ｄ］. 天津師范大學(xué)，２０２０.

作者簡介：修前前（1999—），青島大學(xué)師范學(xué)院碩士研究生，主要研究方向?yàn)樾W(xué)教育、數(shù)學(xué)教育。

通訊作者：楊慧娟（1974—），青島大學(xué)師范學(xué)院副教授，博士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論、中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書研究。