【摘 要】正方體模型是學(xué)生最早接觸的模型，是涉及各種角、距離、位置關(guān)系的經(jīng)典模型。如果正方體模型研究透徹了，立體幾何的學(xué)習(xí)就完成了一半。在教學(xué)時設(shè)計五個教學(xué)順序合理安排的微專題，對正方體模型進行由表及里、由具體到抽象的探究，提高了學(xué)生的空間想象能力，體現(xiàn)了立體幾何教學(xué)的連續(xù)性和整體性。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；正方體模型；立體幾何教學(xué)

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2023）24-0047-05

【作者簡介】顧亞東，江蘇省徐州市運河中學(xué)（江蘇徐州，221300）教師，高級教師，徐州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版 2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）要求教師要明晰數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，要求教師整體設(shè)計、分步實施教學(xué)?；谝陨侠砟?，筆者嘗試?yán)谜襟w模型來貫通立體幾何的教學(xué)。正方體模型是立體幾何教學(xué)中最重要的模型。筆者認(rèn)為，在立體幾何教學(xué)中按照知識的生成過程及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，應(yīng)該選擇恰當(dāng)?shù)那腥肟?，從不同的維度，運用不同手段引導(dǎo)學(xué)生循序漸進地研究正方體模型。

一、正方體模型在立體幾何教學(xué)中的意義

為什么選擇正方體模型，而不選擇更為常見的長方體模型？筆者認(rèn)為，首先，長方體有的性質(zhì)正方體都具有，正方體還具有一般長方體沒有的性質(zhì)，例如內(nèi)切球、特殊的角度、線段長度的特殊比值等；正方體退一步可以到長方體、正四面體，進一步可以到正八面體等，它在立體幾何里比長方體更靠近核心位置，因此選擇正方體效果更好。其次，正方體模型里包含點、 線、面三要素；線線、線面、面面三種角；線線平行、線面垂直、面面平行、面面垂直四種關(guān)系；點點、點線、點面、線線、線面、面面六種距離；以及表面積、體積、內(nèi)切球、棱切球、外接球等重要問題。各種知識交匯糅合在一起，信息量大，蘊含的思想方法豐富，正方體既是各種多面體的交匯點，又是它們共性的代表。再者，正方體是特殊的長方體，先弄清楚正方體再研究長方體符合從特殊到一般的思想，就像在解析幾何的教學(xué)時，也是先抓住圓，圓研究透徹后，橢圓的研究過程就可以類比圓了。因此，借助正方體模型的教學(xué)可以引領(lǐng)學(xué)生揭開立體幾何的奧秘。

二、正方體微專題教學(xué)設(shè)計

為了讓學(xué)生通過探究正方體激發(fā)學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，筆者設(shè)計了一系列關(guān)于正方體教學(xué)的微專題。

1.直觀了解正方體

師：請大家觀察粉筆盒或者身邊的正方體模型，對正方體作一個簡要說明。即興表達即可，頂點、棱、面，棱長可以設(shè)為a。

生 1：一個正方體有 6個面、8個頂點、12條棱、12 條長為 2a 的面對角線、4 條長為 3a的體對角線。 師：正方體的 12 條棱中共有多少對異面直線？生2：12×4÷2=24對。

師：下面誰再來說說正方體與球的關(guān)系？

生 3：正方體的內(nèi)切球與六個面都相切，且半徑為棱長的一半；正方體的八個頂點都在外接球上，且半徑為體對角線的一半。

師：很好，正方體有內(nèi)切球、外接球，想一想有沒有與正方體的 12 條棱都相切的球？大家看圖1，發(fā)揮你的空間想象力。 （圖1）

生4：這個球與正方體的12條棱都相切，且半徑為面對角線的一半。

師：很好，可以稱之為正方體的棱切球。

此專題宜放在學(xué)生學(xué)習(xí)了必修二的線線、線面位置關(guān)系之后。學(xué)生通過前期的學(xué)習(xí)，對正方體已有一定的認(rèn)知，這個時候教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)之前的知識碎片可以事半功倍，但正方體的棱切球不易想象，實物模型、幾何畫板也不能形象描述。所以筆者利用Geogebra軟件制作3D模型，將正方體的棱切球直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生及時、準(zhǔn)確、高效地掌握相關(guān)知識。將信息化輔助教學(xué)手段與學(xué)科教學(xué)相融合，有利于提高課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維。

2.尋找正方體中的角

如圖 2，在正方體 ABCD-A1B1C1D1中：（1）分別求 A1D 與 B1C，A1D 與 AB1所成角的大??；（2）分別求 AA1、AD1與平面 ABCD 所成角的大小； （3）求 AA1與平面 ABC1D1所成角的大?。唬?）求AB1與平面 ABC1D1所成角的大??；（5）求二面角D1-AB-D 的大小；（6）求二面角 A1-AB-D 的大??；（7）求二面角 C1-BD-C 的正切；（8）求二面角 C1-BD-A 的正切；（9）求二面角 A1-BD-C1的余弦；（10）求二面角 A1-BD1-C1的大?。唬?1）求二面角A1-BD1-A的大小。 D1 A1 A B C B

此專題宜在學(xué)習(xí)完線面角、二面角之后進行。這幾道題不僅能強化學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)的概念，還能探究、拓展線面角、二面角的作、證、求法，又能規(guī)范學(xué)生的解題格式。此教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師可與學(xué)生共同逐題畫圖探究，完成后教師再針對難點，利用 3D 動畫來輔助教學(xué)。如第（4）題可以連接 B1C、AN，B1C⊥面 ABC1D1，AB1在面ABC1D1內(nèi)的射影為AN，∠B1AN即為所求。因為這些問題所涉及的線、面、角大都在正方體的內(nèi)部，看不見摸不著，較為抽象，不好做實物模型，因而在傳統(tǒng)的教學(xué)中，需要教師有高超的畫圖、講解能力，同時學(xué)生也需要較好的空間想象能力，而利用Geogebra軟件這樣的3D教學(xué)軟件可以準(zhǔn)確高效地讓學(xué)生抓住問題的本質(zhì)。

3.探求正方體中的距離

師：如圖 3，正方體中，如何求 A1 到平面AB1D1的距離？

生5：在正方體中可以使用體積轉(zhuǎn)化法， VA1 - AB1D1=VA - A1B1D1，所以所求距離為 A1C 的三分之一。生6：直接運用截面法，可以證明A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AD1，再證明AC1⊥平面AB1D1，然后在平面AA1C1C內(nèi)，利用等面積法求出A1H即可。

師：兩種方法都很好，A1C 就像一把傘的傘柄，而四面體 A1-AB1D1的三個側(cè)面就好比傘的防雨面，A1C 垂直于面 AB1D1，可看作“傘的模型”。

立體幾何共涉及六種距離：點點、點線、點面、線線、線面、面面，解決方法都是遵循最小化原理，化歸到點點距上來，例如對棱、對面距離，棱錐的高、斜高等。學(xué)生對角熟悉，卻容易忽視距離，生 5 的體積轉(zhuǎn)化法可以給思維固化的學(xué)生以啟迪，因此這一專題很有必要，可在學(xué)完線面平行、面面平行之后進行，也可以鑲嵌在某一例題中。教學(xué)過程中運用3D教學(xué)軟件，能夠生動形象地刻畫和展現(xiàn)學(xué)生的描述。

4.探究正方體的展開圖

在研究正方體展開圖時，雖然筆者在課前讓學(xué)生準(zhǔn)備了若干個正方體紙盒和剪刀，但課堂上教師先讓學(xué)生展開想象，遇到疑難時再剪開一個紙盒操作觀察。課堂上安排兩位學(xué)生上黑板畫正方體的展開圖，針對重復(fù)、遺漏等情況，教師引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)查找、歸納、總結(jié)，最終得到如下正方體展開圖。（見圖4）

師：請同學(xué)們給這些展開圖進行分類。

生 7：可以分四類。（1）中間四個，上下各一個（①②③④⑤⑥）；（2）中間三個，上下各一個、兩個（⑦⑧⑨）；（3）中間兩個，上下各兩個（⑩）；（4）分兩層，上下各三個（？）；第一類里面可以細(xì)分為：上1下1，上1下2，上1下3，上1下4，上 2下2，上2下3，第二類同理可得。

師：非?？茖W(xué)，有的同學(xué)畫了上 3 下 3，上 2 下4，可以嗎？

生8：分別與上2下2，上1下3重復(fù)了。

師：嗯，類似于化學(xué)中的同分異構(gòu)體，對這類容易重復(fù)遺漏的問題，希望大家能夠科學(xué)地分類，有序、準(zhǔn)確、高效地查找，做到不重不漏。學(xué)到這里，同學(xué)們能否給正方體一個準(zhǔn)確的定義？

生 9：可以類比正四面體定義，用六個相同的正方形圍成的幾何體叫正方體。

生10：長寬高相等的長方體是正方體。

師：兩位同學(xué)能夠?qū)⑿聠栴}化歸到已知問題上來，這是對轉(zhuǎn)化與化歸思想的熟練運用。

生 11：正方體可以定義為將一個正方形向垂直于其所在面的方向平移該正方形的邊長個單位而得到的幾何體。

師：這種定義法是類比棱柱的定義，體現(xiàn)了動面成體的動態(tài)過程。

此專題針對學(xué)生分類過程中有可能出現(xiàn)的重復(fù)或者遺漏情況，可以安排在必修二的立體幾何學(xué)習(xí)結(jié)束后，或在學(xué)生學(xué)習(xí)完有機化學(xué)基礎(chǔ)里的同分異構(gòu)體之后，這樣不僅可以強化學(xué)生對基本圖形位置關(guān)系的理解，還可以強化其對空間圖形表面積和體積的認(rèn)識。在全方位剖析正方體后，教師讓學(xué)生概括出正方體定義，經(jīng)過討論、糾正，這些表述都是比較恰當(dāng)?shù)?，說明學(xué)生通過直觀感知能夠提煉出概念。

5.理解正方體中的截面

已知正方體的棱長為 1，每條棱所在直線與平面 α 所成的角都相等，則 α 截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）。

生 12：如圖 5，每個正方體有三組四棱平行，因此其12條棱可以歸結(jié)到同一個頂點發(fā)出的三條棱，故只需平面 α 與這三條棱成角相等即可，由此可得平面 α 與 A1C 垂直，可以分析三個極端位置——正△AB1D1，正六邊形 EFGHIJ， 正△C1BD，再比較它們的面積發(fā)現(xiàn)正六邊形面積最大，選A。

師：單選題可以使用直接法、篩選法、帶入法、估算、特殊化和極端分析法，如果是解答題呢？

生 13：因為平面 α 與 A1C 垂直，則平面 α 與底面所成的角也為定值，因此截面面積等于它在底面的投影的面積除以夾角的余弦，所以只要比較投影的面積，就可以得到正六邊形的投影面積最大。

師：截面α的面積轉(zhuǎn)化為投影面積后，問題就轉(zhuǎn)換到底面的正方形中來了，立體幾何問題就轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，體現(xiàn)了降維思想?，F(xiàn)在我們用繪圖軟件Geogebra來模擬平面α沿著垂直于A1C方向移動的動畫（如圖6），請大家仔細(xì)觀察。

前面四個微專題幫助學(xué)生厘清正方體中的元素位置關(guān)系后，這一專題引導(dǎo)學(xué)生挑戰(zhàn)一些綜合題，可以在章末復(fù)習(xí)和高三復(fù)習(xí)階段進行。截面問題是繼面積、體積、角、距離之后的一個難點，尤其是幾何體與球的接、切、截問題是近年來高考考查的熱點，如果空間想象能力不足，學(xué)生做這類問題則會很困難，而通過研究正方體模型獲得的經(jīng)驗可以助力此類問題的解決。

三、教學(xué)感想

1.以“正方體模型”為典型模型進行教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

以上幾個微專題按照知識的發(fā)生、發(fā)展過程以及學(xué)生的認(rèn)知特點，以正方體為載體，按照由表及里、由淺入深的順序，從正方體的頂點、 棱、面之間的各種位置關(guān)系出發(fā)，理解、掌握、強化直線與平面的三種位置關(guān)系，并在理解線線、線面、面面的平行與垂直的判定與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，探究立體幾何中的各種角與距離，最后再深化到正方體與球的接、切、截問題。借助常見的正方體模型，學(xué)生對抽象的立體幾何知識看得見、想得通，降低了學(xué)習(xí)難度，學(xué)生能夠輕松叩開立體幾何的大門。以上微專題可以針對不同水平的學(xué)生相機靈活安排，可以一節(jié)課完成多個部分，也可以多節(jié)課完成一個部分，后續(xù)還可以進一步引入歐拉公式，研究自然界中僅有的五種正多面體。正方體研究透徹后，學(xué)生對其余的幾何體就可以做到觸類旁通。

2“. 正方體模型”專題教學(xué)能夠?qū)αⅢw幾何學(xué)習(xí)起到鋪墊、引領(lǐng)、促進作用

正方體是學(xué)生最早接觸和最熟悉的幾何體。將正方體降維可以退到正方形，類比正方形的周長、面積、內(nèi)切圓、外接圓，可以發(fā)現(xiàn)和探究正方體的表面積、體積、內(nèi)切球、外接球；正方體還可以退到正四棱柱、長方體、正四棱柱、四棱柱，在長方體體積公式的推導(dǎo)中，1立方米是用棱長為 1 米的正方體體積來表示的，因此正方體“麻雀雖小，五臟俱全”。立體幾何是在點線面的基礎(chǔ)上研究空間角、距離、面積、體積以及它們位置關(guān)系的學(xué)科，這些元素正方體模型中都包含。運用空間想象力進入正方體的內(nèi)部，就會發(fā)現(xiàn)信息量巨大，既有三種角和六種距離，又含有線線、線面、面面位置關(guān)系所涉及的每一類題型，還有內(nèi)切球、棱切球、外接球以及不斷變化的截面問題，可以說正方體既是最簡單的，也是最復(fù)雜的多面體。

不少學(xué)生因為正方體太常見、太熟悉，很少深入思考它，因此對它又很陌生。筆者認(rèn)為，讓學(xué)生從熟悉而又陌生的正方體入手，將正方體研究透徹，以此找到立體幾何學(xué)習(xí)的切入點，是能事半功倍的。筆者按照從外往內(nèi)，由直觀到抽象的順序，設(shè)計了以上微專題，在筆者所在學(xué)校使用后，師生反饋效果較好?，F(xiàn)行的各類教材、資料中盡管都有類似的專題，但多是分布于各個不同部分，學(xué)生不能領(lǐng)悟到新課標(biāo)要求的學(xué)習(xí)的連續(xù)性與整體性。筆者認(rèn)為，到了適當(dāng)?shù)臅r間、適當(dāng)?shù)恼鹿?jié)，引導(dǎo)學(xué)生對正方體進行全方位的總結(jié)能夠幫助學(xué)生做到對立體幾何知識的整體把握。

3.傳統(tǒng)教學(xué)手段與信息化技術(shù)相結(jié)合是提升教學(xué)效率的關(guān)鍵

在這組微專題中，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、感知、制作實物模型，展開空間想象，同時將傳統(tǒng)手工制作與現(xiàn)代信息技術(shù)相結(jié)合，并結(jié)合化學(xué)中的同分異構(gòu)體，圖文并茂、由表及里、由淺入深，設(shè)置合理的梯度，讓學(xué)生腳踏實地地邁好每一步，逐漸掌握正方體的方方面面。教師要注重信息化手段與傳統(tǒng)教學(xué)手段的合理搭配，這樣才能顯著提升教學(xué)效率。Geogebra不僅具備幾何畫板的二維繪圖功能，更具有三維動態(tài)展示以及幾何、代數(shù)、概率與統(tǒng)計、微積分等功能，特別適合初高中數(shù)學(xué)教學(xué)展示，比如本文中求正方體棱切球半徑、線面角、二面角，正方體的截面變化研究以及“傘的模型”等。蘇教版高中數(shù)學(xué)課本也多次應(yīng)用到了此軟件。而像剪紙盒、切橡皮泥、切土豆等傳統(tǒng)教學(xué)手段也是不可或缺的，因為這些手段取材方便、成本低廉，還能鍛煉學(xué)生的動手能力。教師要把握好二者之關(guān)系，不能走兩個極端。如何在教學(xué)中高效融入學(xué)生動手能力、現(xiàn)代信息技術(shù)等，值得每一位數(shù)學(xué)教師認(rèn)真思考。